精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆市第十八中学2025-2026学年（上）中期学习能力摸底 八年级数学试题 考试说明： 1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：4页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、多项式乘法、幂的乘方和同底数幂除法等基本运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据运算法则对选项逐个进行计算判断即可． 【详解】选项A：任何非零数的0次幂等于1，，∴ A错误． 选项B：多项式乘法，，∴ B正确． 选项C：幂的乘方，，∴ C错误． 选项D：同底数幂除法，，∴ D错误． 故选：B． 3. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在含的中，， ∴． 故选B． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解，故符合题意； 故选D． 5. 下列说法不正确的是（       ） A. 等腰三角形是轴对称图形  B. 三角相等的三角形是等边三角形 C. 如果两个三角形成轴对称，那么这两个三角形一定全等  D. 若A,B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线、高线或顶角平分线所在的直线，故A正确； B．三角相等的三角形是等边三角形，故B正确． C．根据轴对称的性质知，关于某一条直线对称的两个图形一定全等，故C正确． D．由轴对称的性质可得：若A，B两点关于直线MN对称，则直线MN垂直平分线段AB，故D错误． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质．解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 6. 如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，，根据，可得，，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 7. 若，均为正整数，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，二元一次方程的解，先把化为，化为，得出，即，因为，均为正整数，求出，即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，均为正整数， ∴或， ∴或， 故选：． 8. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由 可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 9. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是上边的中线， ∴，③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，④正确， 综上所述，①②③④都正确，正确的个数有4个， 故选D． 10. 已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加法运算，熟练掌握整式的加法运算是解题的关键． 由题意知，即可判定①；由题意得到，即可求出，从而判定②；先说明，再结合可知，易得或，然后求出满足条件的，然后求和即可判断③；由，然后分五种情况，分别求出符合条件的，然后统计即可解答． 【详解】解：①由题意得∶，故①错误； ②∵， ∴， ∴，故②错误； ③由题意得： ， ∵， ∴ ∴或， ∴或， ∴所有满足条件的整式的和为，故③正确； ④∵， ∴当时，， ∴，即； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，为正整数， ∴或或或， ∴或或或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、为正整数， ∴或 ∴或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，、为正整数， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、、为正整数， ∴即此时不满足要求． ∴所有满足条件的整式有9个，即④正确． 正确的个数是2． 故选：C． 二、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据点与点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】点与点关于x轴对称， 纵坐标互为相反数， ， ． 12. 如图，D在边上，，，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等的性质可知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 14. 若关于x的多项式与的乘积中没有二次项，且常数项为10，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式法则计算，根据展开式中没有二次项与常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则________． 【答案】3.5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点F，由角平分线的定义可得，再证明得出，，求出，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：延长交于点F，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 答案：3.5． 16. 一个四位数，数位上数字均不为0，若千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和是7的倍数，则称为“7柒数”．将“7柒数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数交换位置得到，记，例如：对于3425，∵，，则3425是“7柒数”，∴；对于1648，∵而不是整数，∴1648不是“7柒数”，若为最大的“7柒数”，则_____________；一个四位数是“7柒数”，且A能被3整除，也能被7整除，则满足条件的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 ①. ②. 7854 【解析】 【分析】本题考查了数的表示法、整除的意义、列代数式等知识点，理解“7柒数”的定义是解题的关键． 设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h，则(k为正整数)，根据“7柒数”的定义确定N的值，然后根据的定义求解即可；由题意可得、为7的倍数，再结合A能被3整除可得是3的倍数，即，进而得到，即为整数，再求出A的最大值和最小值，然后求和即可． 【详解】解：设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h， 则(k为正整数)， 要使N值最大，则m最大，即，， ∴N的最大值为6195， ； ，为7的倍数 又能被3整除 是3的倍数 为整数 不妨令，则（此处枚举最大的A应该从最大的开始，找出对应符合题意的） 不妨令，（此处枚举最大的A应该从最小的开始，找出对应符合题意的） 符合题意的A之和为：． 故答案为：，7854． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18题8分，19-25每个题10分） 17. 分解因式： （1）． （2）． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． （2）先通过变形提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算，，，进行计算，即可． （1）根据多项式乘以多项式的运算，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上. （1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）填空：在（1）的条件下，若，试说明. 证明：∵，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴2 ， ∴ ， 在和中，， ∴， ∴. 【答案】（1） 如图所示． （2） ；；；； 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，以小于为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点F； （2）先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明≌，最后根据全等三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等． 20. 是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， ； （2）补全条形图； （3）扇形图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为 ； （4）在3000份调查问卷中，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 【答案】（1）200； （2） （3） （4）1650人 【解析】 【分析】（1）利用选项A的数量除以其所占的百分比求得总数，再利用选项D的数量除以总数求解即可； （2）先利用选项B所占百分比乘以样本容量求得其数量，再补全统计图即可； （3）利用选项A的百分比乘以即可求解； （4）先求得选项B和选项C所占百分比的和，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：由图得，抽取的调查问卷共（份）， ； 【小问2详解】 解：选项B的人数为：； 条形统计图略 【小问3详解】 解：， 答：选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，（人）， 答：选择“界面优化”和“报告”的总人数为1650人． 21. 如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边对等角是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再证明，即可证明，得到； （2）由等边对等角可得，设，则，，再根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了求代数式值的能力，关键是能进行准确化简、计算． 先化简该代数式，再将，代入进行计算． 【详解】解： ， 当，时． 原式 ． 23. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌的足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． （1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？并写出具体的方案． 【答案】（1）每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元 （2） 共有三种购买方案：方案1：购买甲种品牌的足球20个，乙种品牌的足球30个；方案2：购买甲种品牌的足球21个，乙种品牌的足球29个；方案3：购买甲种品牌的足球22个，乙种品牌的足球28个． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组或不等式组是解答的关键． （1）每个甲种品牌的足球的价格为x元，每个乙种品牌的足球的价格为y元，根据题意列出方程组，进而解方程组即可求解； （2）设购买甲种品牌的足球m个，则购买乙种品牌的足球个，根据题意列出不等式组求得m的取值范围，根据m为整数可得m的取值，进而可得方案． 【小问1详解】 解：每个甲种品牌的足球的价格为x元，每个乙种品牌的足球的价格为y元， 根据题意， 解得 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； 【小问2详解】 解：设购买甲种品牌的足球m个，则购买乙种品牌的足球个， 根据题意，得 解得，又m为整数， ∴m的值为20，21，22， 答：共有三种购买方案：方案1：购买甲种品牌的足球20个，乙种品牌的足球30个；方案2：购买甲种品牌的足球21个，乙种品牌的足球29个；方案3：购买甲种品牌的足球22个，乙种品牌的足球28个． 24. 如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上 (1)如图1所示，若C的坐标是(2，0)，点A的坐标是(﹣2，﹣2)，求点B的坐标. (2)如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，求证：BD = 2AE 【答案】(1)B(0，4)； (2)证明：延长BC，AE交于点F． ∵AC=BC，AC⊥BC，∴∠BAC=∠ABC=45°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAC=22.5°， ∴∠DAE=∠CBD=∠CAF． 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD， 在△ABE和△FBE中， ∵， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE=EF， ∴BD=2AE． 【解析】 【分析】（1）过点A作AD⊥OC，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题； （2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE． 【详解】（1）过点A作AD垂直OC于D． ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠DAC． 在△ADC和△COB中， ∵， ∴△ADC≌△COB（AAS）， ∴AD=OC，CD=OB． ∵A（-2，-2），C（2，0）， ∴OD=2，OC=2， ∴OB=CD=2+2=4， ∴点B坐标为（0，4）； （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并证明其全等是解题的关键． 25. 在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． （1）如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； （2）如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【答案】（1） （2） 猜想， 证明：如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）4 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）猜想，证明：在取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据线段的和差、等量代换即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，从而可得，则当点共线时，的值最小，即的值最小，然后利用等边三角形的性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，综合性强，较难的是题（3），正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2025-2026学年（上）中期学习能力摸底 八年级数学试题 考试说明： 1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：4页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（       ） A. 等腰三角形是轴对称图形  B. 三角相等的三角形是等边三角形 C. 如果两个三角形成轴对称，那么这两个三角形一定全等  D. 若A,B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN 6. 如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，均为正整数，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 8. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 9. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为______． 12. 如图，D在边上，，，则的度数为________． 13. 已知，，则的值为______． 14. 若关于x的多项式与的乘积中没有二次项，且常数项为10，则______． 15. 如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则________． 16. 一个四位数，数位上数字均不为0，若千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和是7的倍数，则称为“7柒数”．将“7柒数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数交换位置得到，记，例如：对于3425，∵，，则3425是“7柒数”，∴；对于1648，∵而不是整数，∴1648不是“7柒数”，若为最大的“7柒数”，则_____________；一个四位数是“7柒数”，且A能被3整除，也能被7整除，则满足条件的最大值与最小值之和为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18题8分，19-25每个题10分） 17. 分解因式： （1）． （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上. （1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）填空：在（1）的条件下，若，试说明. 证明：∵，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴2 ， ∴ ， 在和中，， ∴， ∴. 20. 是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， ； （2）补全条形图； （3）扇形图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为 ； （4）在3000份调查问卷中，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 21. 如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌的足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． （1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？并写出具体的方案． 24. 如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上 (1)如图1所示，若C的坐标是(2，0)，点A的坐标是(﹣2，﹣2)，求点B的坐标. (2)如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，求证：BD = 2AE 25. 在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． （1）如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； （2）如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $