圆的面积（一）（教案）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

该教案聚焦圆的面积计算公式推导及应用，以北京冬奥会纪念币为情境导入，激发兴趣并引出圆的面积概念，通过转化思想联系旧知，将圆转化为已学图形搭建学习支架。 特色在于情境渗透民族自豪感，探究中动手操作结合视频演示，对比不同等份圆拼接过程渗透化曲为直和极限思想（数学思维），多种转化方法培养创新意识（数学眼光），闯关练习解决纪念币面积问题体现应用意识（数学语言），助力学生发展空间观念与推理能力，为教师提供多样化探究活动及分层练习设计。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 六年级 学期 秋季 课题 圆的面积（一） 教科书 书 名：义务教育教科书六年级上册数学教材 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1.结合生活实例认识圆的面积,掌握圆的面积计算公式，并能正确运用公式解决简单的实际问题。 2.通过估算和动手操作等活动，经历圆的面积计算公式的推导过程，渗透“化曲为直 ”的转化思想，初步了解极限思想，积累数学活动经验。 3.在数学活动中，进一步培养学生的动手操作能力、观察分析能力，发展学生的空间观念，培养学生的创新意识。 教学重难点 教学重点：推导圆的面积计算公式,理解并掌握圆的面积公式,能运用公式解决简单的实际问题。 教学难点：渗透化曲为直的转化思想，体会极限思想和变中不变的思想。 教学过程 一 、情境导入 （一） 出示第 24 届奥林匹克运动会 150 克圆形精制金质纪念币背面图案 ，介绍并提问： 这是今年 2 月份 ，在我国首都北京冬奥会上产生的一枚纪念币 。先了解一下相关的数学信息 ，再说说对于这枚纪念币你还想知道哪些数学知识？ 预设：纪念币圆形的面积有多大？ （二）什么是圆的面积？ 预设：圆所占平面的大小就是圆的面积。 【设计意图】 奥运纪念币的引入 ，激发学生的民族自豪感和求知欲望 。通过谈话、设疑 ，提炼出有价值的数学问题——什么是圆的面积 ，为怎样计算圆的面积做好铺垫。 二 、探究新知 (一)活动探究一 ：如何得到一个圆的面积 1.出示数学书第 14 页主题图：淘气在圆内做了个最大正方形 ，笑笑将圆分成了若 干小方格 ，你认为淘气和笑笑的方法 ，能算出圆的面积吗？ 预设 1：淘气的方法只能求出圆内接正方形的面积,剩下的面积算不出来。 预设 2：笑笑的方法能数出整方格,但不是整格的也算不出来。 2.小结： 淘气和笑笑的方法虽然都算不出圆的面积 ，但淘气的思维方法很有参考价值。 【设计意图】 在观察对比中挖掘有价值的数学思维方法 ，为探讨圆的面积计算方法打好基础。 (二)活动探究二： 圆的面积与什么有关系 1.想一想： 圆的面积与什么有关系？ 预设： 圆的面积与半径有关,因为半径决定圆的大小。 2.估一估： 圆的面积与半径之间有什么关系呢? 3.视频演示淘气的估算方法及结论： 圆内接正方形的对角线是圆的直径 ，所以圆内接正方形的面积是 2r×r=2r2 ；圆外切正方形的边长是圆的直径 ，所以圆外切正方形的面积是 2r× 2r=4r2 。 圆的面积比圆内接正方形的面积大 ，但比圆外切正方形的面积小 ， 即 2r2 <S 圆 <4r2 ，可以推断出圆的面积应该是其半径平方的 3 倍左右。 4.小结： 淘气估算出圆的面积应该是其半径平方的 3 倍左右 ，你认为对吗？ 预设：应该是对的。 5.过渡： 我们先将圆转化成已经学过的平面图形 ，再根据图形之间的联系 ，推导出圆的面积计算公式来验证一下我们的估算是否正确。 【设计意图】 利用已有知识经验——圆的半径决定圆的大小,展开有根有据的估算, 培养学生合理的估算意识 。借助 “ 圆内接正方形 ”这一有价值的数学思维方法， 拓展出“ 圆外切正方形 ”，推算出“ 圆内接正方形 ”和“ 圆外切正方形 ”的面积分别为2r2 和 4r2 ，从而得出 2r2 <S 圆 <4r2 ，让学生的估算方法有了科学的依据。 (三)活动探究三： 将圆转化成学过的平面图形 1.动手操作 ，将圆转化成学过的平面图形。 出示学习要求 : (1)拼一拼：将平均分成 4 份、8 份、16 份、32 份的圆分别拼成学过的同一种平面图形。 (2)比一比： 观察比较拼成的图形 ，说说自己的发现。 2.视频演示：依次出示将一个圆平均分成 4 份 、8 份、16 份、32 份所拼成的图形，引导学生在对比观察中发现 ，把一个圆平均分的份数越多 ， 曲线越接近线段 ，拼成的图形越接近我们学过的平面图形。 3.如果将圆按这样的方法继续无限细分下去 ，拼成的图形会越接近什么形状？ 请闭上眼睛大胆猜想一下。 4.视频演示： 将一个圆平均分成 64 份、 128 份后拼成的图形 ， 引导学生通过对比观察发现 ，把一个圆平均分的份数越多 ，拼成的图形越接近长方形。 5.小结： 我们通过分割、拼接的转化方法 ，发现将一个圆无限分割下去就能拼成近似的长方形。 【设计意图】动手操作,利用“ 等积变形 ”的思维方法 ，创造性地把圆的面积转化成已学过的平面图形的面积, 通过对不同等份的圆所拼成的图形进行观察比较、大胆猜想并结合视频的直观演示 ， 向学生逐步渗透 “ 化曲为直 ” 的思想和 “ 极限 ”思想。 (四)活动探究四： 推导圆的面积计算公式 1.根据转化前后图形之间的联系 ，推导出圆的面积计算公式。 出示学习任务： 自读学习要求，完成学习任务。 (1)看一看：图形转化前后什么变了？什么没变？ (2)说一说：转化前后的图形之间有什么联系？ (3)写一写：根据发现推导出圆的面积计算公式。 (4)想一想：还有不同的转化方法吗？ 2.视频演示学生推导圆的面积计算公式的过程（ 以平均分成 16 份的圆为例）： 预设 1：圆转化成近似的长方形后 ，它的形状变了 ，面积没变 。所以圆的面积相当于长方形的面积 。而长方形的长相当于圆周长的一半 ， 宽相当于圆的半径 ，所以长方形的面积=长×宽=圆周长的一半×半径,即 πr×r= π r2 ，所以圆的面积 S= π r2。 预设 2：将圆转化成近似的梯形 ，梯形的上下底之和相当于圆周长的一半 ，高相当于圆的两条半径的长 ，因为 S 梯形 = r÷2= πr2 ，所以 S 圆 =S 梯形 = πr2。 预设 3：把圆转化成近似的三角形 ，三角形的底相当于圆周长的 ，高相当于圆的 4 条半径的长 ， 因为 S 三角 形=ah÷2=×4r÷2= π r2 ，所以 S 圆 =S 三角 形 = π r2。 3.小结： 我们运用分割、拼接等方法，将圆转化成近似的平行四边形、长方形、梯形、三角形等，都能推导出圆的面积计算公式 S= π r2 ，即圆的面积=圆周率×半径的平方 ， 因为圆周率π在计算时我们通常取它的值为 3.14，所以圆的面积是其半径平方的 3 倍多。恭喜同学们，你们的估算是正确的！ 【设计意图】 经历动手操作 ，将圆转化成不同的平面图形 ，通过观察分析 ，发现了图形转化前后之间的联系 ，根据 “ 变中不变 ” 的规律 ，逐步归纳概括出圆的面积计算公式 ，验证了估算结论的正确性 。在推导圆的面积计算方法的过程中 ，让学生充分体验到了转化方法的多样化 ，既沟通了新旧知识间的联系,又培养了学生科学的推理能力。 三 、 闯关练习 1.第一关： 明察秋毫 如图 ，把一个圆分成若干等份后 ，还可以拼成近似的长方形 。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？ 推导一下圆的面积计算公式。 (1)学生观察 、分析、推导 。思考： 这种转化方法与前面我们学过的将圆转化成近似长方形的方法有什么不同之处？ (2)演示小结：这种转化方法，是把一个圆分成若干等份后，把其中的一个小扇形又沿半径平均分成了两份，分别移补在近似长方形的两侧，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。这种方法与将圆分成若干等份后，直接拼接的方法是没有区别的，虽然在平均分的份数相同的情况下，从形状上看更像长方形，但同一圆的半径永远是相等的，所以面积计算方法相同，S 圆=S 长方形= πr×r= πr2。 【设计意图】 运用所学知识进行观察 、分析 、推导 ，体验不同转化方法之间的联系与区别 ，进一步体会 “ 圆 ，一中同长 ” 的含义 ，及 “ 同长 ”在圆的面积推导中的至关重要作用。 2.第二关： 速战速决 (1)再现纪念币： 这枚纪念币的直径是 6 厘米 ， 圆形的面积有多大？ (2)说说这道题在计算圆的面积时应注意什么？ （先求出圆的半径） 【设计意图】 以闯关的形式再现问题 ， 回归生活 ，激发学生的学习兴趣 ，让学生在运用知识解决实际问题中内化知识 、提升技能。 四 、总结评价 1.这节课你有什么收获？ 请选择红五星的个数自我评价。 3 颗星： 能积极动手参与学习活动； 4 颗星： 能积极动脑思考问题； 5 颗星： 能主动想办法解决问题。 2.总结：这节课 ，我们用转化的方法，推导出了圆的面积=圆周率×半径的平方。掌握好这个计算法宝 ，我们就能解决生活中许多有关圆的面积计算问题 。其实 ， 圆的面积转化还有一种有趣的方法 ，想知道吗？ 3.视频演示： 把圆看成是无数个同心圆 ，沿一条直径剪开 ，得到两个完全一样的近似等腰三角形 ，三角形的底相当于圆周长的一半 ，高相当于圆的半径 ，S 三角 形 =πr2， S 圆 = S 三角 形 ×2=πr2 ×2= π r2 。还可以将这两个三角形拼在一起 ，得到一个近似的平行四边形 ，平行四边形的底相当于圆周长的一半 ，高相当于圆的半径 ，S 平行 四边 形 = πr×r= πr2 ，S 圆 = S 平行 四边 形 = π r2。 4.对视频中这种转化方法感兴趣的同学 ，可以在课后动手试一试！ 【设计意图】 自我评价 ，做课堂的小主人 。总结知识 ，梳理学习方法 ，唤起学生对获取新知识的方法总结与经验积累 。利用多媒体课件直观演示不同转化方法拼成图形的变化过程，进一步体会转化方法的多样化以及转化思想在数学学习中的重要作用，发展了学生的空间观念。 五 、课后分层练习 1.基础练习： 数学书第 15 页第 1 题、第 2 题。 2.挑战练习： 学有余力的同学请尝试拼一拼 ，看看圆能不能拼成近似的正方形？ 【设计意图】 设计不同难易程度的练习题 ，让不同学习层次的学生都学有所得，体会成功的喜悦 ，并让学有余力的学生更上一层楼。 板书设计 圆的面积（一） S 长方形=a×b= πr×r= πr2 S 圆= S 长方形= πr2 圆的面积=圆周率×半径的平方 学科网（北京）股份有限公司 $