河北省盐山中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若复数z满足待吉-2+，则x的虚部为 A.5 B.i C.1 D.√5i 2.已知集合A={0,1,2},B={0,1,4},C={x|21nx<1),则(A∩B)∩C= A.{0,1} B.1〉 C.{0} D.☑ 3.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1十x)=f(-x).若f(2)=2,则f(号)- A-是 B.-2 C.2 D. 4.已知向量a=(2,1),b=(1,m),且a∥(a十b),则a·b= A.-5 BR是 c号 D.5 5.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(2,一4)是抛物线C上一点，则|AF|= A.10 B.8 C.6 D.4 6.将函数f(x)=2tan (x+)(w>0)的图象向左平移号个单位，得到函数g(x)的图象，若 g(x)为奇函数，则u的最小值是 A号 B.1 C.2 D号 7.已知函数f(x)=x2一mx十2lnx在x=2时取极小值，则其导函数f'(x)的最小值为 A.-5 B.-3 C.-1 D-2 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,S=(26-c2）sinA, 1十1=2 tan Atan C-tan B,则A= A.120° B.135° C.150° D.165° 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正项等比数列(a,}的公比为q,若a:十a=4(a十a),且a,=号，则 A.q=2 8 B.a=3 C.1020是数列1a,)中的项 D.a3,a2十a3,a4成等差数列 10.点P在椭圆C上，C的左、右焦点F1,F2在x轴上，直线PF1和直线PF2分别交C于点A, B,△PAF2的周长为20，C的左顶点和上顶点之间的距离为√41，设离心率为e,那么 A.椭圆焦距为3 Be=号 C.△PFF2面积的最大值为12 D.PF,和PF2斜率乘积为定值 11.设直线y=t与函数f(x)=x(x一3)2的图象有三个交点，其坐标分别为A(a,t),B(b,t), C(c,t),且a<b<c,则 A.f(x)的图象的对称中心为点(2,2) B.a2+b2+c2=20 C.0<abc<4 D.3<c-a≤2√3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若S,=2S3,a1十ag=10,则公差d为 13.已知sina-cos(e-若)=3，则cos(2a-)的值为 14.三棱锥P-ABC中，已知AC=4,PB⊥AC,PA+PC=4√2，|BA一BC|=2√2，当平面PAC 与平面BAC的夹角最大时，三棱锥P-ABC的体积的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分) 已知函数f(x)=cosx. (1)若f(a)=-sin是a∈(0，x),求a; (2)求y=f(2x+)x∈[晋，受]的值域。 16.(15分) 已知双曲线C号-芦-1(o>0,6>0)的焦距为25，离心率为5. (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线l:y=3x一3与C交于P,Q两点，求△APQ的面积 17.(15分) 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BA1⊥AC1,BC_CC1,AC=BC=4,A1在底面ABC上 的射影恰为AC的中点D (1)证明：BC⊥平面ACC1A1; A (2)求二面角A-A1B-C的正弦值. B 18.(17分) 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛， 按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员 继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关 均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派 出的闯关人数X的关系如下：Y=40一10X(X=1,2,3),比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、 乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1,2，，且每人能否闯关成功互不 影响。 (1)已知=是，：=号=司： (I)若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分Y的期望； (Ⅱ)若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分Y=30的概率. (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且0<，<p2<p3<1,要使该队比赛结束后所获积分Y 的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由. 19.(17分) 已知函数f(x)=号x2-8sin(x+p(pl<. (1)若f(x)为偶函数，求p的值； (2)若9=0，讨论函数f(x)在R上零点的个数； (3)当9∈(-受，0]时，设g(x)=f(x)+号x,当x≥0时，g(x)≥0，求p的取值范围 数学·参考答案 1.A12+=5,所以吉5，则计1=厅i-后，即=厅i-5-1,所以：的虚部为.故选A 2.BA∩B={0,1},由21nx<1,解得x∈(0)，所以(A∩B)∩C={1}.故选B 3.C定义在R上的奇函数f(x),满足f(1+x)=f(-x),f()=2,所以f(号）=f(1+号) f(-2)=-f(号)=-f(1+2）=-f(-号)=f(3)=2.故选c 4.C已知a=(2,1),b=(1,m),则a十b=(2+1,1十m)=(3,1十m).因为a∥(a十b),所以2×(1十m)=1×3,解 得m=立，则6=1，宁.所以a:6=2X1+1X寸=号故选C 5.D由题意，得4p=（-4),解得p=4,则AF=2+号=4.故选D. 6.B函数f(x)=21an(ox+吾)(w>0)的图象向左平移号个单位，得到函数g(x)=f(x+号) 21an[o(r+晋)+若]=2an(ar+弩+晋)，由g(x)为奇函数，则弩+吾=经>w=-+警，kez, 因为w>0,所以w的最小值是1.故选B. 7.C因为f(x)=x2一mx十21nx在x=2时取极小值，所以f(x)=2x一m十2=0在x=2处成立.即： 了(2)=4-m十号=5-m=0,所以m=5.当m=5时f()=2=）2,当x∈（合2）时， 2 x 子(x)<0,当x∈(2，十o)时，f(x)>0,所以f(x)在x=2时取得极小值，故=5.所以原函数表达式为： f(x)=x2-5x十21nx,导函数的表达式为：/(x)=2x-5十2.因为x>0,所以根据基本不等式2x十2≥ 2√2x×二=4.所以导函数的最小值为：4-5=-1.故选C 8.A在△ABC中，S=号esin A,又S=(号-c)sinA,则号esin A=(号b-2)sinA,而sinA>0,则c -2,即(b-2)(b+c)=0,又b+c>0,则6=2，而十C Cos A+osC sin A sin C 血CAC-知祀-而c曲A十ac品B得n品c一智即 2 sin Asin C sin2B=2 sin Asin Ccos B,由正弦定理得b2=2 accos B,由余弦定理b2=a2十c2-2 accos B.因此b=a2十c2 6,即4c=a2+c2-4,则a=7,由余弦定理c0sA-+a=4+C1C=之，又0<A<180 2bc 4c2 所以A=120°.故选A. 9.ABD对于选项A:由a十a,=4(a十a),可得g=a十a=4,且g>0,所以g=2,故A正确：对于选项B: a1十a2 a=aX2=号故5正确：对于造项C,可得a,-e,一专×2号，令a.一号-2，即2 1020,显然该方程无整数解，所以9不是数列(a)中的项，故C错误：对于选项D:因为a,=专a:十a, 号+音=2a,=号，且专+号=4，即a,十a,=2(a十a,)所以aa十aa:成等宏数列，放D正确放 选ABD. 10.BC因为点P,A在椭圆上，所以|PF|十|PF2|=2a,|AF+ |AF,|=2a,故△PAF:的周长为|PA|+|AF,|+|PF2|=|PF|+ |PF2|+|AF:|+|AF2|=4a=20,解得a=5,因为左顶点和上顶点之 间的距离为√a+b=√5+b=√4红，解得b=4,则c=a-b=3, 所以焦距为2c=6,故A销误：e=台=是，故B正确：Sam5=言× a |FF2|×|yP|=c|yp|≤bc=12,当点P位于y轴上时，△PFF2面积 取得最大值12，故C正确：设P(,y,则后+若=1，即y2=16-号，因为五（一3,0），F,(3,0),所以 ,六：六故，，六×产二碧·号不是定值，放D销误故 选BC. 11.ACD因为f(x十2)一2=(x十2)(x一1)2-2=x3一3x为奇函数，其图象关于原点对称，则f(x)的图象 关于点(2,2)对称，A正确.因为f(a)=f(b)=f(c)=t,则a,b,c为函数f(x)一t的3个零点，所以 (x-a)(x-b)(x一c)=x(x一3)2-t=x3-6.x2+9x-t.比较等式两边各项的系数，得a十b十c=6,ab十 bc十ca=9,abc=t,所以a2十b2+c2=(a十b十c)2-2(ab十bc十ca)=36-18=18,B错误.因为f(x)= (x-3)2十2x(x-3)=3(x-3)(x-1),则当1<x<3时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x<1或x>3 时，'(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f(1)=4,极小值为f(3)=0.作f(x)的大致图象 如图所示，由图可知，0<t<4,则abc=t∈(0,4)，C正确.因为ac=9-ab-bc=9 b(a+c)=9-b(6-b)=(b-3)2,则(c-a)2=c2+a2-2ac=18-b2-2(b-3)2= -36+12b=-3(b-2)2十12.由图可知，1<b<3,则9<(c-a)≤12，所以3< c一a≤2√3，D正确.故选ACD. 12.号由S。=2S,则5a士a2-2x3a寸a,即5a,=6a,所以5a,十d)=6a,>5d=a,则a,=d,由 2 2 a,十a=2a,+7d=15d=10.则d=号 ∴cos(2a-)=1-2sm(a-哥)=1-2×（号）广-日 14.√E当平面PAC与平面BAC的夹角最大时为平面PAC与平面BAC垂直时，如图，以AC中点O为原点，平 面PAC与平面BAC所在平面分别为xOy平面和yO:平面建立如图所示的 空间直角坐标系，则A(0,-2,0),C(0,2,0),AC=(0,4,0),因为PA十PC 4√2>AC=4,所以点P为xOy平面上以A,C为焦点、实轴长为4√2的椭 圆上的点，该椭圆方程为台+千=1，设P(,0),则总十华=1，又因 为BA一BC=2√2<AC=4,所以B为yOz平面上以A,C为焦点、实轴 长为2，厄的双曲线上的点，该双曲线方程为号-号=1，设B(0,9,),则 兰-号=1(>2)，所以Pi=(-y-0,2),因为PB1AC,所以P范·A花=（--y1)· 2 2 (04,0)=4(g1-w)=0Pn=0,所以三棱维P-ABC的体积为x=号Sa4ea=号X号X4X |川l=号1，所以(Wx)=专=专(-2)=告(-2)=专云· (8-2x-2)=-88+=-g(x-号)广+2，因为∈[0,3]，所以(Vw)=-8(x-)广+2 ≤2，当且仅当=三时取等号，所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为，2 15,解：1)由f(a)=-sin是，得cosa=-sin是， 所以cosa=sin(-亚)=cos(号+是)=cos, 7π ………3分 因为∈0)，所以a-径 6分 (2)因为f(x)=cosx, 所以y=f(2x+2）=c0s(2x+2),… 8分 由xe[晋，受]，得2xe[晋m],则2z+经∈[x,], 10分 所以c0s≤c0s(2x+)≤cos号5，所以-1≤c0s(2x+)≤7， 所以所求函数的值蚊为[-1，] 13分 16.解：(1)依题意，双曲线C的半焦距c=5,由离心率e=二=5，解得a=1,b2=c2-a2=4,…5分 所以双曲线C的方程为x2一义=1， 4 …7分 6 (2)由(1)知双曲线C的左顶点A(-1,0),点A到直线l:3x-y-3=0的距离d= …9分 w10 [y=3x-3, 由 4x2-y2= 消去y得5x-18z十13=0解得无=1=吕， 11分 则|PQl=√+1x-x,-8严，所以△APQ的面积SAw=号PQ·d=装 …15分 5 5 17.(1)证明：因为A1D⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以BC⊥A1D, …1分 又AA1∥CC1,BC⊥CC1,所以BC⊥AA1,…2分 因为AA∩AD=A1,AA1,ADC平面ACCA1, 4分 所以BC⊥平面ACCA…………… 6分 (2)解：取AB的中点E,连接DE,因为D是AC的中点，所以DE∥BC, 因为BC⊥平面ACCA,ACC平面ACCA1,所以BC⊥AC, 可得DE⊥AC,设DA:=a(a>0), 以D为原点，DE,DC,DA所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 标系，……………………7分 则A(0,-2,0),B(4,2,0),C(0,2,0),C(0,4,a),A(0,0,a), AC=(0,6,a),BA=(-4,-2,a), 因为BA1⊥AC,所以AC·BA=0,即-12+a2=0, 解得a2=12,a=25,a=-2√3（舍去）， 所以C1(0,4,23),A(0,0,23), AB=(4,4,0),BA=(-4,-2,25),BC=（-4,0,0),…8分 设n=(x1y1,1)为平面AA1B的一个法向量， AB·n=0,4z1+4y1=0, 则 即 令x1=3,则y1=一3,1=√3， BA·n=0,-4x1-2y1+23x=0 所以n=(3,-3,5),… 10分 设m=(x,y2,x)为ABC的一个法向量， (BC.m=0, （4x2=0, 则 即 令y=3,则x2=0,x2=3, BA·m=0, -4x2-2y2十2√5x2=0, 所以m=(0,3,√5)，… 12分 n·m -9+3 /7 所以cos《n,m)=Tnm=√/9干9+3×√9+3 14分 设二面角A-A1B-C的平面角为0(0°≤≤180°)， 则m9=√1-()=厘 所以二面角A-AB-C的正弦值为 7 15分 18.解：(1)(I)Y的可能取值为0,10,20,30， PY=0)=子××号-aPY=10)=子××=a PY=20)=}×号-合PY=80)=是 ………2分 所以Y的分布列为： Y 0 10 20 30 1 1 3 24 24 6 所以EY)=0×分+10X+20 1+30× 3105 4 4 …4分 ()第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是号，且必须闯关成功，…6分 所以概率为时×十×号十日× 23 …8分 (2)若顺序为“乙甲丙”： 积分Y1的可能取值为0,10,20,30， P(Y=0)=(1-p2)×(1-p1)×(1-p3),P(Y=10)=(1-2)(1-p:)p3, P(Y=20)=(1-p2)p1,P(Y=30)=p2,……………10分 所以E(Y1)=10(1-p2)(1-p1)p十20(1-p2)p1十30p2.…11分 若顺序为“丙甲乙”： 积分Y2的可能取值为0,10,20,30， P(Y=0)=(1-3)×(1-p1)X(1-p2),P(Y=10)=(1-p)(1-p1)p2, P(Y=20)=(1-p3)p1,P(Y=30)=p3,………… 13分 所以E(Y2)=10(1-p3)(1-p1)p2+20(1-p3)p1十30p3… 14分 E(Y1)-E(Y,)=10(1-p1)(p3-p2)+20p1（p3-p2)+30(p2-p3) =(20-10p1)(p2-a), 由于20-10p1>0,p2一pa<0,所以E(Y1)-E(Y2)<0,E(Y1)<E(Yg),… 16分 所以丙先参赛。………17分 19.解：1)由f(x)=f(-x),得号2-8sin(x+p)=号(-)-8sin(-x+e), 所以sin(x十p)=sin（一x十p)恒成立，又p<π，则g=士受.…4分 (2)由题设知f(x)=号2-8sinx,则f(0)=0,f(x)=3x-8c0s 当≥π时，f(x)>0,所以f(x在[，十o)上单洞递增，f(x)≥f(x)=号>0，所以f(x)在≥元时 无零点；……………6分 令h(x)=f(x),则h'(x)=3+8sinx, 当0<x<π时，h'(x)>0, 所以f'(x)在(0，π)上单调递增，f(0)=-8<0,f'(π)=3π十8>0， 所以F(0)f(π)<0，所以存在x1∈(0，π)，满足f(x1)=0, 即x∈(0，x1)时，f(x)<0:x∈(x1,π)时，f(x)>0,所以x=x1为函数f(x)的极小值点， 又f()<f(0)=0,f(x)=多x2>0,所以f(x)在0<π时存在雅一零点。…8分 当-r<0时，8smx<0,则f(x)>0,当r<-元时，f(x)>号-8>0， 综上，x<0时，f(x)>0恒成立，又f(0)=0,所以x=0也是f(x)的零点. 所以函数∫(x)在R上有2个零点。…………… 10分 （3)当≥要时g(-吾，0]，故g（x)=6x8cos（u+9)>0: 所以g6x)在[号，十e）上单调递增，则g(红)≥g(号)入>誓-8>0，… 12分 当0<x<时，9∈(-受，0]，若si(x+)<0,则g(x)≥0恒成立： 若sin(x十g)>0,令t(x)=g'(x)=6x-8cos(x十p), 则1(x)=6十8sin(x+g)>0,即g(x)在[0，)上单调递增， 又g(0)=-8cosp<0,g'()）=3π+8sinp>0, 所以存在x∈(0，受)，使g(x)=6z-8c0s(x十p)=0,可得cos(xo十p)= 3x0 4 若x∈(0，x),则g'(x)<0,g(x)在(0，x)上单调递减： 若x∈(x,),则g(x)>0,g(x)在(，)上单调递增. 14分 所以gx)≥g)-3x店8sin(x十9)-3-8√-品6≥0，解得x≥2 3 此时eos(红十p)=平≥，所以十y≤晋从而≤吾-≤晋-2 3 所以φ的取值范图为（一受，吾-2] 17分 3