上海市闵行区华东师范大学第二附属中学闵行紫竹分校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟满分150分 一，填空顺〔本大题共有12题，满分54分)考生必须在答题纸的相应编号的 空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分， 1.设2=3+21，其中1为数单位，则|z一 i 2.表面积为4rcm2的球的体积是 cm. 3a=(2x-l),i=(12,0),a5=2,则= 4.不等式x2-3x+2<0的解集为 5.棱长都是2的三棱锥的表面积为 6.如图，三棱柱ABC-AB,C中，若CA=aC8=i.CC=c,则 AB=」 ,(用a,6,c表示) 7.设等比数列{o,}的公比g=2,前n项和为3，则兰=」 a, 8.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六桉柱）的底面边长为4，高为3，若在中间钻一个 圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 9。在三棱锥P-ABC中，设向量丽=(4，-2,3)，AC=(4,1,0), 亚=(6,2，-8)，则顶点P到底面ABC的距离为 10.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小 球的半径最大时，小球的表面积为 山已知数列和，}满是a=a+公，4>0，则0g+fas的最小值为 12.从空间中一定点O出发的两个向量OA、O形满足：OA.OB=-8,10死=2，且存 1 在实数入，使得可≥√2口A+2OB成立，则由OA构成的空间几何体的表面积 是 二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答 案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑， 13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一伸得零分. 13.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，)上单州递增的是() A.y=2 B.y=n C.y= D.y=sinx 14.在空间直角坐标系中，已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点2关于平面xOy 的对称点坐标是() A.01,-1) B.(-1,1,-1) c.1,-1,-1)D.(1,1,1) 15.已知空间中三个单位向量0A、04、0A,O4.04=0404=040%=, 20251 P为空间中一点，且满足O丽.OAOP.OA日O丽.DA=2025,则这样的点P个数 为() A.2 B.4 c.5 D.8 16.已知函数F(x)=sin(2px)+sin(2qx),其中p,9∈N,且p华g. 则关于下列两个命题的判断，说法正确的是（) ①F(x)的最大值为2： ②3a∈(0,1)，x∈R,都有F(a-x)+F(a+x)=0. A①真命题；②真命题 B.①真命题；②假命题 C.①假命题；②真命题 D.①假命题：②假命题 三解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位 置写出必要的步骤 17.（本强满分14分)本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧AB的中点，E 为劣弧CB的中点，已知P0=2,OA=1, (1)求三棱锥P-AOC的体积； (2)求异面直线PA和OE所成角的大小 2 18.(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. D 如图，四棱柱ABCD-A,B,CD,的底面ABCD为正方形，DD,⊥平面 C B ABCD,A4=4,AB=2,点E在CC上，且CE=3EC. (1)求证：4C⊥DE; E D (2)求直线DD与平面BDE所成角的正弦值. 19.(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆 锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为12cm,高为20cm,圆锥母线长为10cm. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费 用 3 20。(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分. 在梯形ABCD中，AB1/CD,∠BMD=于，AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点，线段AC 与DP交于O点（如图1）将△ACD沿AC折起到△ACD位置，使得平面D'AC⊥平面BAC(如 图2)· D B 图1 图2 (1)求证：BC/1平面POD': (2)求二面角A-BC-D的大小： (3)线段PD上是否存在点2，使得C2与平面CD所成角的余弦值为5⑧？若存在， 求出 8 的值：若不存在，请说明理由。 PD 21.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足(x+T)=k·f(x)(其中k,T为正常数). (1)若k=T=2,且y=f(x)为奇函数，求f(1)的值： (2)若k=2,T=4,且f(x)=a·p(x)（a>0且a≠1).证明：存在a,使得函数y=p(x)为 周期函数。 (3若k=5,T=6,且当xe-3]时，f(x)=0(x2-).设S,=2f4k-2)(n为正整 数)，求使得S,S2,S,…,S,都小于2025的最大正整数n. 4