精品解析：陕西省宝鸡市某校2025-2026学年高三上学期第二次质量检测数学试卷

凤翔中学2025-2026学年第一学期高三数学科 第二次质量检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知，且为实数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数运算化简复数，然后根据复数为实数的条件建立a的方程求解 【详解】因为为实数，所以. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据并集的定义求. 【详解】因为不等式的解集为， 所以， 函数的值域为， 所以， 所以， 故选：B. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助全概率公式与对立事件概率公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C. 4. 的展开式的常数项为，则实数（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而列方程可求出的值 【详解】的展开式的通项，令，得， 所以，解得， 故选：B. 【点睛】此题考查二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题 5. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可. 【详解】因为函数的周期为2，且为奇函数， 所以， 因为， 所以， 故选：A 6. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 7. 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围. 【详解】由得：， 当时，或； 作出图象如下图所示， 则有三个不等实根，与有四个不同交点， ，解得：； 当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 8. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲 7.0 8.3 8.9 8.9 9.2 9.3 乙 8.1 8.5 8.6 8.6 8.7 9.1 故可得如下表格： 甲 乙 中位数 A正确 极差 B正确 第75百分位数 ，故第75百分位数是第5个数 C错误 9.2 8.7 方差 由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差 D正确 故选：ABD 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 11. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若与不垂直，则也不垂直 B. 若，且，则 C. 若，则或 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合选项中给出的条件，依次分析直线与平面的可能位置关系，可得到正确答案. 【详解】由题可知，.与的关系可能相交，可能平行，也可能在其中的一个平面内. 选项A：以正方体为例，与平面不垂直，平面平面，但.所以选项A错误； 方法二，若与不垂直，当,与可能垂直（如下图）.所以选项A错误； 选项B：在内任取不在直线上的一点，过直线与点作平面， 设，又因为，所以.同理，由可得存在直线，不同于直线，使得， 所以，又，，故，又，，所以，得到，故选项B正确； 选项C：因为，所以，若，又，则， 同理可得若，又，则．若都不成立，则，且，所以． 又，所以与是同一条直线，这与题设矛盾． 故中至少有一个成立，故或，故选项C正确； 选项D：当，时有可能，故选项D错误． 故选:BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别是函数，的零点，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 13. 已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________． 【答案】34 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长. 【详解】因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 14. 如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解； （2）通过余弦定理得到，最后根据三角形面积公式得结果. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，因为， ，，所以，解得， 所以的面积为. 16. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 17. 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. （1）当时，求甲第二局获胜的概率. （2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）①；②的分布列为 2 3 ，期望为.【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解, （2）①②根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解. 【小问1详解】 设“甲第局获胜”，其中，依题意得， 当时，由全概率公式得. ， 所以甲第二局获胜的概率为. 【小问2详解】 ①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. ②的可能取值为2，3. ， 所以的分布列为 2 3 . 18. 如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； （1）求证：平面 ； （2）求证：平面 ； （3）若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上. 【答案】（1） 证明：取PB 中点M，连接MF、AM， M、F分别为PB、PC的中点， ， ，点在上，， ， 且， 四边形AEFM为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB. （2） 证明：，， ， 平面， ， ，平面PAB，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB， ， ，M为PB的中点， ， ，平面PBC，平面PBC， 平面PBC， ， 平面PBC. （3） 证明：平面， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 在同一个球面上，且， 为球心， 球心在平面ABCD上. 【解析】 【分析】（1）取PB 中点M，连接MF、AM，根据几何性质，可得四边形AEFM为平行四边形，进而可得，根据线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据线面垂直的性质、判定定理，可证，结合等腰三角形性质，可证平面PBC，即可得证； （3）根据题干条件，可分别计算PE、BE、CE、DE的长度，结合条件，即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 19. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【小问1详解】 因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于根据结合二项展开式整理，并讨论奇偶项求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年第一学期高三数学科 第二次质量检测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知，且为实数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式的常数项为，则实数（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 5. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 7. 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若与不垂直，则也不垂直 B. 若，且，则 C. 若，则或 D. 若，，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别是函数，的零点，则的值为________. 13. 已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________． 14. 如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 17. 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. （1）当时，求甲第二局获胜的概率. （2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 18. 如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； （1）求证：平面 ； （2）求证：平面 ； （3）若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上. 19. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $