5.1认识二元一次方程组（导学案）数学北师大版2024八年级上册

5.1 认识二元一次方程组 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一组数是否为方程组的解.​ 2.能根据实际情境中的等量关系，列出二元一次方程组，提升数学建模能力. 学习重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；根据实际情境列二元一次方程组. 学习难点：理解二元一次方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质；从复杂实际情境中准确提取两个独 立的等量关系. 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P111-P112页的内容，思考： 【学法指导】 情景引入 1. 回顾旧知：“什么是方程？什么是一元一次方程？” . 2.《孙子算经》中 “雉兔同笼” 问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 思考：若用一元一次方程求解，如何设未知数？（设鸡 x 只，兔 35-x 只，列方程 ； 若想直接表示 “鸡的数量” 和 “兔的数量”，能否用两个未知数？ ●探究一：二元一次方程的概念 ◆1.呈现 “绿植栽种” 情境：小明栽种的绿植比小颖多 2 株；小颖减 1 株、小明加 1 株后，小明的数量是小颖的 2 倍. ◆2.分析：（1）关键量为 “ ”“小颖的株数（y）”， （2）等量关系式： ① ② （3） 由此得到怎样的方程？ ① ② ◆3.思考： （1） 上述方程有什么共同特点? （2）它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ （3）你能给它们起个名字么？ ◆4.总结归纳：二元一次方程的定义 含有 未知数，并且所含未知数的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. . 注意：方程的左右两边都是 . ●探究二：二元一次方程组的概念 ◆1.呈现 “公园门票” 情境：8 人买票花 34 元，成人票 5 元 / 张，学生票 3 元 / 张. ◆2.分析：（1）关键量为 “成人数量和 ”“ 和学生总票价”， （2）等量关系式： ① ② （4） 设成人 x 人、学生 y 人，由此得到怎样的方程？ ① ② 3.思考：在上面的方程中的 x、y 含义是否相同？（均代表 “ ”“学生数量”），因而 “需将两个方程联立，组成方程组”，得到 “二元一次方程组”. ◆4.总结归纳：二元一次方程组的定义 共含有 未知数的 个 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 注意：方程组各方程中同一字母必须代表 量. ●探究三：二元一次方程（组）的解 1.探究二元一次方程的解： （1）以“x + y = 8”为例，思考：“x=6，y=2满足方程吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4 呢？” （2）还能找到其他解吗？二元一次方程有几个解？（不考虑实际意义） ◆总结归纳：二元一次方程的解是使方程 相等的一组未知数的值. 2. 探究二元一次方程组的解： 思考：“在‘公园门票’情境中，哪组 x、y 的值能同时满足x + y=8 和 5x+3y =34？”？ 、 ◆总结归纳：二元一次方程组的解是方程组中各个方程的 . 3.检验方法总结：“代入验证法”—— 将未知数的值代入方程（组），若 相等，则为解. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？ 【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则 为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可． （2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数 ． 【解答】 例2：已知是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解． （1）求a的值； （2）请用含有m的代数式表示n． 【分析】（1）将代入 ，得出关于a方程，解关于a的方程即可； （2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作 ，m看作已知数，解方程即可． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨二元一次方程的定义和二元一次方程组的定义； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( ) 2.下面四组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ ( ) 3.二元一次方程组的解是 . 4.下列五组值中，是二元一次方程 的解是 . 5.小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？ 6.是的解吗？？ 题型一：二元一次方程的识别 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x2+2y＝8 B．x﹣1＝3 C．3x﹣y＝0 D． 2．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B．x+y＝1 C． D．3x+1＝2xy 3．（2024春•崇川区校级月考）下列各式，属于二元一次方程的个数有（　　） ①6x﹣2y；②4x+1＝x﹣y；③；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：由二元一次方程的定义求字母的值 4．若关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．2 5．若（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．0 D．1或3 6．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）求x时，y的值． 题型三 由二元一次方程的定义求字母的取值范围 7．关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠3 C．k≠2 D．k≠﹣2 8．若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠3 C．m≠﹣3 D．m≠2 9．已知关于x、y的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0是二元一次方程，则a满足的条件是 　 　． 题型四 二元一次方程组的识别 10．下列方程组中，是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024秋•温江区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 12．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 题型五 由二元一次方程组的定义求字母的值 13．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 　． 14．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则（a﹣1）2019＝　 　． 15．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　． 题型六 二元一次方程的解 16．二元一次方程x+2y＝6的一个解是（　　） A． B． C． D． 17．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　） A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2 18．若是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝　 　． 题 型七 二元一次方程组的解 19．下列二元一次方程组中，以 为解的是（　　） A． B． C． D． 20．如果方程x+y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．5x﹣y＝3 B．5x﹣2y＝2 C．3y﹣2x＝3 D．2（y﹣x）＝x 21．若是方程组的解，则是下列方程（　　）的解． A．5x+2y＝﹣4 B．2x﹣y＝1 C．3x+2y＝5 D．x+y＝1 题型八 根据实际问题列二元一次方程（组） 22．将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（　　） A．x+5＝2y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2 23．现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（　　） A．5x+2＝6（x﹣1）+4 B．5x+2＝6x﹣4 C． D． 24．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（　　） A． B． C． D． ▲1．二元一次方程（组）的概念： (1) 二元一次方程：① ；②未知数次数为 1；③ 方程； (2) 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程. ▲2．二元一次方程（组）的解： (1) 二元一次方程：①使方程左右两边 的一组未知数的值；②无数个解； (2) 二元一次方程组：①方程组中所有方程的 解；②通常一个解. (3) 检验方法：代入验证法. ▲3．列方程组步骤： （1）找关键量（2）提 （3）设未知数，列方程（联立成方程组） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 认识二元一次方程组 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一组数是否为方程组的解.​ 2.能根据实际情境中的等量关系，列出二元一次方程组，提升数学建模能力. 学习重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；根据实际情境列二元一次方程组. 学习难点：理解二元一次方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质；从复杂实际情境中准确提取两个独 立的等量关系. 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P111-P112页的内容，思考： 【学法指导】 情景引入 1. 回顾旧知：“什么是方程？什么是一元一次方程？” “方程是含有未知数的等式”“一元一次方程是含有一个未知数，且未知数次数为 1 的整式方程”. 2.《孙子算经》中 “雉兔同笼” 问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 思考：若用一元一次方程求解，如何设未知数？（设鸡 x 只，兔 35-x 只，列方程 2x+4 (35-x)=94）； 若想直接表示 “鸡的数量” 和 “兔的数量”，能否用两个未知数？ ●探究一：二元一次方程的概念 ◆1.呈现 “绿植栽种” 情境：小明栽种的绿植比小颖多 2 株；小颖减 1 株、小明加 1 株后，小明的数量是小颖的 2 倍. ◆2.分析：（1）关键量为 “小明的株数（x）”“小颖的株数（y）”， （2）等量关系式： ①小明栽种的绿植数量=小颖栽种的绿植数量＋2； ②小明栽种的绿植数量十1=2x(小颖栽种的绿植数量一1） （3） 由此得到怎样的方程？ ①x-y=2；②x+1=2 (y-1). ◆3.思考： （1） 上述方程有什么共同特点? 上面所列方程各含有两个未知数，含有未知数的项的次数是1. （2） 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 未知数的个数是两个. （3） 你能给它们起个名字么？ 二元一次方程 ◆4.总结归纳：二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. . 注意：方程的左右两边都是整式. ●探究二：二元一次方程组的概念 ◆1.呈现 “公园门票” 情境：8 人买票花 34 元，成人票 5 元 / 张，学生票 3 元 / 张. ◆2.分析：（1）关键量为 “成人数量和学生数量”“成人总票价和学生总票价”， （2）等量关系式： ①成人数量十学生数量=8 ②成人的总票价十学生总票价三总的门票钱数 （4） 设成人 x 人、学生 y 人，由此得到怎样的方程？ ① x+y=8；②5x+3y=34. 3.思考：在上面的方程中的 x、y 含义是否相同？（均代表 “成人数量”“学生数量”），因而 “需将两个方程联立，组成方程组”，得到 “二元一次方程组”. ◆4.总结归纳：二元一次方程组的定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. ●探究三：二元一次方程（组）的解 1.探究二元一次方程的解： （1）以“x + y = 8”为例，思考：“x=6，y=2满足方程吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4 呢？” 代入验证，得出 “这些都是方程的解” （2）还能找到其他解吗？二元一次方程有几个解？（不考虑实际意义） 还有，二元一次方程有无数个解. ◆总结归纳：二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一组未知数的值. 2. 探究二元一次方程组的解： 思考：“在‘公园门票’情境中，哪组 x、y 的值能同时满足x + y=8 和 5x+3y =34？”？ “x=5，y=3” ◆总结归纳：二元一次方程组的解是方程组中各个方程的公共解. 3.检验方法总结：“代入验证法”—— 将未知数的值代入方程（组），若左右两边相等，则为解. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？ 【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可． （2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0． 【解答】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以： ①，解得k＝﹣2； ②，无解， 所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程． （2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2， 所以k＝2时，方程为二元一次方程． 例2：已知是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解． （1）求a的值； （2）请用含有m的代数式表示n． 【分析】（1）将代入3m+an＝18，得出关于a方程，解关于a的方程即可； （2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作未知数，m看作已知数，解方程即可． 【解答】解：（1）将代入3m+an＝18，得 3×2+3a＝18， 解得a＝4． （2）∵a＝4， ∴原方程可变为3m+4n＝18， ∴4n＝18﹣3m， ∴． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨二元一次方程的定义和二元一次方程组的定义； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( B ) 2.下面四组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ (（2） （4） ) 3.二元一次方程组的解是 C . 4.下列五组值中，是二元一次方程 的解是 B C D . 5.小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？ 解：设小明买了面值50分的邮票x枚，面值80分的邮票y枚， 可列方程组： 6.是的解吗？？ 解：把x＝3，y＝4分别代入方程①②可得： 方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17； 方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是1. 因此， 是这个二元一次方程组的解。 题型一：二元一次方程的识别 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x2+2y＝8 B．x﹣1＝3 C．3x﹣y＝0 D． 【分析】直接利用二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）分析得出答案． 【解答】解：A、x2+2y＝8含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意； B、x﹣1＝3只含有1个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意； C、3x﹣y＝0符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键． 2．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B．x+y＝1 C． D．3x+1＝2xy 【分析】根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析． 【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误； B、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确； C、D、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程． 3．（2024春•崇川区校级月考）下列各式，属于二元一次方程的个数有（　　） ①6x﹣2y；②4x+1＝x﹣y；③；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【解答】解：①6x﹣2y，是多项式，不是方程； ②4x+1＝x﹣y，属于二元一次方程； ③，不是整式方程； ④x＝y，属于二元一次方程； ⑤x2﹣y2＝2，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程． 所以属于二元一次方程的个数有2． 故选：B． 【点评】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未 题型二：由二元一次方程的定义求字母的值 4．若关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．2 【分析】根据含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程得到|m|＝1且m﹣1≠0，求解即可． 【解答】解：∵关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程， ∴|m|＝1且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值等知识，解题的关键是理解二元一次方程的定义． 5．若（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．0 D．1或3 【分析】根据一元二次方程的定义列绝对值方程求解即可． 【解答】解：∵（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程， ∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题关键，方程的两个未知数的系数不能为0是解题的易错点． 6．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）求x时，y的值． 【分析】二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，当所含未知数的系数有待定字母时，则必须保证两个未知数的系数都不为零，由此入手列不等式组即可求解． 【解答】解：（1）因为，已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程， 所以， 解这个不等式组得：m＝﹣2，n＝3 即：m＝﹣2，n＝3 （2）因为，当m＝﹣2，n＝3时，二元一次方程可化为：﹣4x+6y＝6 所以，当x时，有： ﹣46y＝6 y 即：求x时，y的值为 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是能够将定义所限制的条件“翻译”成对应的数学式子． 题型三 由二元一次方程的定义求字母的取值范围 7．关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠3 C．k≠2 D．k≠﹣2 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数方面考虑． 【解答】解：方程kx﹣3y＝2x+1变形为（k﹣2）x﹣3y﹣1＝0， 根据二元一次方程的定义，得 k﹣2≠0，解得k≠2． 故选：C． 【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 8．若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠3 C．m≠﹣3 D．m≠2 【分析】首先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求x、y的系数均不为0，即m﹣3≠0解出即可． 【解答】解：∵mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程， 移项合并，得（m﹣3）x﹣2y＝4， ∴m﹣3≠0， 解得m≠3． 故选：B． 【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，即一个方程只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程． 9．已知关于x、y的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0是二元一次方程，则a满足的条件是 　 　． 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程即可解答． 【解答】解：∵关于x、y的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0是二元一次方程， ∴， ∴a≠1且a≠﹣2， 故答案为：a≠1且a≠﹣2． 【点评】本题考查了二元一次方程的概念，熟记二元一次方程的概念是解题的关键． 题型四 二元一次方程组的识别 10．下列方程组中，是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义 【解答】解：A、不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意； B、含有3个未知数，故不是二元二次方程组，不符合题意； C、是二元二次方程组，符合题意； D、不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二元yi次方程组的定义，解题的关键是掌握“组成二元二次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是二次的整式方程． 11．（2024秋•温江区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【解答】解：A含有三个未知数，它不是二元一次方程组； B符合条件，它是二元一次方程组； C中mn项的次数为2，它不是二元一次方程组； D中存在不是整式的式子，它不是二元一次方程组； 故选：B． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 12．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是二元一次方程组，故本选项符合题意； B．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．是分式方程组，不是整式方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键，由两个方程组成，并且共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1次的方程组，叫二元一次方程组． 题型五 由二元一次方程组的定义求字母的值 13．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 　． 【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1，b＝5， 则原式＝（﹣1）5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 14．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则（a﹣1）2019＝　 　． 【分析】利用二元一次方程组的定义求出a的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵方程组是关于x，y的二元一次方程组， ∴a＝0， 则原式＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 15．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　． 【分析】根据二元一次方程组的定义： （1）含有两个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是1． 【解答】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1 解得 c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2 所以a+b+c＝﹣2． 或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1， 解得 c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2， 所以a+b+c＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 题型六 二元一次方程的解 16．二元一次方程x+2y＝6的一个解是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别将选项中的解代入方程，使等式成立的即是它的解． 【解答】解：A、2+4＝6，能使方程成立，故该选项正确，符合题意； B、2+6＝8，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意； C、2+8＝10，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意； D、2+12＝14，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 17．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　） A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可． 【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3， ∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6． 故选：B． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 18．若是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝　 　． 【分析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a和b的方程，再根据系数的关系来求解． 【解答】解：把代入方程3x+y＝1，得 3a+b＝1， 所以9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7， 即9a+3b+4的值为7． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，注意运用整体代入的思想． 题型七 二元一次方程组的解 19．下列二元一次方程组中，以 为解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将代入各个方程组，满足此解的方程组即为答案． 【解答】解：将代入各个方程组， A，B，C均不符合， 只有刚好满足解是． 故选：D． 【点评】考查了二元一次方程组的解，本题不难，只要将解代入方程组就很容易解． 20．如果方程x+y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．5x﹣y＝3 B．5x﹣2y＝2 C．3y﹣2x＝3 D．2（y﹣x）＝x 【分析】根据二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A.是方程5x﹣y＝3的解，因此选项A符合题意， B.不是方程5x﹣2y＝2的解，因此选项B不符合题意， C.不是方程3y﹣2x＝3的解，因此选项C不符合题意， D.不是方程2（y﹣x）＝x的解，因此选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的关键． 21．若是方程组的解，则是下列方程（　　）的解． A．5x+2y＝﹣4 B．2x﹣y＝1 C．3x+2y＝5 D．x+y＝1 【分析】先根据解的定义将代入方程组，得到关于a，b的方程组．解得，即．再代入方程检验可得2x﹣y＝1成立． 【解答】解：将代入方程组，得 ． 解得， 即． 代入方程检验可得2x﹣y＝1成立． 故选：B． 【点评】能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 题型八 根据实际问题列二元一次方程（组） 22．将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（　　） A．x+5＝2y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2 【分析】根据将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形可得等量关系：长﹣5＝宽×2，依此得出方程即可． 【解答】解：由题意，得：x﹣5＝2y． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系． 23．现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（　　） A．5x+2＝6（x﹣1）+4 B．5x+2＝6x﹣4 C． D． 【分析】根据“每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物”，即可得出关于x的一元一次方程或方程组． 【解答】解：根据每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物，可得y﹣5x＝2，即y＝5x+2， 根据每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物，可得y﹣6（x﹣1）＝4， ∴得一元一次方程为5x+2＝6（x﹣1）+4或者方程组为，故选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程或由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 24．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼 ∴10x+3y＝77； ∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱， ∴9x＝5y． ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． ▲1．二元一次方程（组）的概念： (1) 二元一次方程：①两个未知数；②未知数次数为 1；③整式方程； (2) 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程. ▲2．二元一次方程（组）的解： (1) 二元一次方程：①使方程左右两边相等的一组未知数的值；②无数个解； (2) 二元一次方程组：①方程组中所有方程的公共解；②通常一个解. (3) 检验方法：代入验证法. ▲3．列方程组步骤： （1）找关键量（2）提等量关系（3）设未知数，列方程（联立成方程组） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $