精品解析：青海省格尔木市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

格尔木市第一中学2025～2026学年度第一学期期中考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项日填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直接列出不等式组，解得的取值范围，再写出定义域即可. 【详解】由题知，即且，故函数的定义域为. 故选：C. 4. 若，，，，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 5. 设、，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，，则“且”“”， 另一方面，当时，可取，， 则“且”“”， 因此，“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解. 【详解】对于A，，，所以两函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故C错误； 对于D，可知两个函数的定义域均为，且， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选：D. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数值域为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义，对于定义域内任意，都有且仅有唯一的函数值与其相对应，故满足函数关系的有AD. 故选：AD 10. 已知全集，集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的运算与韦恩图即可求解. 【详解】由图可知，,A错误； ，B正确； ，C错误； ,D正确， 故选:BD. 11. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解含参一元二次不等式即可求得结果. 【详解】因为， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式变为， 方程的根为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当且时，不等式的解集为或， 综上所述，当或时，不等式解集为， 当时，不等式的解集为或， 当且时，不等式的解集为或， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合有___________个子集． 【答案】8 【解析】 【分析】先确定集合中元素的个数，再确定集合的子集个数. 【详解】因为，有3个元素， 所以集合有个子集. 故答案为：8 13. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】移项、通分，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】不等式，即，即，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知满足，且，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】令得，再令， 即可求解. 【详解】令得，所以， 令，得. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. 【小问1详解】 因为， ∴，又 ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域（不需要解答过程）． 【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）分和去掉绝对值符号即可得到结果； （2）根据解析式作出函数图象即可： （3）结合（2）中函数图象即可求出值域． 【详解】（1）当时，； 当时，． ∴ （2）函数的图象如图所示： （3）由（2）知，在上的值域为． 17. 已知关于的不等式． （1）若这个不等式的解集为非空集合，求实数的值； （2）若这个不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理列式求解， （2）转化为恒成立后列式求解． 【小问1详解】 因为的解集为非空集合， 所以方程的两个根为，且， 由根与系数关系得，解得或（舍去）． 故的值为． 【小问2详解】 “关于的不等式的解集为”，即关于的不等式恒成立． 当时，不等式化为，不恒成立，不符合题意； 当时，因为关于的一元二次不等式恒成立， 所以解得． 综上，实数的取值范围是． 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1） （2）总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【解析】 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 前面墙的长度为米， 总报价，其中. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【小问1详解】 解：因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 证明：因、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 【小问3详解】 解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格尔木市第一中学2025～2026学年度第一学期期中考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项日填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 4. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设、，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A. B. C D. 10. 已知全集，集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（ ） A. B. C. D. 11. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ） A. B. C. 或 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合有___________个子集． 13. 不等式的解集为______. 14. 已知满足，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 16 已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域（不需要解答过程）． 17. 已知关于的不等式． （1）若这个不等式的解集为非空集合，求实数的值； （2）若这个不等式的解集为，求实数的取值范围． 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $