专题06 统计和概率（期末真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期人教B版

专题06 统计和概率 5大高频考点概览 考点01 统计数据的计算 考点02 频率分布直方图 考点03 随机抽样 考点04 互斥事件、对立事件和独立事件的概率 考点05 古典概型 地 城 考点01 统计数据的计算 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)样本数据13，11，14，14，16，20，22，24的分位数为（   ） A．16 B．20 C．21 D．22 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)某地有9个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为，则这组数据的第72百分位数为（    ） A．289 B．299 C．305 D．361 3．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 4．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（    ） A．样本中层次身高的女生少于男生 B．样本中层次身高人数最多 C．样本中层次身高的学生人数占总人数的 D．样本中层次身高的男生有人 5．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)甲、乙两组数据整理成茎叶图如图所示，下列说法错误的有（    ） ①甲组数据平均数比乙组小； ②乙组数据离散程度更小； ③甲组的分位数比乙组的分位数大10； ④甲组的极差比乙组的方差大； ⑤选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为. A．①④⑤ B．①③④ C．①③ D．②④ 6．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)测甲，乙两组各10名学生的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（    ） A．两组学生身高的极差相等 B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小 D．甲组学生身高在以上的人数较多 二、多选题 7．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（   ） A．乙同学阅读时间更加稳定 B．甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C．乙同学阅读时间的极差为20 D．甲同学阅读时间的分位数为25 9．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)下列说法正确的是（    ） A．个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是 B．一组数据、、、、、的分位数为 C．若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为 D．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 10．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法正确的是(    ) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 D．讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差 11．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法正确的是（   ） A．男生样本数据的分位数是86 B．男生样本数据的中位数大于女生样本数据的众数 C．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 三、填空题 12．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 13．(24-25高一上·辽宁大连·期末)为了快速了解某学校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的40%分位数为 kg. 地 城 考点02 频率分布直方图 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． (1)求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； (2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 2．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 3．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）； (2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率； (3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择： 方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元； 方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由. 5．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； (2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 6．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 7．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 地 城 考点03 随机抽样 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 三、解答题 3．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄； (2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差. 附： 地 城 考点04 互斥事件、对立事件和独立事件的概率 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 5．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)设，为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，，则 C．数据，，，，，，，，，的分位数是7.8 D．若与相互独立，，， 三、填空题 6．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 地 城 考点05 古典概型 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是”   “否” 学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 二、解答题 3．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 4．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. (1)求第一轮比赛未分出胜负的概率； (2)求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 5．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为、. (1)若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； (2)若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值. 二、多选题 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)关于事件与概率，下列说法中错误的是（    ） A．两独立事件、，、均不发生的概率为，发生且不发生的概率等于发生且不发生的概率，则事件发生的概率为 B．现有A、B、C、D四人，以抽签方式随机分为两组分别进行比赛，已知A胜率为60%，B胜率为40%，则最终A、B均获胜的概率为 C．某一组数据编号，从中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的概率比为偶数的概率大 D．甲乙二人约定某天上午到10点交易，假设二人均在这段时间到达且在这段时间内任意时刻到达的概率相等，约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消，则交易成功的概率为 三、填空题 7．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 四、解答题 8．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计和概率 5大高频考点概览 考点01 统计数据的计算 考点02 频率分布直方图 考点03 随机抽样 考点04 互斥事件、对立事件和独立事件的概率 考点05 古典概型 地 城 考点01 统计数据的计算 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)样本数据13，11，14，14，16，20，22，24的分位数为（   ） A．16 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据百分位数定义计算即可得. 【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，14，16，20，22，24. 因为， 所以数据的分位数为：. 故选：C 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)某地有9个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为，则这组数据的第72百分位数为（    ） A．289 B．299 C．305 D．361 【答案】C 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据百分位数的估计方法计算即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得189，247，265，285，289，293，305，361，403， 因为，所以这组数据的第72百分位数为第7个数305. 故选：C. 3．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 【答案】B 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案. 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 4．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（    ） A．样本中层次身高的女生少于男生 B．样本中层次身高人数最多 C．样本中层次身高的学生人数占总人数的 D．样本中层次身高的男生有人 【答案】D 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A选项，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为人， 样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人， 所以，样本中层次身高的女生少于男生，A对； 对于B选项，因为男生中层次的比例最大，女生中层次的比例最大， 所以样本中层次身高人数最多，B对； 对于C选项，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有， 所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，C对； 对于D选项，样本中层次身高的女生有人，D错. 故选：D. 5．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)甲、乙两组数据整理成茎叶图如图所示，下列说法错误的有（    ） ①甲组数据平均数比乙组小； ②乙组数据离散程度更小； ③甲组的分位数比乙组的分位数大10； ④甲组的极差比乙组的方差大； ⑤选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为. A．①④⑤ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】根据所给数据计算出平均数、百分位数、方差即可判断①、②、③、④，根据古典概型的概率公式判断⑤. 【详解】甲组数据的平均数为， 乙组数据的平均数为， 所以甲组数据平均数比乙组大，故①错误； 乙组数据比较集中，所以乙组数据离散程度更小，故②正确； 因为，所以甲组数据的分位数为； ，所以乙组数据的分位数为； 则甲组的分位数比乙组的分位数大，故③错误； 甲组的极差为， 乙组的方差为， 所以甲组的极差比乙组的方差小，故④错误. 甲组数据有、在乙组数据中，则选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为，故⑤正确. 故选：B 6．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)测甲，乙两组各10名学生的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（    ） A．两组学生身高的极差相等 B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小 D．甲组学生身高在以上的人数较多 【答案】C 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】分别根据极差, 平均数和中位数的定义计算, 结合选项得出答案. 【详解】选项A，甲组学生身高的极差为， 乙组学生身高的极差为， 则两组学生身高的极差不相等，A错误； 选项B，甲组学生身高的平均值为， 乙组学生身高的平均值为， 则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误； 选项C，甲组学生身高的中位数为， 乙组学生身高的中位数为， 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C正确； 选项D，甲组学生身高在以上的有人，乙组学生身高在以上的有人， 则甲组学生身高在以上的人数较少，D错误． 故选：C． 二、多选题 7．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以， 故A错误，B正确； 因为，所以，即， 故C正确，D错误； 故选：BC. 8．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（   ） A．乙同学阅读时间更加稳定 B．甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C．乙同学阅读时间的极差为20 D．甲同学阅读时间的分位数为25 【答案】ABD 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据给定折线图，计算百分位数、极差、平均数、方差即可判断作答. 【详解】对于B，甲同学在一周内每天阅读时间依次为， 则甲同学阅读时间的平均数为， 乙同学在一周内每天阅读时间依次为， 则乙同学阅读时间的平均数为， 则甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，故B正确； 对于A，甲同学阅读时间的方差为 ， 乙同学阅读时间的方差为 ， 则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时间的方差，故乙同学阅读时间更加稳定，故A正确； 对于C，乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 对于D，将甲同学阅读时间从小到大排列为，因为， 所以甲同学阅读时间的分位数为25分钟，故D正确. 故选：ABD. 9．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)下列说法正确的是（    ） A．个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是 B．一组数据、、、、、的分位数为 C．若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为 D．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 【答案】AD 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，个数据的平均数为，另个数据的平均数为， 则这个数据的平均数是，A对； 对于B选项，将数据由小到大排列依次为：、、、、、， 因为，因此，该组数据的分位数为，B错； 对于C选项，若样本数据、、、的平均数为， 则数据、、、的平均数为，C错； 对于D选项，若样本数据、、、的方差为， 则数据、、、的方差为，D对. 故选：AD. 10．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法正确的是(    ) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 D．讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差 【答案】ABD 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，讲座前中位数为，所以正确； 对于B，讲座后问卷答题的正确率，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以B正确； 对于C，讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以C错误； 对于D，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以D正确. 故选：ABD. 11．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法正确的是（   ） A．男生样本数据的分位数是86 B．男生样本数据的中位数大于女生样本数据的众数 C．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 【答案】BC 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据百分位数、中位数、众数、平均数、方差的定义一一判断即可. 【详解】对于A：，所以男生样本数据的分位数是，故A错误； 对于B: 男生样本数据的中位数为，女生样本数据的众数为87，故B正确； 对于C：女生样本数据的平均数为， 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为，故C正确； 对于D：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 13．(24-25高一上·辽宁大连·期末)为了快速了解某学校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的40%分位数为 kg. 【答案】48 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据百分位数的定义结合题意求解即可. 【详解】这10个数从小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60， 因为， 所以这10个数的40%分位数为， 所以这个学校学生体重的40%分位数约为48 kg. 故答案为：48. 地 城 考点02 频率分布直方图 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． (1)求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； (2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 【答案】(1)； (2)，季度用水量的第75百分位数为． 【来源】辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据题设依次写出、、对应解析式，进而写出分段函数形式； （2）根据频率直方图求参数，由百分位数的定义求季度用水量的第75百分位数. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 所以与之间的函数关系式为. （2）由（1）知，当时，，即季度用水量超过的占， 结合频率分布直方图知，解得． 设第分位数为， 因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占， 所以第分位数在内，故，解得， 即季度用水量的第分位数为． 2．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 【答案】(1)， (2)6 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】（1）根据频率之和为列方程求得，根据百分位数的求法求得这组数据的分位数. （2）根据第2组和第3组的所有人的年龄的方差列方程，化简求得第3组所有人的年龄的方差. 【详解】（1）由表中数据可得，解得， 设第40百分位数为， 因为前2组频率 前3组频率，所以位于第三组：内 即. （2）由题意得，第2组和第3组的频率分别为， 故第2组和第3组所抽取的人数分别为 设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，第2组人数3人， 设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则，求得， 即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40， .解得， 即第3组所有宣传使者的年龄方差为6. 3．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁 (2) (3) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据频率分布直方图计算可得； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）； (2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率； (3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择： 方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元； 方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义求解； （2）根据分层抽样的定义分别求出来自A型电机指标在和及来自B型电机指标在和的台数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元），然后根据题意表示出，分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得B型电机该项指标的平均值为： . （2）根据分层抽样得，来自A型电机指标在和的各1台，分别记为x，y，来自B型电机指标在和分别为3台和1台，分别记为，，和p. 从中任意抽取两件，样本空间可记为 共15个样本点， 记事件M：指标在和内各抽取1件， 则共含3个样本点， 所以. （3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元）， ，， 所以当时，，当时，， 当时，. 综上所述，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一或二都行； 当临界值时，选择方案一. 5．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； (2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 【答案】(1)，分位数为 (2) (3)平均数为，方差为 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可求出的值，利用百分位数的概念可求出分位数； （2）分析可知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率； （3）利用分层抽样的均值和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得：，解得， 抽取的样本中，设第百分位数为， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以，， 则， 解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为. （2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、， 在的有人，设为、、. 则样本空间为， ， 设事件两人分别来自和， 则，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为， 在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为； 这个数据的平均数为，方差为. 由题意，，，，， 且，，则. 由分层抽样方差公式可得： 故得分在内的平均数为，方差为. 6．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】(1)，； (2) 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 【详解】（1）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. （2）由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 7．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】(1) (2) (3)该生态园选择方案获利更多． 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【详解】（1）设样本的中位数为， 则， 即，解得； （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； （3）方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 地 城 考点03 随机抽样 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【答案】C 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】求出行政人员占的比例，从而得到应抽取人数. 【详解】行政人员占的比例为，故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 【答案】AC 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据数据平均数列方程求即可判断A；根据百分数的定义求数据中第分位数判断B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断C；根据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断D. 【详解】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对； B：将数据从小到大排序为， 又，所以第分位数是，错； C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对； D：由样本数据的标准差为6，即方差为， 则数据，，，的方差为，故标准差为，错. 故选：AC 三、解答题 3．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄； (2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差. 附： 【答案】(1)44.5岁； (2)； (3)34. 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均值公式计算得解. （2）利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可. （3）根据分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）这些人的平均年龄（岁）. （2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1， 从这三组中分层抽取6人，则第三组抽3人，记为；第四组抽2人，记为； 第五组抽1人，记为， 样本空间，共15个样本点， 设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”， ，共11个样本点， 所以抽取的2人年龄在不同组的概率. （3）设第四组、第五组年龄的平均数分别为，方差分别为， 则， 第四组有20人，第五组有10人，设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为， 则， . 所以这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为34. 地 城 考点04 互斥事件、对立事件和独立事件的概率 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】利用分步乘法计数原理，结合古典概型，可得答案. 【详解】由题意三位的回文数中个位与百位的数字相同，十位与个位的数字不同， 由于三位数字首位即百位不能为0，故个位与百位相同且不为0，十位数字可以为0，但不能与个位（百位)相同. 若满足三位的回文数是奇数，则个位能选择的数字有，共种不同选择， 十位上的数字在个位数字确定之后只能从剩余的数字和0共9个数字中选择，就只有中选择， 根据乘法计数原理，是奇数的三位回文数共有个数字； 三位的回文数个位和百位相等不能为0，共有9种不同取法， 取定后，十位必须从其它的数字(包括0在内)任取一个，有9种不同的取法， 根据乘法计数原理，三位回文数共有个， 所以从三位数的回文数中任取一个数，取出的数为奇数的概率为. 故选：D. 【点睛】 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为. 故选：D. 3．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果. 【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 . 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 . 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与， 则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与. 计算第一种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第二种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第三种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率: 将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】分别求出样本空间和事件、、、，再利用互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义逐一判断. 【详解】抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件，事件，事件，事件， 且，则与互斥，且与互为对立事件，AB正确； 且真包含于，事件C与D不相互对立，C错误； ，，事件B与D相互独立，D正确. 故选：ABD 5．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)设，为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，，则 C．数据，，，，，，，，，的分位数是7.8 D．若与相互独立，，， 【答案】BD 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】A选项根据对立事件的概念可得；B选项根据互斥事件的概念可得；C选项根据百分位数的定义可得；D选项根据事件相互独立性的概念可得. 【详解】对于A选项，因为与对立，，则，所以A错误； 对于B选项，，则，因为与互斥， 所以，所以B正确； 对于C选项，这组数据一共有10个数，所以分位数为第8个数与第9个数的平均数，为，所以C错误； 对于D选项，若与相互独立，则与也相互独立， 因为，，所以，， 所以，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 6．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 【答案】/0.4375 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 故答案为： 地 城 考点05 古典概型 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是”   “否” 学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】求出回答第一个问题和回答第二个问题勾选“是”的人数，再利用古典概率公式求得答案. 【详解】依题意，抛掷一枚硬币，得到正面或反面是等可能的， 则回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数为人， 又身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，则回答第一个问题选择是的人数为， 因此回答第二个问题选择是的人数为人， 所以估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为. 故选：A 2．(24-25高一上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【答案】C 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数． 【详解】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 二、解答题 3．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【详解】（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． （2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 4．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. (1)求第一轮比赛未分出胜负的概率； (2)求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. （2）明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. 【详解】（1）记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”， 第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立， 则第一轮比赛未分出胜负的概率. （2）甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中， 表示为， 则甲在第3轮比赛时获胜的概率为 . 5．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不小于，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为、. (1)若，，求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； (2)若，求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）根据题意，将获“优秀小组”的事件分拆成三个互斥事件的和，分别求出各个事件的概率即可计算作答； （2）将获得“优秀小组”的概率表示为的函数，令，利用二次函数的基本性质可求出函数最大值、最小值. 【详解】（1）记事件“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””， 事件“甲答对两题，乙答对一题”，事件“甲答对一题，乙答对两题”， 事件“甲、乙都答对两题”， 因为事件、、彼此互斥， 又，，， 因为， 所以在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率为. （2）由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为， 则 ， 因为，所以，又，，则即， 而， 令，则， 因为函数在上为减函数， 当时，取最大值为，此时，，或，； 当时，取最小值，此时，. 所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为，最小值为. 二、多选题 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)关于事件与概率，下列说法中错误的是（    ） A．两独立事件、，、均不发生的概率为，发生且不发生的概率等于发生且不发生的概率，则事件发生的概率为 B．现有A、B、C、D四人，以抽签方式随机分为两组分别进行比赛，已知A胜率为60%，B胜率为40%，则最终A、B均获胜的概率为 C．某一组数据编号，从中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的概率比为偶数的概率大 D．甲乙二人约定某天上午到10点交易，假设二人均在这段时间到达且在这段时间内任意时刻到达的概率相等，约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消，则交易成功的概率为 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】根据相互独立事件的概率公式判断A，根据全概率公式判断B，根据古典概型的概率公式判断C，根据几何概型的概率公式判断D. 【详解】对于A：由题意， 即，解得,故A正确； 对于B：依题意分组一共有三种可能， 若、分在同一组，则、不可能都获胜，此时、均获胜的概率为； 若、分在同一组，则、为一组； 若、分在同一组，则、为一组； 所以、均获胜的概率为，故B错误； 对于C：从一组数据编号中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的有： ，，，，，，，，，，，，，共个， 则三位数字之和为偶数的有个， 所以从中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的概率比为偶数的概率大，故C错误； 对于D：以记为，设甲到达的时间为，乙到达的时间为， 则， 满足条件的事件对应的集合是：， 如图所示：建立平面直角坐标系，区域即图中阴影部分， 所以， 因此两人能够交易成功的概率，故D错误. 故选：BCD 三、填空题 7．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 【答案】/ 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）由题意，其中数字0有12个，即可得概率； （2）考虑，依次计算得结果； （3）考虑，，三种情况，得的解析式，进而有，再求概率的最值； 【详解】（1）当时，有，即这个数字共有195个数字， 其中数字0的个数有12个，所以恰好取得0的概率； （2）当，这个数由n个1位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数，个四位数组成，； 综上，. （3）当时，； 当时，； 当时，， 所以， 同理， 所以，则， 当，则， 当，， 当，， 当，， 由关于单调递增， 当，最大值为， 又，所以时最大值为. 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑四种情况，依次计算；（3）考虑，，三种情况，得到的解析式，得到是解题的关键. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $