精品解析：新疆乌鲁木齐新潮学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

乌鲁木齐新潮学校2025--2026学年第一学期高二第一次月考 年级：高二科目：数学（问卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（本小题共8题，每道5分，共40分.每道题仅有一个选项符合题意） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解． 【详解】由， 所以的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故选：B． 2. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 3. 已知向量，则在方向上投影的数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知，得， 所以在方向上投影的数量为. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 5. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 6. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 8. 如图，若直线，，斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 二､多选题（本小题共3题，每道6分，共18分.每道题有多个选项符合题意，全部答对得6分，答错或多答不得分，部分答对得部分分） 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10. 直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 三､填空题（本小题共3题，每道5分，共15分） 12. 已知向量平行于向量，则m+n＝_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 13. 已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解. 【详解】过点且与直线（其中不全为零）垂直的直线方程可以写成． 由题意，过点和垂直的直线可写作，即. 故答案为： 14. 无论取何实数，直线都经过定点_____ 【答案】 【解析】 【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即直线， 由于，故， 即无论取何实数，直线都经过定点， 故答案为： 四､解答题（本题共5道小题，共77分） 15. 设直线，根据下列条件求的值： （1）直线的斜率为1； （2）直线在轴上的截距为． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）用表示出直线的斜率，解方程得到的值； （2）令得到在轴上的截距，根据在轴上的截距为，解方程得到的值. 【小问1详解】 当，即或时，直线斜率不存在， 当，即且时，， 所以，解得或（舍去），故． 【小问2详解】 当，即或时，此时不满足题意， 当，即且时， 令，得， 由题意知，，解得（舍去）或，故． 16. 已知. （1）求； （2）当时，求实数k的值. 【答案】（1）2 （2）－1 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【小问1详解】 ， 所以 【小问2详解】 因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 17. 已知空间中三点，，． （1）若向量与相互垂直，求实数的值； （2）求的面积． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； （2）法一，利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解；法二，求出，判断，得，由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ∴， 又∵，∴， 即，解得. 【小问2详解】 法一：由（1）得，， ， 因为，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 18. 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【小问1详解】 因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； 【小问2详解】 以为原点，为基底建立空间直角坐标系， 则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，，，，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面距离； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理将问题转化为证明，，证明只需证明平面，而证明用勾股定理即可证明； （2）利用体积转化法，计算和即可求解. 【小问1详解】 因，，所以， 因为平面平面，平面平面，，所以平面， 又因为平面，所以，， 在中，且， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又因为平面，， 所以平面. 【小问2详解】 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 所以， ， . 设点到平面的距离为， 由体积转化法可知，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐新潮学校2025--2026学年第一学期高二第一次月考 年级：高二科目：数学（问卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题（本小题共8题，每道5分，共40分.每道题仅有一个选项符合题意） 1. 直线倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 3. 已知向量，则在方向上投影的数量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 6. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本小题共3题，每道6分，共18分.每道题有多个选项符合题意，全部答对得6分，答错或多答不得分，部分答对得部分分） 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 10. 直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 三､填空题（本小题共3题，每道5分，共15分） 12. 已知向量平行于向量，则m+n＝_____________． 13. 已知直线方程为，则与垂直，且过点的直线方程是______． 14 无论取何实数，直线都经过定点_____ 四､解答题（本题共5道小题，共77分） 15. 设直线，根据下列条件求的值： （1）直线的斜率为1； （2）直线在轴上的截距为． 16. 已知. （1）求； （2）当时，求实数k的值. 17. 已知空间中三点，，． （1）若向量与相互垂直，求实数的值； （2）求的面积． 18. 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，，，，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $