精品解析：甘肃省张掖育才中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025年秋学期期中测试试卷 初二数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置．写在本试卷上无效． 4．考试结束后只上交答题卡，本试卷自己保留． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，是的一次函数的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，4，7 D. 5，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 3. 点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，掌握各象限点的坐标特点成为解题的关键． 根据第三象限的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标小于0，纵坐标小于0， ∴点在第三象限． 故选∶C． 4. 实数，，，，，中，无理数的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断解答即可． 本题考查了无理数的定义；熟练掌握定义，熟记常见无理数的表现形式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得无理数有，，两个， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法、除法及化简运算，需要根据二次根式的运算法则对每个选项逐一进行计算和判断． 【详解】A、，故选项A正确，符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，，故选项D错误，不符合题意． 故选：A． 6. 一个数的平方根等于它的立方根，这个数是（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：0的平方根和立方根相等，故选A；-1不存在平方根；1的平方根是正负1，立方根是1，故不正确；0满足条件，故选A 考点：代数式的基本性质 点评：本题属于对平方根和立方根的基本知识和性质的理解以及应用分析 7. 若，则实数在数轴上的对应点一定在 （ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点一定在原点及原点左侧， 故选：． 8. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 9. 设，，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是( ) A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b 【答案】A 【解析】 【分析】根据公式： （ ）即可． 【详解】设＝a，＝b，则ab=,所以，==0.3ab． 故选：A． 【点睛】本题考核知识点：二次根式的乘法，解题关键是熟记二次根式乘法公式． 10. 长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 12. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 13. 若点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，则a=____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点即可解答． 【详解】解：∵点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为点的横纵坐标相等， ∴5-a=a-3， 解得a=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了象限的角平分线上的点的坐标特征． 14. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察点的坐标变化，寻找规律．先找出周期，再根据周期计算对应的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的规律探索，熟练掌握通过观察点的坐标变化寻找周期规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，…， ∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）． 进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处． ∴是第组的最后一个点． ∴的坐标为 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，涉及乘方的运算，算术平方根，立方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算各项即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中x的值． （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 19. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，米，米，， ∴米， ∴梯子顶端A离地面米； 【小问2详解】 解：在中，米，米，， ∴米， ∴米， ∴梯子底端B将向左滑动米到D． 20. 已知 ， 求下列代数式的值： (1) ;(2) 【答案】（1）24； （2）-12 【解析】 【分析】（1）可利用完全平方公式对其进行化简，则原式变形为： ，再将x、y的值代入即可求出式子的值； （2）应先对该分式进行通分，再利用完全平方式对其进行变形，然后将x、y的值代入求出原式的值. 【详解】（1）原式== （2）原式= 21. 已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答． 首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 22. 已知点在平面直角坐标系中． （1）若点在第三象限且到两坐标轴的距离相等，求点坐标； （2）若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标以及一元一次方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． （1）根据第三象限角平分线上的点的特征，可得答案； （2）根据到两坐标轴的距离之和可得方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意，得， 则，解得， 此时点的坐标为． 23. 如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：于点，于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）结合垂直定义以及角的等量代换，得出，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ． 24. 某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类，甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按元/计；乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按元/计． （1）甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ；乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ． （2）若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？ （3）当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？ 【答案】（1）， （2）该手机用户应选择甲类收费标准比较划算 （3）当每月平均通话时间为时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据题意，可以写出甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式和乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式； （2）将x=300分别代入和中，求出相应的函数值，然后比较大小，即可解答本题． （3）根据（1）中的函数关系式，令和的函数值相等，即可得到每月通话多长时间，按甲、乙两类收费标准缴费，所缴话费相等； 【小问1详解】 解：由题意可得，， 【小问2详解】 当时，， ∵ ∴该手机用户应选择甲类收费标准比较划算 【小问3详解】 解：依题意， 解得： ∴当每月平均通话时间为时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 25. 如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． （1）求城镇之间的距离； （2）现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 【答案】（1）13千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； 【小问2详解】 解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 26. 如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点 P运动到的中点时，t的值是 ； （2）4秒内，若， 求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：连接， 根据题意，得， 故4秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小问3详解】 解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 27. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； … （1）填空：__________，__________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________； （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值； 【答案】（1）10， （2）， （3）18 【解析】 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． 【小问1详解】 根据题意可得， ，； 【小问2详解】 根据题意可得， ，； 【小问3详解】 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中测试试卷 初二数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置．写在本试卷上无效． 4．考试结束后只上交答题卡，本试卷自己保留． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，是的一次函数的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，4，7 D. 5，， 3. 点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 实数，，，，，中，无理数的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个数的平方根等于它的立方根，这个数是（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 不存在 7. 若，则实数在数轴上的对应点一定在 （ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧 8. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 3 9. 设，，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是( ) A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b 10. 长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 12. 的算术平方根是______． 13. 若点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，则a=____________． 14. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 15. 如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 三、解答题（本大题共11小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）． （2）． 18. 求下列各式中x的值． （1） （2） 19. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 20. 已知 ， 求下列代数式的值： (1) ;(2) 21. 已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 22. 已知点在平面直角坐标系中． （1）若点在第三象限且到两坐标轴的距离相等，求点坐标； （2）若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点坐标． 23. 如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类，甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按元/计；乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按元/计． （1）甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ；乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ． （2）若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？ （3）当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？ 25. 如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． （1）求城镇之间的距离； （2）现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 26. 如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点 P运动到的中点时，t的值是 ； （2）4秒内，若， 求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 27. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； … （1）填空：__________，__________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________； （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $