5.1 认识二元一次方程组（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第5章 二元一次方程 5.1 认识二元一次方程组 【素养目标】 1. 通过提炼实际问题中的数量关系,了解二元一次方程 (组)及其解的定义,形成良好的数学思维习惯,锻炼抽象能力. (重点) 2. 能够检验一组数是不是某个二元一次方程组的解, 提高综合应用能力, 培养严谨的解题习惯. 3. 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组,加强用数学语言描述现实世界的能力,初步培养模型意识的观念. (难点) 【复习导入】 1. 一元一次方程的概念是什么? 2. 什么叫方程的解? 【合作探究】 探究点一: 二元一次方程(组)的概念 情境1:小明和小颖参加课外种植实践活动,他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多 2 株, 如果将小颖栽种的绿植给小明 1 株,那么小明的绿植株数是小颖的 2 倍. (1) 这个情境涉及哪些量? 这些量之间有怎样的等量关系? 等量关系:①_______________________________________. ②_______________________________________. (2) 设小明栽种了 株绿植,小颖栽种了 株绿植, 由此你能得到怎样的方程? 情境2:周末,小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼, 他们一共 8 个人,买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元,每张学生票 3 元。 (1) 这个情境涉及哪些量? 这些量之间有怎样的等量 关系? (2) 设他们中有 个成人、 名学生,由此你能得到怎样的方程? 在上面两个情境中,根据我们分别得到的方程: 思考1 上述方程有什么共同特点? 思考2 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别? 思考3 你能给它们起个名字吗? 【知识要点】 含有两个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 注意: (1) “一次” 是指含未知数的项的次数是 1,而不是未知数的次数,如含有 项的方程就不是一次方程; (2) 方程的左右两边都是整式. 例1 判断下列方程是否为二元一次方程: (1) ； (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 【判断要点】 ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1 ; ④化简后未知数的系数不为 0 . 例2 已知 是关于 的二元一次方程,则 _____. 【变式训练】 1. 若 是关于 的二元一次方程, 则 . 【思考·交流】在上面的方程 和 中, 所表示的对象相同吗？ 呢? 与同伴进行交流。 因而 必须同时满足方程 和 。把它们联立起来, 得 【知识要点】 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组。 注意: 方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. 例如 和 都是二元一次方程组。 2.请问下列方程组是二元一次方程组吗？ (3) (4) (5) 例3 加工某种产品须经两道工序, 第一道工序每人每天可完成 900 件,第二道工序每人每天可完成 1200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序,应怎样安排人力,才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组. 探究点二： 二元一次方程(组)的解 请你找出符合下列二元一次方程实际意义的值填入表格: x y x y 二元一次方程的解: 适合一个二元一次方程的一组未知数的值, 叫作这个二元一次方程的一个解. 思考1 : 如果不考虑方程表示的实际意义,还可以取哪些值?这些值是有限的吗？ 思考2: 上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ 【知识要点】 二元一次方程组的解: 二元一次方程组中各个方程的公共解. 例如 就是二元一次方程组 的解. 例4 若 是关于 的方程 的解, 则 的值为______. 3. 二元一次方程组 的解是( ) A. B. C. D. 当堂反馈 1. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 2. 方程组 的解是( ) A. C. D. 3. 若 是关于 的二元一次方程, 则 _____ , _____ . 4. 若 是方程 的解,则_________. 5. 根据题意列二元一次方程组: (1) 两批货物,第一批360 t,用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500 t,用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨? (2) 某校课外小组的学生准备分组外出活动,若每组 7人,则余下3人；若每组8人,则有一组只有3人.问这个课外小组分成了几组? 共有多少人? 参考答案 复习导入 1. 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为 1 且两边都为整式的等式. 2. 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解. 探究点一: 二元一次方程(组)的概念 情境1 (1) 小明和小颖的植树棵数. 等量关系:小明的植树棵数 小颖的植树棵数 + 2 小明的植树棵数 (小颖的植树棵数-1) (2) 情境2: (1) 成人数量和学生数量 成人总票价和学生总票价 等量关系:成人数量+学生数量 成人的总票价十学生总票价=总的门票钱数 (2) . 在上面两个情境中,我们分别得到方程: 例1 (1) 是 ； (2) 不是 (3) 不是 (4) 不是 (5) 是 ; (6) . 不是 例2 【变式训练】 1. . 【思考·交流】 两个方程中的 所表示的对象相同, 也相同. 2.请问下列方程组是二元一次方程组吗？ (1) 是 (2) 不是 (3) 是 (4) 不是 (5) 是 例3 解: 设第一道工序安排 人,第二道工序安排 人, 根据题意列方程组得 探究点二: 二元一次方程(组)的解 例4 -1. 3. C 当堂反馈 1. A 2. B 3. 2 , 3 . 4. . 5. 解:(1)设每节火车皮平均装货物 , 每辆汽车平均装货物 , 则 (2) 设这个课外小组分成了 组,共有 人,则 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $