专题21.1 一元二次方程根与系数的关系（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题21.1 一元二次方程根与系数的关系 【典例1】已知关于的二次方程． （1）为何值时，方程有两个不同的正根； （2）为何值时，方程只有一个正根． 【思路点拨】 （1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可； （2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可． 【解题过程】 解：（1）根据题意得，方程有两个不同的正根， ∴①， 且x₁+x₂=a＞0②， x₁·x₂=a²-4＞0③， 解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜， 故当2＜a＜时，方程有两个不同的正根；； （2）Ⅰ 当方程只且只有一个正根时， ∴①， 且x₁+x₂=a＞0②， x₁·x₂=a²-4＞0③， 解①得：a=或a=﹣， 当a=时，满足②、③， 而a=﹣不满足②，故舍去， 故当a=时，方程只有一个正根． Ⅱ 当方程有一个正根，一个负根， 则①， 且x₁·x₂=a²-4＜0② 解①得：， 解②得：-2＜a＜2， 即 Ⅲ 当方程有一个正根，一个0， 则①， 且x₁·x₂=a²-4=0② x₁+x₂=a＞0③ 解①得：， 解②得： a=±2， 由③a＞0 即a=2 综上所述： 1．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　） A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0 2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________． 5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于的方程两个实根满足，则的值为_______． 6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x1，x2，且a＞b＞c，a+b+c＝0，设，则d的取值范围为_____． 7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则=____________ 8．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______． 9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程的两根是、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：． 12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x的方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若，是方程的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2； （2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值． 14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． （1）两个根同为正根； （2）两个根均大于； （3）． 15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设