精品解析：云南曲靖市宣威市第七中学2026届高三下学期5月月考数学试卷

宣威七中2026届高三5月月考卷 一、单选题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 2. 已知，，若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，所以． 考点：平面向量的数量积． 3. 已知数列为正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则，而数列为正项等比数列， 故，故. 4. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数，，则（ ） A. -i B. i C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由欧拉公式求的代数形式，再结合复数运算法则求. 【详解】由欧拉公式可得： ，， 则． 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 6. 若函数有奇数个零点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 7. 某学校高二年级开设 4 门校本选修课程，某班男生 201 寝室的 5 名同学选修，每人只选 1 门，恰有1门课程没有同学选修，则该寝室同学不同的选课方案有 （ ） A. 360种 B. 600种 C. 960种 D. 972种 【答案】B 【解析】 【分析】从4门课程中取出3门课程，再把5名同学分成3组，并分配课程，列式计算即得. 【详解】从4门课程中取出3门课程，有种方法， 把5名同学分成3组，按分组有种方法，按分组有种方法， 把3门课程分配给上述分成的每一组有种方法， 所以该寝室同学不同的选课方案有（种）. 故选：B 【点睛】方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 8. 若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到的表达式,依题意有两个不同的实根，通过换元法，令，将方程转化为关于的方程，分析该方程有两个正根的条件，得到参数的取值范围,利用韦达定理得到与的关系式，将转化为关于的函数,求导，分析其单调性，进而确定取值范围. 【详解】函数，求导得：, 函数恰有2个极值点，即有两个不同实根， 整理得：, 令，转化为二次方程：有两个不同正根， 由二次方程根的分布：,其中， 故, 代入表达式得： , 令，求导得：, 令，，当时，，函数单调递增， 即函数单调递增，，因此在上单调递增， 因此：, 即的取值范围是. 二、多选题 9. 已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解. 【详解】解：圆的圆心，半径, 圆的圆心，半径， 两圆有四条公切线， 两圆外离，又两圆圆心距， ，解得或， 故选：AD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，故A错误； 对选项B，设，则，， ，， 则，故B正确. 对选项C，因为椭圆，，，， 所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：BD 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 鳖臑体积的最大值为2 C. 点到面的距离是 D. 鳖臑内切球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 三、填空题 12. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若|AF|＝|BF|，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为 __. 【答案】 【解析】 【分析】由|AF|＝|BF|，可得l⊥x轴，从而可确定圆的圆心和半径，这样就可以求弦长了. 【详解】解：由于|AF|＝|BF|，所以l⊥x轴， 所以圆心坐标为F（1，0），半径为r＝2， 弦长为， 故答案为：2. 13. 二项式的展开式中常数项等于______． 【答案】70 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为， 令得，所以常数项为． 14. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列中，,…，则____________；若，则数列的前项和是____________（用表示）． 【答案】， 【解析】 【详解】,，，， ，； ， ， ， ， ； ， ， ， 累加得 所以数列的前项和是. 四、解答题 15. 在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直． （1）若，求的值； （2）若角的内角平分线与相交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用正弦定理化边为角，进而可求出，再根据余弦定理求出的关系，再利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用等面积法求出的关系，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 向量与向量垂直， 则， 由正弦定理得， 则， ， ， 即； 【小问2详解】 根据题意，因为为角的内角平分线， 所以 ， 根据余弦定理可得 ， 又， 所以，（当且仅当，取等号）， 所以，所以的最小值为2． 16. 跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 【答案】（1）没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）由题中所给数据求出，然后利用独立性检验的结论即可求解； （2）由题意可得的所有可能取值分别为1，2，3，4，然后计算出对应的概率，利用期望公式即可求解, 【小问1详解】 假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关. 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 因为， 所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联. 【小问2详解】 的所有可能取值分别为1，2，3，4. ； ； ； ， 所以的概率分布为： 1 2 3 4 所以. 所以的数学期望为. 17. 在平面四边形中（图1），为的中点，，且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为的中点． （1）求证：平面//平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理，证明平面//平面. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用平面与平面所成二面角的余弦值为列方程，解方程求得的坐标，由此判断符合题意的点存在，以及求得的长. 【详解】（1）由于分别为的中点，所以由线面平行的判定定理可得//平面.可得//平面，而直线与直线相交，由面面平行的判定定理得平面//平面. （2）因为二面角为直二面角，又，所以，由此建立如图所示的空间直角坐标系.，，，则，设平面的法向量为，则，取得. 设，则，设平面的法向量为，则，取得.由平面与平面所成二面角的余弦值为得，解得，所以，.所以存在点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为，且 【点睛】本题主要考查面面平行的证明，考查根据二面角的余弦值求线段长，考查空间向量法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18. 已知椭圆的左右焦点为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （1）设直线、的斜率分别为、，证明：； （2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线和的斜率，利用点为双曲线上异于顶点的任意一点，化简即可得到结论； （2）又由直线的方程与椭圆联立方程组，结合韦达定理求得，利用弦长公式，求得，代入，即可求解. 【详解】（1）设，则， 因为点为双曲线上异于顶点的任意一点，所以， 所以，即. （2）由直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 所以， 所以， 同理可得，因为，可得 则 即存在常数，使得恒成立. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）设函数． ①若时，函数单调递增，求的取值范围； ②若函数无零点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而求得的最大值，证得； （2）①根据当时，函数单调递增，可得在上恒成立，分离参数，得在上恒成立；构造函数， 利用导数分析函数的最值，可得的取值范围；②分三种情况讨论，函数的取值情况，求出无零点时对应的的取值范围，综合各种情况可得函数无零点时，的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以； 【小问2详解】 函数的定义域为， . ①若时，函数单调递增，则在上恒成立， 因为，所以，即在上恒成立. 令，则恒成立， 所以是增函数，所以. 所以的取值范围是； ②当时，，所以在定义域上无零点； 当时，， 若，则，； 若，则，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 若函数无零点，则，所以. 当时，由，得； 又，所以恒成立，无零点. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中2026届高三5月月考卷 一、单选题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知，，若，则 A. B. C. D. 3. 已知数列为正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数，，则（ ） A. -i B. i C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有奇数个零点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 16 D. 18 7. 某学校高二年级开设 4 门校本选修课程，某班男生 201 寝室的 5 名同学选修，每人只选 1 门，恰有1门课程没有同学选修，则该寝室同学不同的选课方案有 （ ） A. 360种 B. 600种 C. 960种 D. 972种 8. 若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若△的面积为，则点的横坐标为 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 鳖臑体积的最大值为2 C. 点到面的距离是 D. 鳖臑内切球的半径为 三、填空题 12. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若|AF|＝|BF|，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为 __. 13. 二项式的展开式中常数项等于______． 14. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列中，,…，则____________；若，则数列的前项和是____________（用表示）． 四、解答题 15. 在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直． （1）若，求的值； （2）若角的内角平分线与相交于点，求的最小值． 16. 跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 17. 在平面四边形中（图1），为的中点，，且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为的中点． （1）求证：平面//平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的左右焦点为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （1）设直线、的斜率分别为、，证明：； （2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）设函数． ①若时，函数单调递增，求的取值范围； ②若函数无零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $