精品解析：辽宁省锦州市凌海市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

凌海市2025～2026学年度上学期八年级期中质量检测 数学试卷 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 注意事项：考生答题时，必须将答案涂（写）在答题卡（纸）上，答案写在卷纸上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 在下列各数……，，，3.1415，2.0101001……（相邻两个1之间依次多1个0），76.0123456……（小数部分由连续的自然数组成）中，无理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 图书馆相对于小青家的位置如图所示，则用方向和距离描述小青家相对于图书馆的位置说法正确的是（ ） A. 北偏东， B. 北偏东， C. 南偏西， D. 南偏西， 3. 下列说法错误的是（    ） A. 的立方根是 B. 是的算术平方根 C. 的平方根是 D. 的平方根是 4. 在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形，且 B. 是直角三角形，且 C. 是直角三角形，且 D. 不是直角三角形 5. 若点在第四象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. 关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A. 28 B. 25 C. 30 D. 24 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 化简：_______________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是______． 13. 已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：______ 14. 2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 15. 已知当m，n都是实数，且满足时，称为“开心点”，例如点为“开心点”．因为当时，，，得，， 所以，，所以， 所以是“开心点”． 点，，中，“开心点”是______． 三、计算题（本大题共5个小题，每题4分，共20分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 四、画图题（17题6分） 17. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点),请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点为（___________，___________）； （2）求出的面积为___________； （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为（___________，___________）． 五、解答题（本大题共6小题，18～19题5分，20～21题6分，22题7分，23题10分） 18. 先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ （1）填空：的整数部分是 ； （2）a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第三象限内有一点，连接交y轴于点，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 20. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 21. 某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． （2）安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 22. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． （1）当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． （2）当为直角三角形时，求出t的值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点A、B的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点A、B的“和谐点”． （1）直接写出点，的“和谐点”C的坐标： （2）点，点，点是点D、E的“和谐点”． ①求y与x之间的函数关系式； ②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌海市2025～2026学年度上学期八年级期中质量检测 数学试卷 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 注意事项：考生答题时，必须将答案涂（写）在答题卡（纸）上，答案写在卷纸上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 在下列各数……，，，3.1415，2.0101001……（相邻两个1之间依次多1个0），76.0123456……（小数部分由连续的自然数组成）中，无理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，判断无理数时通常要结合有理数的概念进行，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．结合有理数和无理数的概念逐一进行判断即可得到无理数的个数． 【详解】解：……，是有理数； ，是无理数； 3.1415，是有理数； 2.0101001…（相邻两个1之间有1个0），是无限不循环小数，是无理数； 76.012 345 6…（小数部分由连续的自然数组成），是无理数， ∴无理数有4个． 故选：B． 2. 图书馆相对于小青家的位置如图所示，则用方向和距离描述小青家相对于图书馆的位置说法正确的是（ ） A. 北偏东， B. 北偏东， C. 南偏西， D. 南偏西， 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【详解】∵图书馆相对于小青家的位置是北偏东55°的方向上，相距3km． ∴小青家相对于图书馆的位置是南偏西，相距 故选：D． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 3. 下列说法错误的是（    ） A. 的立方根是 B. 是的算术平方根 C. 的平方根是 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意； B. 是的算术平方根，正确，不符合题意； C. 的平方根是，正确，不符合题意； D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形，且 B. 是直角三角形，且 C. 是直角三角形，且 D. 不是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是计算三角形三边的平方，判断是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，进而确定直角三角形及直角的位置． 先计算三边的平方，即，，；观察发现，根据勾股定理的逆定理，可知最长边所对的角为直角，即，由此判断选项． 【详解】解：A、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； B、若，则需满足，计算得，符合勾股定理的逆定理，此选项符合题意； C、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； D、由B的分析可知，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 5. 若点在第四象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．根据点为第四象限内的点，可得 ，进而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：∵点为第四象限内的点， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出轴，再由垂线段最短，可得当时，有最小值，则此时轴，据此可得答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴轴， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时轴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 设，则，由折叠可得，，，根据勾股定理在中有，在中有，因此，代入求解得到，从而，，再由线段的和差即可解答． 【详解】解：设，则， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴，， ∴． 故选：C 8. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，， ∴， ∴点C表示的数为． 9. 关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确； ②， 当时，， 故函数过，故正确； ③图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A. 28 B. 25 C. 30 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，然后，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点M ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 由可得，再根据去绝对值，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：． 13. 已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根，根据数轴得到a、b的正负号是解题的关键． 由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 14. 2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 15. 已知当m，n都是实数，且满足时，称为“开心点”，例如点为“开心点”．因为当时，，，得，， 所以，，所以， 所以是“开心点”． 点，，中，“开心点”是______． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键． 根据“开心点”的定义解答即可． 【详解】因为当时，，，得，， 所以，， 所以， 所以是“开心点”． 因为当时，，，得，， 所以，， 所以， 所以不是“开心点”． 因为当时，，，得，， 所以，， 所以， 所以是“开心点”． 故答案为：和． 三、计算题（本大题共5个小题，每题4分，共20分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据零指数幂，负指数幂，算术平方根以及化简绝对值进行计算即可； （5）根据二次根式的除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：， 原式， ； 【小问2详解】 解：， 原式， ； 【小问3详解】 解：， 原式＝ =； 【小问4详解】 解：， 原式 = ； 【小问5详解】 解：， 原式 ． 四、画图题（17题6分） 17. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点),请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点为（___________，___________）； （2）求出的面积为___________； （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为（___________，___________）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， ， （2） （3） 如图所示，点即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：，． 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，交轴于点，由轴对称性可得，进而得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求，再根据图形写出点的坐标即可； 本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 由图可得，点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为：； 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共6小题，18～19题5分，20～21题6分，22题7分，23题10分） 18. 先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ （1）填空：的整数部分是 ； （2）a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 【答案】（1）n （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分； （2）①估算出，得到整数部分和小数部分即可；②将①中结果代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 的整数部分为； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是：， 小数部分是：； ② ． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第三象限内有一点，连接交y轴于点，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）先求出的面积，进而得到的面积，再利用求出的长度，再对点P在点C的下方和点P在点C的上方时，进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， 当点P在点C的下方时，，∴， 当点P在点C的上方时，，∴， ∴综上，点P的坐标为或． 20. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 【答案】站应建在离站处． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．根据使得，两村到站的距离相等，则，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 答：站应建在离站处． 21. 某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． （2）安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【小问1详解】 解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， 【小问2详解】 解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 22. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． （1）当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． （2）当为直角三角形时，求出t的值． 【答案】（1） （2）8或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （2）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； 【小问2详解】 解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即①． 在中，根据勾股定理得，， 即②． 结合①和②得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点A、B的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点A、B的“和谐点”． （1）直接写出点，的“和谐点”C的坐标： （2）点，点，点是点D、E的“和谐点”． ①求y与x之间的函数关系式； ②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由 “和谐点”定义．代入计算，即可求出“和谐点”C的坐标： （2）①由点是点D、E的“和谐点”．按定义求出，，用含x的式子表示t得，消去t则， ②直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，由TD⊥x轴说明T、D两点横坐标相同得，求出t即可． 【详解】（1）由点，与“和谐点”定义． ，， “和谐点”C的坐标：C（，）； （2）①点，点，点是点D、E的“和谐点”． ，， ， ， ， ②直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时， TD⊥x轴， ， ， ， E． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中新定义问题，掌握新定义的坐标关系，会根据新定义规则进行计算抓住T、D和坐标关系是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $