精品解析：辽宁省沈阳市第二十中学2025-2026学年高二上学期阶段验收（10月月考）数学试题

沈阳市第二十中学2025-2026学年度（上）阶段验收 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 5. 的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则BC边所在直线的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知两条直线的交点的坐标，再利用角平分线的性质求出点关于直线对称点的坐标，进而求出直线方程. 【详解】由，得，则点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 显然点在直线上，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 6. 正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 7. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题意转化为圆心到直线的距离不大于半径的倍，解不等式即可求解． 【详解】设两切点为，则，由题意，则是正方形， 故（为圆的半径）， 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 又，直线即， 所以，解得，所以r的取值范围是． 故选：D 8. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 B. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则的取值范围是 C. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 D. 若圆：上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据直线截距式的概念判断；对B，根据题意可得圆心到直线的距离，满足，运算得解；对C，由题可得是以为直径的圆与圆的公共弦，求出以为直径的圆的方程进而求得公共弦所在的直线方程得解；对D，由题可得以为圆心，为半径的圆与圆相交，利用两圆的位置关系列式运算得解. 【详解】对于A，选项中的直线不能表示截距为 0 的直线，故A错误； 对于B，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离，满足，即，解得或，故B正确； 对于C，因为点为直线上一动点，所以设， 因为过点向圆引两条切线，所以点不能在圆上， 所以，即且， 因为，是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心， 所以，所以点在以为直径的圆上， 即弦是圆和圆的公共弦. 因为圆心的坐标是，且半径， 所以圆的方程为 ， 又， 所以，得， 即公共弦所在的直线方程为， 所以由，得 所以直线过定点，故C正确； 对于D，依题可知以为圆心，为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为，所以  ， 又  ，所以  ，解得  ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由目标式表示在上点与所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点斜率公式求范围即可. 【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围， 如图，，则，，故的取值范围是. 故答案为： 13. 若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得直线过圆心，即得，化简整理后利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得，其圆心为， 因为该圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 所以， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为. 故答案为： 14. 已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点满足，其中，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知分析得P在平面上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且，再由，即可求目标式最值. 【详解】由题设，易得点P在平面上，且， 则 ，即． 由直四棱柱的性质，得平面，平面， 所以，而，则， 因为，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若存在，设直线的方程，利用计算即可； （2）在中利用勾股定理即可. 【小问1详解】 圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. 【小问2详解】 由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 16. 已知的三个顶点的坐标为、、. （1）求过点在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可； （2）先求出，根据直线垂直与斜率的关系可得边的垂直平分线所在直线的斜率，进而求得直线方程； （3）先求出，根据直线垂直与斜率的关系可得边上的高所在直线的斜率，进而求得直线方程. 【小问1详解】 当所求直线过原点时，在轴上的截距和在轴上截距均为0，满足题意， 此时直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； 当所求直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 则所求直线的方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. 【小问2详解】 由， 则边的垂直平分线所在直线的斜率为， 而的中点为，即， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 【小问3详解】 由， 则边上的高所在直线的斜率为3， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 17. 如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面，又平面，所以， 因为，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以 ，. 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）欲证，需证平面，即需证垂直于平面内的两条相交直线和，根据直线平面，可证，根据勾股定理的逆定理可证，从而原命题得证. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）易知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （方法一）由题知，即，且， 因为平面，所以平面. 因为平面，所以， 又由是所在棱的中点，得，所以； 易知四边形是正方形，可知，所以； 又由，且面，所以平面， 因为平面，所以面平面； （方法二）由知，可以分别以 作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 不妨记，设， 可得，， 记平面的法向量为，可得， 取得，即； 同理可得平面的法向量为； 因为，所以，所以平面平面； （2） 由知，可以分别以 作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 不妨记，设， 可得， 则， 因为面面，所以， 故，解得，即； ， 记平面的法向量为，可得 ，取得，即； 假设棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，则， 由题知， 解得或4（舍去），即，所以. 【解析】 【分析】（1）法一：根据折叠前后的线线垂直关系结合线面垂直判定定理可得平面，从而得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而得平面平面； 法二：分别以作为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解平面和平面的法向量，根据法向量的关系可得平面平面； （2）分别以作为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解平面的法向量，设，从而得直线的方向向量，再根据直线与平面所成角的正弦值与空间向量的坐标关系计算即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求； （3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2） （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【解析】 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【小问1详解】 设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． 【小问2详解】 曲线的圆心到直线的距离， 所以． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第二十中学2025-2026学年度（上）阶段验收 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 4. 对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则BC边所在直线的方程（ ） A. B. C. D. 6. 正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 B. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则的取值范围是 C. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 D. 若圆：上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 三、填空题 12. 若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________. 13. 若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为_____. 14. 已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点满足，其中，若，则的最小值为_____. 四、解答题 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 16. 已知的三个顶点的坐标为、、. （1）求过点在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程. 17. 如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求； （3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $