专题02 不等式性质与基本不等式（必备知识+7大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题02 不等式性质与基本不等式 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 3 考点一：比较两个数（式子）大小念 4 考点二：利用不等式性质判断正误 6 考点三：利用基本不等式求最值（重点） 8 考点四：解一元二次不等式 9 考点五：条件等式有和有积求最值（常考点） 10 实战精练与提升 11 考情解读 一、考试要求 通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养.通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 基本不等式性质 5年5考 基本不等式性质比较大小 预测2026年在选择题中考查 基本不等式解决简单的最值问题 5年5考 利用基本不等式求最值 预测2026年在选择题中考查不等式最值 解不等式 5年4考 解一元二次不等式 预测2026年在选择中考查 知识梳理 知识点1 不等式的性质 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、 作差法比大小： ①；②；③ 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 知识点02 基本不等式 ①已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 小 值 2 ；（简记为：积定和最小）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 大 值 S2 ．（简记为：和定积最大） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：：一“正”、二“定”、三“相等”。 知识点03 一元二次不等式及其解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 讲 考点一 比较两个数（式子）大小 解题策略 比较大小的方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易断出错。 【例1】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【变式1-1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点二 利用不等式性质判断正误 解题策略 利用不等式性质判断正误 1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变； 2．求范围乱用不等式的加法原理致错． 3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错； 4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。 5.注意特值的使用。 【例2】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【变式2-1】若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【变式2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 考点三 利用基本不等式求最值 解题策略 利用基本不等式求最值 利用不等式性质判断正误运用基本不等式求最值时把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到. 这三个条件缺一不可. 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常用变形技巧如下： (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配——配式、配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值 【例1】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【变式1】（多选）已知a，b为正实数，且，则（ ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【变式2】已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 【变式3】已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 考点四 解一元二次不等式 解题策略 解一元二次不等式 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 【例1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3】一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式4】若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． 考点五 条件等式有和有积求最值 解题策略 等式有和有积求最值 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有所求代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 【例1】若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【例2】若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【变式2】已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【变式3】已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 实战训练 1．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．12 6．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 7．已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 9．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 11．用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式性质与基本不等式 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 3 考点一：比较两个数（式子）大小 4 考点二：利用不等式性质判断正误 6 考点三：利用基本不等式求最值（重点） 8 考点四：解一元二次不等式 11 考点五：条件等式有和有积求最值（常考点） 13 实战精练与提升 14 考情解读 一、考试要求 通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养.通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 基本不等式性质 5年5考 基本不等式性质比较大小 预测2026年在选择题中考查 基本不等式解决简单的最值问题 5年5考 利用基本不等式求最值 预测2026年在选择题中考查不等式最值 解不等式 5年4考 解一元二次不等式 预测2026年在选择中考查 知识梳理 知识点1 不等式的性质 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、 作差法比大小： ①；②；③ 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 知识点02 基本不等式 ①已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 小 值 2 ；（简记为：积定和最小）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 大 值 S2 ．（简记为：和定积最大） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：：一“正”、二“定”、三“相等”。 知识点03 一元二次不等式及其解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 考点一 比较两个数（式子）大小 解题策略 比较大小的方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易断出错。 【例1】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 【变式1-1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可得出的大小关系． 【详解】因为，所以． 故选：C. 【变式1-2】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 考点二 利用不等式性质判断正误 解题策略 利用不等式性质判断正误 1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变； 2．求范围乱用不等式的加法原理致错． 3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错； 4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。 5.注意特值的使用。 【例1】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 【变式2-1】若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 【变式2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确．故选：D 考点三 利用基本不等式求最值 解题策略 利用基本不等式求最值 利用不等式性质判断正误运用基本不等式求最值时把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到. 这三个条件缺一不可. 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常用变形技巧如下： (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配——配式、配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值 【例1】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【解析】对于A：，，， 则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：，，，，当且仅当时等号成立， ，即，故的最大值为，故B正确； 对于C：，，，即，， ， 当时，的最小值为，故C错误； 对于D：，，，即 ，， ， 当时，的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 【变式1】（多选）已知a，b为正实数，且，则（ ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项. 【解析】对于A，， 因为（当且仅当时取“=”）， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确； 对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误； 对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确． 故选：BD． 【变式2】已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】B 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式3】已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 考点四 解一元二次不等式 解题策略 解一元二次不等式 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 【例1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 【例2】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【变式1】一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以方程无实数根， 所以二次函数的图象全都在轴的上方， 所以一元二次不等式的解集为. 故选：C 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】依据题意利用十字相乘法求解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 则不等式的解集为或，故B正确. 故选：B 【变式3】一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先分解因式，再求得不等式的解集. 【详解】由可得， 故得. 故选：B. 【变式4】若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 考点五 条件等式有和有积求最值 解题策略 等式有和有积求最值 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有所求代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 【例1】若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立． 故选：A. 【例2】若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【变式1】设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 【变式2】已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 【变式3】已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即， 故D不正确，故选：C． 实战训练 1．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，解得. 因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 2．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，C利用不等式的性质判断即可；对于B，举反例判断；对于D，利用作差法判断 【解析】对于A，当，时，，，此时，故A错误； 对于B，当，时，，但是，故B错误； 对于C，当，时，，，所以，即，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确. 故选：D. 3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【解析】因为，又，， 所以的取值范围是． 故选：C． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理化简分式不等式，并将其等价转化为整式不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，等价于，解得. 故选：B. 5．已知实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 6．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【解析】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 7．已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 8．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 9．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 10．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 11．用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到，从而得，转化成利用基本不等式解决问题. 12．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【解析】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $