第四讲 圆的面积（一）暑期预习衔接（讲义）-2025-2026学年六年级数学上册北师大版

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版六年级数学上册 第四讲 圆的面积（一） 1.圆的面积的含义。 圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 2.拼成的平行四边形和圆之间的比较。 观察圆和剪拼后的图形,可以发现:(1)在剪拼的过程中,图形面积的大小没有发生变化,只是形状改变了,即圆的面积等于拼成的平行四边形的面积。(2)拼成的平行四边形的高相当于圆的半径,它的底相当于圆的周长的一半。 3.公式推导。 圆的面积=平行四边形的面积 =底×高 =×r =πr×r =πr² 圆的面积计算公式:(1)文字公式为圆的面积=圆周率×半径的平方;(2)如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是S=πr²。 一、填空题 1．如果大圆半径是小圆的直径，则大圆的周长是小圆的( )倍，大圆的面积是小圆的( )倍。 2．一个圆的半径、直径、周长的和是46.4厘米，取3.14，这个圆的面积是( )。 3．周长为16厘米的正方形里面画一个最大的圆形，正方形的边长是 厘米，圆的面积是 平方厘米。 4．把一个周长为20.56厘米的半圆形，沿对称轴剪开得到两个同样的平面图形，这个新的平面图形的面积是( )平方厘米。 5．钟面上的分钟长4厘米，从3时到3时30分，分针尖所走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 6．在一块长6米，宽4米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是( )米，面积是( )平方米。 7．如图，把一个圆分成16等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底是12.56厘米，这个圆的周长是( )厘米，半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 8．如图长方形中有两个最大的圆，圆的半径是( )cm，一个圆的周长是( )cm，一个圆的面积是( )。 9．在一张边长为6cm的正方形玻璃上裁下一个最大的圆形玻璃，这个圆形玻璃的面积是( )。 10．在一块长是16厘米、宽是12厘米的长方形铁皮上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 二、选择题 11．用同样长的篱笆围成下面不同形状的菜地，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆 12．观察下图，随着圆个数的增多，阴影部分的面积（    ）。 A．没有改变 B．可能不变 C．越变越小 13．在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上剪一个尽可能大的圆形，剪出的圆形纸片的面积是（    ）。 A．25.12cm2 B．28.26cm2 C．50.24cm2 14．把一个圆沿着它的半径平均分成若干份，然后把它拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长增加了4厘米，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12.56 C．50.24 15．圆的直径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 三、判断题 16．当圆的直径等于4厘米时，它的周长和面积相等。( ) 17．圆的直径扩大到原来的2倍，则圆的面积也扩大到原来的2倍。( ) 18．一个圆的半径是2dm，它的周长与面积相等。( ) 19．推导圆面积计算公式的方法，与转化思想没有关系。( ) 20．要在一个直径是80厘米的圆形桌面上铺一块大小完全相同的软玻璃桌垫，这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。( ) 四、计算题 21．计算下面圆的面积。 五、解答题 22．妈妈新买了一个挂钟，时针长5厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？时针针尖走过的路程是多少厘米？ 23．用一块长2米、宽1米的铁板加工成一个最大的半圆形铁板，这个半圆形铁板的面积是多少平方米？ 24．一个半圆形花坛的周长是30.84米，它的占地面积是多少平方米？ 25．京华小区门口有一块圆形空地，直径是40米，现在要给这块地铺草皮，每平方米草皮25元钱，那么铺满草皮需要多少钱？ 26．一个周长为40厘米的正方形，它的边长与一个圆的直径相等。你知道这个正方形的面积比圆的面积大多少平方厘米吗？ 27．一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版六年级数学上册 第四讲 圆的面积（一） 1.圆的面积的含义。 圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 2.拼成的平行四边形和圆之间的比较。 观察圆和剪拼后的图形,可以发现:(1)在剪拼的过程中,图形面积的大小没有发生变化,只是形状改变了,即圆的面积等于拼成的平行四边形的面积。(2)拼成的平行四边形的高相当于圆的半径,它的底相当于圆的周长的一半。 3.公式推导。 圆的面积=平行四边形的面积 =底×高 =×r =πr×r =πr² 圆的面积计算公式:(1)文字公式为圆的面积=圆周率×半径的平方;(2)如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是S=πr²。 一、填空题 1．如果大圆半径是小圆的直径，则大圆的周长是小圆的( )倍，大圆的面积是小圆的( )倍。 【答案】 2 4 【分析】假设大圆半径是2厘米，则小圆直径也是2厘米，根据半径＝直径÷2，圆的周长公式，圆的面积公式，分别代入数据计算大小圆的周长，大小圆面积，再用大圆周长除以小圆周长，大圆面积除以小圆面积即可。 【详解】假设大圆半径是2厘米，则小圆直径也是2厘米。 如果大圆半径是小圆的直径，则大圆的周长是小圆的2倍，大圆的面积是小圆的4倍。 2．一个圆的半径、直径、周长的和是46.4厘米，取3.14，这个圆的面积是( )。 【答案】78.5平方厘米/78.5cm2 【分析】把这个圆的半径设为未知数，在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，，等量关系式：半径的长度＋直径的长度＋圆的周长＝46.4厘米，列方程求出半径的长度，再根据“”求出这个圆的面积，据此解答。 【详解】解：设这个圆的半径为厘米。 3.14×52＝78.5（平方厘米） 所以，这个圆的面积是78.5平方厘米。 3．周长为16厘米的正方形里面画一个最大的圆形，正方形的边长是 厘米，圆的面积是 平方厘米。 【答案】 4 12.56 【分析】根据正方形的边长＝周长÷4，得出正方形的边长； 根据题意，在一个正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，再根据半径＝直径÷2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式进行解答。 【详解】正方形的边长是： 16÷4＝4（厘米） 圆的面积是： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 正方形的边长是4厘米，圆的面积是12.56平方厘米。 4．把一个周长为20.56厘米的半圆形，沿对称轴剪开得到两个同样的平面图形，这个新的平面图形的面积是( )平方厘米。 【答案】12.56 【分析】 如图，设半圆的半径为r，根据圆周率×半径＋半径×2＝半圆的周长，列出方程求出r的值，再根据半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，求出半圆的面积，除以2即可。 【详解】解：设半圆的半径为r。 3.14r＋2r＝20.56 5.14r＝20.56 5.14r÷5.14＝20.56÷5.14 r＝4 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 25.12÷2＝12.56（平方厘米） 这个新的平面图形的面积是12.56平方厘米。 5．钟面上的分钟长4厘米，从3时到3时30分，分针尖所走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 25.12 【分析】分针1小时转1圈，从3时到3时30分，分针转了圈，分针尖所走过的路程就是以分针的长度为半径的圆的周长的，分针扫过的面积就是以分针的长度为半径的圆的面积的，根据圆的周长、面积公式：C＝2πr，S＝πr2，代入数据计算，即可解答。 【详解】2×3.14×4× ＝25.12× ＝12.56（厘米） （2）3.14×42× ＝3.14×16× ＝50.24× ＝25.12（平方厘米） 即分针尖所走过的路程是12.56厘米，分针扫过的面积是25.12平方厘米。 6．在一块长6米，宽4米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 15.42 14.13 【分析】 如图，半圆的直径＝长方形的长，根据半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【详解】3.14×6÷2＋6 ＝18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（米） 3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 半圆形铁板的周长是15.42米，面积是14.13平方米。 7．如图，把一个圆分成16等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底是12.56厘米，这个圆的周长是( )厘米，半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 25.12 4 50.24 【分析】由题意可知，平行四边形的底就是圆周长的一半，用其乘2即可得圆的周长，再根据圆的周长公式的逆运算，，代入数据计算即可得半径，再根据圆的面积公式，代入数据计算即可得解。 【详解】（厘米） （厘米） （平方厘米） 把一个圆分成16等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底是12.56厘米，这个圆的周长是25.12厘米，半径是4厘米，面积是50.24平方厘米。 8．如图长方形中有两个最大的圆，圆的半径是( )cm，一个圆的周长是( )cm，一个圆的面积是( )。 【答案】 3 18.84 28.26 【分析】观察图形可知，圆的直径等于长方形的宽，根据半径＝直径÷2，代入数据，求出圆的半径，再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出一个圆的周长；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】6÷2＝3（cm） 3.14×6＝18.84（cm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 长方形中有两个最大的圆，圆的半径是3cm，一个圆的周长18.84cm，一个圆的面积是28.26。 9．在一张边长为6cm的正方形玻璃上裁下一个最大的圆形玻璃，这个圆形玻璃的面积是( )。 【答案】28.26 【分析】根据题意，可知这个圆形玻璃的直径最长等于正方形的边长，为6cm，结合圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】 ＝ ＝31.4×9 ＝28.26（） 所以这个圆形玻璃的面积是28.26。 10．在一块长是16厘米、宽是12厘米的长方形铁皮上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 37.68 113.04 【分析】分析题意可知：在长是16厘米、宽是12厘米的长方形铁皮上剪一个最大的圆，这个圆的直径是12厘米，根据圆的周长公式：代入计算即可；根据直径和半径的关系，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】由题意知：圆的直径为12厘米，则圆的半径为：12÷2＝6（厘米） 圆的周长：（厘米） 圆的面积：（平方厘米） 这个圆的周长是37.68厘米，面积是113.04平方厘米。 二、选择题 11．用同样长的篱笆围成下面不同形状的菜地，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆 【答案】C 【分析】周长相同的几个图形中，圆的面积最大。根据圆面积＝，圆周长＝；长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽；正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长。据此可得出答案。 【详解】用同样长的篱笆围成下面不同形状的菜地，可将这个篱笆长看作6.28米，则围成的圆半径1米，面积为：3.14×12＝3.14（平方米）；围成的长方形面积最大的是正方形，边长为：（平方米）＜3.14平方米，即圆面积最大。 故答案为：C 12．观察下图，随着圆个数的增多，阴影部分的面积（    ）。 A．没有改变 B．可能不变 C．越变越小 【答案】A 【分析】由图可知，正方形的面积相等，假设出正方形的边长，表示出空白部分圆的面积，阴影部分的面积＝正方形的面积－空白部分圆的面积，据此解答。 【详解】假设正方形的边长为2， 图1空白部分的面积： ＝ ＝ ＝ 图2空白部分的面积： ＝ ＝ ＝ 图3空白部分的面积： ＝ ＝ ＝ …… 以此类推，图形的总面积相等，空白部分圆的面积均为，所以阴影部分的面积都相等。 故答案为：A 【点睛】利用圆的面积公式表示出空白部分的面积是解答题目的关键。 13．在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上剪一个尽可能大的圆形，剪出的圆形纸片的面积是（    ）。 A．25.12cm2 B．28.26cm2 C．50.24cm2 【答案】B 【分析】由于要剪一个尽可能大的圆形，那么圆的直径等于长方形最短的边，即等于宽的长度，直径是6cm，用直径除以2即可求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式即可求解。 【详解】6÷2＝3（cm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 所以剪出的圆形纸片的面积是28.26cm2。 故答案为：B 14．把一个圆沿着它的半径平均分成若干份，然后把它拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长增加了4厘米，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12.56 C．50.24 【答案】B 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，长方形的周长比原来的圆周长增加了4厘米，也就是2个半径是4厘米，所以圆半径是（4÷2）厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（4÷2）2即可求出圆面积。 【详解】3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 这个圆的面积是12.56平方厘米。 故答案为：B 15．圆的直径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 【答案】C 【分析】假设原来的直径是2厘米，直径扩大到原来的3倍，则直径变为6厘米。根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据求出变化前后的面积，进而求出面积扩大到原来的几倍。据此解答。 【详解】假设原来的直径是2厘米， 2×3＝6（厘米） 2÷2＝1（厘米） 6÷2＝3（厘米） （π×32）÷（π×12） ＝（π×9）÷（π×1） ＝9π÷π ＝9 圆的直径扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的9倍。 故答案为：C 三、判断题 16．当圆的直径等于4厘米时，它的周长和面积相等。( ) 【答案】× 【分析】图形一周的长度，就是周长，周长的单位是长度单位，物体所占平面的大小的面积，用的是面积单位。圆的周长和面积是两个不同的概念，不能说周长和面积相等，只能说圆的周长和面积的数值相等。 【详解】圆的直径等于4厘米，则它的半径为：4÷2＝2（厘米） 圆的周长：（厘米） 圆的面积：（平方厘米） 12.56厘米和12.56平方厘米是不同的概念，无法比较大小。 所以当圆的直径等于4厘米时，它的周长和面积无法比较。原题表述错误。 故答案为：× 17．圆的直径扩大到原来的2倍，则圆的面积也扩大到原来的2倍。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的面积公式，直径是半径的2倍，采用举例子的方法分别计算出原来的圆的面积及扩大后的圆的面积，再用扩大后的面积除以原来的面积，即可得解。 【详解】假设原来圆的直径是2厘米，圆的直径扩大到原来的2倍，则为（厘米） 原来圆的面积： （平方厘米） 扩大后的圆的面积： （平方厘米） 圆的直径扩大到原来的2倍，则圆的面积扩大到原来的4倍。 故答案为：× 18．一个圆的半径是2dm，它的周长与面积相等。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的面积＝πr2；圆的周长＝2πr；因为面积和周长意义不同，所以无法比较，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个圆的半径是2dm，但是这个圆的面积与周长无法比较，原题干说法错误。 故答案为：× 19．推导圆面积计算公式的方法，与转化思想没有关系。( ) 【答案】× 【分析】 如图。 将圆剪拼成一个长方形，长方形的面积＝圆的面积，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的宽＝圆的半径，根据长方形面积＝长×宽，可以推导出圆的面积＝圆周长的一半×半径＝圆周率×半径的平方，据此分析。 【详解】推导圆面积计算公式的方法，是将圆转化成长方形，包含转化思想，所以原题说法错误。 故答案为：× 20．要在一个直径是80厘米的圆形桌面上铺一块大小完全相同的软玻璃桌垫，这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】这块软玻璃桌垫的面积就是圆的面积，先求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可得到这块软玻璃桌垫的面积是多少，据此解答。 【详解】80÷2＝40（平方厘米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 即这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。 故答案为：√ 四、计算题 21．计算下面圆的面积。 【答案】78.5cm2；0.5024m2 【分析】图一：根据圆的面积，代入数据直接计算即可； 图二：根据圆的面积，代入数据进行计算。 【详解】52×3.14 ＝25×3.14 ＝78.5（cm2） （0.8÷2）2×3.14 ＝0.16×3.14 ＝0.5024（m2） 图一的面积是78.5cm2，图二的面积是0.5024m2。 五、解答题 22．妈妈新买了一个挂钟，时针长5厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？时针针尖走过的路程是多少厘米？ 【答案】157平方厘米；62.8厘米 【分析】时针长度相当于圆的半径，经过一昼夜，时针旋转2圈，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算出旋转1圈的面积和周长，再分别乘2即可。 【详解】3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 2×3.14×5×2 ＝31.4×2 ＝62.8（厘米） 答：时针扫过的面积是157平方厘米，时针针尖走过的路程是62.8厘米。 23．用一块长2米、宽1米的铁板加工成一个最大的半圆形铁板，这个半圆形铁板的面积是多少平方米？ 【答案】1.57平方米 【分析】根据题意可知：在这个长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的半径等于长方形的宽，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出这个半圆的面积即可。 【详解】3.14×12÷2 ＝3.14×1÷2 ＝3.14÷2 ＝1.57（平方米） 答：这个半圆形铁板的面积是1.57平方米。 24．一个半圆形花坛的周长是30.84米，它的占地面积是多少平方米？ 【答案】 56.52平方米 【分析】根据半圆的周长的逆运算，，即可求出半径，再根据圆的面积公式，求出圆的面积再除以2，即可得解。 【详解】半径：30.84÷（3.14＋2） ＝6（米） 面积：3.14×62÷2 ＝56.52（平方米） 答：它的占地面积是56.52平方米。 25．京华小区门口有一块圆形空地，直径是40米，现在要给这块地铺草皮，每平方米草皮25元钱，那么铺满草皮需要多少钱？ 【答案】31400元 【分析】根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，先求出草皮的面积，草皮的面积×每平方米钱数＝铺满草皮需要的总钱数，据此列式解答。 【详解】3.14×（40÷2）2×25 ＝3.14×202×25 ＝3.14×400×25 ＝1256×25 ＝31400（元） 答：铺满草皮需要31400元钱。 26．一个周长为40厘米的正方形，它的边长与一个圆的直径相等。你知道这个正方形的面积比圆的面积大多少平方厘米吗？ 【答案】21.5平方厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，据此用40除以4即可求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出正方形的面积；求出的正方形的边长即是圆的直径，根据圆的面积＝πr2即可求出圆的面积。最后把它们相减即可解答。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：这个正方形的面积比圆的面积大21.5平方厘米。 27．一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【分析】要求圆的面积，先要求出圆的半径。用周长除以π得出直径，再除以2得出半径，最后利用可解。 【详解】圆的半径： ＝4（米） 占地面积：3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：它的占地面积是50.24平方米。 【点睛】熟练掌握圆的周长和面积的计算方法，先根据圆的周长求出圆的半径，再根据圆的半径求圆的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$