专题3.2 从有理数到实数（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题3.2 从有理数到实数 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点1.估算算术平方根 1 知识点2、无理数 2 知识点3、实数的概念及分类 2 知识点4.实数的有关概念与性质 2 知识点5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：无理数 3 考点2：无理数的大小估算 4 考点3：无理数整数部分的有关计算 4 考点4：实数概念理解 4 考点5：实数的分类 5 考点6：实数的性质 5 考点7：实数与数轴 6 考点8：实数的大小比较 6 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 8 知识点1.估算算术平方根 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。 例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为49<50<64，所以<<，即7<<8 。 知识点2、无理数 1.概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.无理数的三种重要形式： （1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如√2 ； （2）圆周率π 及一些化简后含有π 的数，如π/2 ； （3）具有特殊结构的数，如1.010 010 001⋯ （两个“1”之间依次多一个“0”）。 知识点3、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类：数的范围从有理数扩充到实数 （1）按定义分类： （2） 按性质分类： 知识点4.实数的有关概念与性质 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 名称 表示 性质 相反数 实数a 的相反数是−a 。 a,b互为相反数 ⇔ a+b=0 。 绝对值 实数a 的绝对值表示为|a| 。 （1） （2）|a|≥0 ； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|−a| 。 知识点5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数和数轴上的点一一对应。（ ） 2.实数的大小比较 名称 内容 大小比较的几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 大小比较的代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 考点1：无理数 【典例精讲】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练01】（24-25七年级下·青海海西·期中）在实数，，，，中，其中无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练02】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）写出两个无理数，使它们的和为0， ． 考点2：无理数的大小估算 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）估计的值在（  ） A．38和40之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式训练01】（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，在数轴上对应的点可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式训练02】（2025七年级上·全国·专题练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 考点3：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东韶关·阶段练习）（1）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的值； （2）已知是的整数部分，，求的平方根． 【变式训练01】（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26七年级下·全国·单元测试）因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 考点4：实数概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式训练01】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练02】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点5：实数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）已知一组数2，，，，0，，，．把这些数分别填在下面对应的集合中． ①负数集合：{                    }； ②整数集合：{                    }； ③分数集合：{                    }； ④非负数集合：{                    }； 【变式训练01】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；；；；（每相邻两个之间的个数逐次加1）． 有理数集合：________________________． 无理数集合：________________________． 正数集合：________________________． 负数集合：________________________． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数字，0，，，0.38中，有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点6：实数的性质 【典例精讲】（2024·湖北襄阳·中考真题） ． 【变式训练01】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）实数2023的相反数是（   ） A． B．2023 C． D． 【变式训练02】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）实数的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 考点7：实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“<”连接起来． ，，，， 【变式训练02】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直径为2的圆从数轴上表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是 ．（用含的式子表示） 考点8：实数的大小比较 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在下列选项中，最小的实数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式训练01】（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小：2 ．（填“”“ ”或“”） 【变式训练02】（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）比较大小： ． 1．（2024·北京·中考真题）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（2024·山西长治·中考真题）比较大小： ．（填“”“”或“”） 3．（2024·江苏扬州·中考真题）下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024·安徽合肥·中考真题）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 5．（2024·山东青岛·中考真题）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 基础夯实 1．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，，（其中是圆周率）这七个数中，无理数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24七年级下·广西南宁·期中）对于任意实数a，我们用表示不大于a的最大整数，则，如：，，，请根据以上信息， ． 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）计算： ． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）比较大小： （填“<”或“>”）． 7．（23-24七年级下·四川广安·期末）若为两个连续的正整数，且，则 ． 8．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）写出，，，，0，，，0.373773这8个数中的所有无理数（多写或漏写均不得分） 无理数： 9．（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各实数填在相应的大括号内：，，，0，，，，（每两个1之间依次多一个0）． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 10．（25-26七年级上·全国·期中）现有四个实数：，0，， ． (1)请在数轴上近似表示出上列四个实数． (2)请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________． 培优拔高 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）在下列说法中： 是的平方根；的平方根是； 的算术平方根是；是一个负数； 的相反数和倒数都是；； 已知是实数，则；全体实数和数轴上的点一一对应． 正确的是 （填序号）． 15．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）比较大小： 0； ； ； ． 16．（25-26七年级上·广东清远·阶段练习）比较以下三个数的大小：，，，并用“<”连接为 ． 17．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若的值在两个整数与之间，则 ． 18．（24-25七年级上·全国·单元测试）在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接： 19．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上：，，5.21，0，2025，，，， (1)正数集合：{____________……}； (2)正分数集合：{____________……}； (3)负有理数集合：{____________……}； (4)非正整数集合：{____________……}． 20．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 从有理数到实数 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点1.估算算术平方根 1 知识点2、无理数 2 知识点3、实数的概念及分类 2 知识点4.实数的有关概念与性质 2 知识点5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：无理数 3 考点2：无理数的大小估算 4 考点3：无理数整数部分的有关计算 5 考点4：实数概念理解 7 考点5：实数的分类 8 考点6：实数的性质 10 考点7：实数与数轴 10 考点8：实数的大小比较 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 19 知识点1.估算算术平方根 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。 例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为49<50<64，所以<<，即7<<8 。 知识点2、无理数 1.概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.无理数的三种重要形式： （1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如√2 ； （2）圆周率π 及一些化简后含有π 的数，如π/2 ； （3）具有特殊结构的数，如1.010 010 001⋯ （两个“1”之间依次多一个“0”）。 知识点3、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类：数的范围从有理数扩充到实数 （1）按定义分类： （2） 按性质分类： 知识点4.实数的有关概念与性质 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 名称 表示 性质 相反数 实数a 的相反数是−a 。 a,b互为相反数 ⇔ a+b=0 。 绝对值 实数a 的绝对值表示为|a| 。 （1） （2）|a|≥0 ； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|−a| 。 知识点5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数和数轴上的点一一对应。（ ） 2.实数的大小比较 名称 内容 大小比较的几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 大小比较的代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 考点1：无理数 【典例精讲】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的定义． 根据无理数是无限不循环小数逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：A．0是整数，是有理数； B．，是整数，是有理数； C．是无限不循环小数，是无理数； D．是分数，是有理数； 故选：C． 【变式训练01】（24-25七年级下·青海海西·期中）在实数，，，，中，其中无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数． 根据无理数的定义进行分析解答即可． 【规范解答】解：在实数，，，，中，属于无理数的有，，共2个， 故选：B． 【变式训练02】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）写出两个无理数，使它们的和为0， ． 【答案】和（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．写出互为相反数的两个无理数即可满足题意． 【规范解答】解： 为无理数，也为无理数， 且， 故答案为：和（答案不唯一） 考点2：无理数的大小估算 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）估计的值在（  ） A．38和40之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 根据算术平方根的意义估算即可解答． 【规范解答】解：， ∴ ∴， ∴的值在6和7之间， 故选：D． 【变式训练01】（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，在数轴上对应的点可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，数轴上实数的特点．先估算得到，再根据数轴的特点判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴在数轴上对应的点可能点Q， 故选：D． 【变式训练02】（2025七年级上·全国·专题练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 考点3：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东韶关·阶段练习）（1）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的值； （2）已知是的整数部分，，求的平方根． 【答案】（1）8；（2） 【思路点拨】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． （1）先依据平方根与算术平方根的定义求出a、b值，再代入计算即可； （2）根据无理数的估算求出的值，依据算术平方根的定义求出b的值，然后把a、b值代入计算，最后利用平方根定义求解即可． 【规范解答】解：（1）∵的平方根为，的算术平方根为4， ，， ，， ∴； （2）， ， ∵是的整数部分， ， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根． 【变式训练01】（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【规范解答】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 【变式训练02】（25-26七年级下·全国·单元测试）因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出a、b的值．先分别求出的范围，进而求出a、b的值，再代入求出即可． 【规范解答】解：因为， 所以的整数部分为1，小数部分为． 又因为， 所以的整数部分为1，小数部分为， 则． 考点4：实数概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【思路点拨】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【规范解答】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练01】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【规范解答】解：实数的相反数是， 故选：B． 【变式训练02】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【规范解答】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 考点5：实数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）已知一组数2，，，，0，，，．把这些数分别填在下面对应的集合中． ①负数集合：{                    }； ②整数集合：{                    }； ③分数集合：{                    }； ④非负数集合：{                    }； 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了实数的分类，绝对值，非负数是指大于或等于0的数，包括正数和0． 首先化简绝对值，然后根据有理数的分类求解即可． 【规范解答】解：， ①负数集合：{，，}； ②整数集合：{ 2，，0 }； ③分数集合：{，，， }； ④非负数集合：{2，， 0，，}； 【变式训练01】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；；；；（每相邻两个之间的个数逐次加1）． 有理数集合：________________________． 无理数集合：________________________． 正数集合：________________________． 负数集合：________________________． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的分类，分别根据正数和负数的定义、实数以及有理数的概念判断即可． 【规范解答】解：有理数集合：{①②③⑤⑥…}； 无理数集合：{④⑦…}； 正数集合：{②③④⑦…}； 负数集合：{①⑥…}； 故答案为：． 【变式训练02】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数字，0，，，0.38中，有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查实数的分类．根据有理数和无理数的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：这几个数字中，仅不是有理数，其余4个均是有理数， 故选：C． 考点6：实数的性质 【典例精讲】（2024·湖北襄阳·中考真题） ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练01】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）实数2023的相反数是（   ） A． B．2023 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数定义直接求值即可得到答案． 【规范解答】解：实数2023的相反数是． 故选：A． 【变式训练02】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）实数的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了实数、相反数的定义，熟记只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义即可求解． 【规范解答】解：实数的相反数是3， 故选：C． 考点7：实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，先求出圆周长，再确定点B的位置表示的实数即可． 【规范解答】解：圆滚动一周，点A到达了点B的位置，则即为圆周长π， ∴点B的位置表示的实数为， 故选：C． 【变式训练01】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“<”连接起来． ，，，， 【答案】图见解析， 【思路点拨】本题考查了数轴上表示实数，绝对值的化简，熟练掌握数轴是解题的关键． 化简，再把各数在数轴上表示出来，再结合数轴上点的位置求解即可． 【规范解答】解：， 在数轴上表示各数为： ∴由数轴可得：． 【变式训练02】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直径为2的圆从数轴上表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，用点A表示的数减去滚动的距离即可得到点B表示的数，而滚动的距离即为该圆的周长，据此列式求解即可． 【规范解答】解：∵该圆的直径为2， ∴该圆的周长为， ∴该圆滚动一周的距离为， ∵圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 考点8：实数的大小比较 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在下列选项中，最小的实数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了比较实数大小，根据负数小于零小于正数．选项A、B、C均为非负数，D为负数，故D最小． 【规范解答】∵， ∴ D选项的数值最小． 故选：D． 【变式训练01】（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小：2 ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键．利用平方法比较大小，即可解答． 【规范解答】解：∵，且， ∴． 故答案为： 【变式训练02】（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了无理数进行大小比较，解题的关键是把两个无理数平方再比较两个有理数的大小，需要注意两个负数比较大小时，绝对值大的反而小．两个无理数比较大小时，可采用有理法，即把两个无理数平方再比较有理数的大小即可． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 1．（2024·北京·中考真题）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【规范解答】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 2．（2024·山西长治·中考真题）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查实数大小比较，利用平方法比较实数大小即可，熟练掌握平方法比较实数的大小是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题考查无理数的识别，根据无限不循环小数的定义进行判断． 【规范解答】解：-8：整数，属于有理数． （即）：可化为分数，属于有理数． 中π是无限不循环小数，除以2后仍为无限不循环小数，属于无理数． 0.66666…：无限循环小数（对应分数），属于有理数． 0：整数，属于有理数． 9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1）：小数部分有规律但不循环，属于无限不循环小数，是无理数． 0.112134：有限小数，属于有理数． 综上，无理数有和，共2个． 故选：C． 4．（2024·安徽合肥·中考真题）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【规范解答】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解： ， ，， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 5．（2024·山东青岛·中考真题）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用，涉及无理数范围的估算，根据题意，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，根据勾股定理得到长度为，结合无理数范围的估算方法即可得到该正方形的边长最接近整数． 【规范解答】解：根据题意可知，拼成的正方形边长是直角边长为的等腰直角三角形的斜边长，则边长为， ∵， ∴， 又∵， ∴，即与最接近的整数是， ∴该正方形的边长最接近整数是． 故选：C． 基础夯实 1．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答． 【规范解答】解：，， ， 最大的数是． 故选：A ． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，由估算方法得，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，，（其中是圆周率）这七个数中，无理数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的定义及有理数与无理数的区分，解题的关键是先将可化简的数（如平方根、立方根）化简，再根据“无理数是无限不循环小数”的定义判断每个数的类别． 先将题中可化简的数化简（，）；再逐一判断各数是否为无理数，其中有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数；最后统计无理数的个数，匹配选项． 【规范解答】解：先化简题中可化简的数：，； 再判断各数类别：是分数，属于有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；是整数，属于有理数；是整数，属于有理数；是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数有2个，对应选项C． 故选：C． 4．（23-24七年级下·广西南宁·期中）对于任意实数a，我们用表示不大于a的最大整数，则，如：，，，请根据以上信息， ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了无理数的估算． 根据最大整数的定义即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】该题考查了实数的性质，根据绝对值的性质，当所求绝对值的表达式为负数时，其绝对值等于该表达式的相反数．由于，因此，故需取相反数． 【规范解答】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）比较大小： （填“<”或“>”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较；先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果． 【规范解答】解：， 又， ， 故答案为： 7．（23-24七年级下·四川广安·期末）若为两个连续的正整数，且，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，再代入计算即可得． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故答案为：9． 8．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）写出，，，，0，，，0.373773这8个数中的所有无理数（多写或漏写均不得分） 无理数： 【答案】，， 【思路点拨】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式，属于基础题． 根据无理数的定义解答即可． 【规范解答】解：，， ，，，，0，，，0.373773这8个数中无理数有，，， 故答案为：，，． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各实数填在相应的大括号内：，，，0，，，，（每两个1之间依次多一个0）． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【答案】，0；，，；，，（每两个1之间依次多一个0） 【思路点拨】本题考查了实数的分类． 先化简绝对值，再根据整数、分数和无理数的定义，对每个实数进行分类：整数包括正整数、负整数和零；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数． 【规范解答】． 整数：{，0，…}； 分数：{，，，…}； 无理数：{，，（每两个1之间依次多一个0），…}． 故答案为：，0；，，；，，（每两个1之间依次多一个0）． 10．（25-26七年级上·全国·期中）现有四个实数：，0，， ． (1)请在数轴上近似表示出上列四个实数． (2)请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路点拨】本题考查的是在数轴上表示实数，实数的大小比较，熟记算术平方根的含义是解本题的关键； （1）先化简绝对值，求解算术平方根，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴在数轴上表示各数如下： （2）由数轴可得： ； 培优拔高 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，写出点B表示的数.根据到点A的距离为1的数分别位于A点的左侧或右侧，即可得到点B表示的数． 【规范解答】解：∵数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度， ∴点B表示的数为或． 故选：C． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴点表示在和之间，如图： ， 故选：A． 14．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）在下列说法中： 是的平方根；的平方根是； 的算术平方根是；是一个负数； 的相反数和倒数都是；； 已知是实数，则；全体实数和数轴上的点一一对应． 正确的是 （填序号）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数有关概念，分别利用平方根以及算术平方根和二次根式的性质、实数与数轴分别分析得出即可． 【规范解答】解：是的平方根，故此选项错误； 没有平方根，故此选项错误； 的算术平方根是，故此选项错误； 无意义； 没有倒数，故此选项错误； ，故此选项错误； 已知是实数，则，正确； 全体实数和数轴上的点一一对应，正确． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）比较大小： 0； ； ； ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数大小比较、相反数、绝对值等知识点，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 根据实数的大小比较逐个解答即可． 【规范解答】解：；；；． 故答案为：；；；． 16．（25-26七年级上·广东清远·阶段练习）比较以下三个数的大小：，，，并用“<”连接为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查实数的大小比较，根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”解答即可； 【规范解答】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若的值在两个整数与之间，则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 利用估算无理数的方法得出取值范围即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵的值在两个整数与之间， ∴． 故答案为：4． 18．（24-25七年级上·全国·单元测试）在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接： 【答案】数轴见解析， 【思路点拨】本题主要考查了实数和数轴，实数大小的比较，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 先求出这些数的相反数，在数轴上表示出所有数，利用数轴判断其大小即可． 【规范解答】解：的相反数分别为：， 在数轴上表示以上数如下： ∴． 19．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上：，，5.21，0，2025，，，， (1)正数集合：{____________……}； (2)正分数集合：{____________……}； (3)负有理数集合：{____________……}； (4)非正整数集合：{____________……}． 【答案】(1)，5.21，2025，， (2)，5.21， (3)，， (4)，0 【思路点拨】本题主要考查了有理数的定义和分类，有理数包括整数和分数；整数又分为正整数、0、负整数；分数分为正分数和负分数；熟练掌握正数、分数、负有理数和非正整数的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：正数是大于0的数，即正数集合：，5.21，2025，，； 故答案为：，5.21，2025，，． （2）正分数是大于0的分数，分数包括有限小数和无限循环小数，即正分数集合：，5.21，； 故答案为：，5.21，． （3）负有理数是小于0的有理数，即负有理数集合：，，； 故答案为：，，． （4）非正整数是0和负整数，即非正整数集合：，0； 故答案为：，0． 20．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【思路点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【规范解答】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $