精品解析：辽宁省沈阳大东区2025-2026学年九年级上学期数学11月期中试题

2025-2026学年度（上）九年期中学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分选择题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相垂直 B. 一组对角相等的菱形是正方形 C. 菱形的四条边都相等 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 2. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 4. 现有一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，颜色如图所示．自由转动该转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图直线，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（　　） A. ﹣2a B. 2a C. D. 7. 如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在A时测得旗杆影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 10. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交、于点P、Q，则D、P两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为___________． 12. 如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________． 13. 景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则的值为___________米． 14. 一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在左右，由此可知盒子中白色小球的个数可能是___________． 15. 小明和几位同学做手影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 __． 三、解答题（本题共8小题，共75分：解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师．请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 18. 综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为，在支架的点处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当观察者与支架的水平距离为时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点．已知观察者的眼睛到地面的高度为，支架的高度为，点，，，，，在同一竖直平面内，于点，于点，交的延长线于点，求路灯的高度． 19. 在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16000元/每平方米下降到8月份的12960元/每平方米． （1）求6月到8月平均每月降价的百分率； （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米11500元？请说明理由． 20. 如图，已知和，边，交于点，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 21. 某水果商场经销一种高档水果，若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 22. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是对角线上一点，点在延长线上，且与交于点；连接，． （1）求证：； （2）若，点恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若四边形是正方形，求的长度． 23. 综合与实践 如图，已知正方形中，对角线与相交于点，点是边上一动点（点不与点重合），连接交于，过作于，交于，连接． （1）如图1，求证：； （2）当时，连接，如图2，求证：四边形菱形； （3）如图3，当时，求证：（即是线段的一个黄金分割点）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）九年期中学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分选择题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相垂直 B. 一组对角相等的菱形是正方形 C. 菱形的四条边都相等 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和菱形性质，正方形的判定定理，理解相关知识是解答关键．根据菱形和矩形的性质，正方形的判定定理来进行判定求解即可． 【详解】解：A．矩形的对角线相等，但不一定垂直，故原说法错误，此项不符合题意； B．一个角为直角的菱形是正方形，故原说法错误，此项不符合题意； C．菱形的四条边都相等，正确，此项符合题意； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法错误，此项不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义逐一判断各选项． 【详解】解： A：方程含有分母，不是整式方程，故不符合． B：方程含有两个未知数和，故不符合． C：方程只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，故符合． D：方程含有两个未知数和，故不符合． 故选：C． 3. 如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似比对应高的比，面积比相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的高之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为． 故选：B． 4. 现有一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，颜色如图所示．自由转动该转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：落在红色区域的概率， 故选：A． 5. 如图直线，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质是解题的关键． 利用平行线分线段成比例的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：． 故选D． 6. 如图，△AOB中，A，B两个顶点在x轴的上方，点O是原点．以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△A′OB′，且AB：A′B′＝1：2．若点A的横坐标是a，则点A的对应点A′的横坐标是（　　） A. ﹣2a B. 2a C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设B点的横坐标为x，由于在x轴的下方作的位似图形，相似比为2，将放大，得到，根据位似变换的坐标特点得到A′点的横坐标． 【详解】解：∵在x轴的下方作△AOB的位似图形，AB：A′B′＝1：2， ∴相似比为2． ∵点A的横坐标是a， ∴点A的对应点A′的横坐标是：﹣2a． 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换的坐标特点：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 7. 如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．由为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵为正方形与菱形的对角线， ∴． ∵， ∴． ∵菱形中，， ∴． ∴． 故选：B． 8. 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】根据题意，得， 所以一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与根的关系是解题的关键．当，一元二次方程有两个不相等的实数根；当，一元二次方程有两个相等的实数根；当，一元二次方程没有实数根． 10. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交、于点P、Q，则D、P两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的尺规作图，三角形相似的判定与性质，根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，，易得，则，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D， ∴， ∴， 由作图方法可知垂直平分，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为___________． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：4． 12. 如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，证明为等边三角形，进而得到，在中求出的长，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的面积是； 故答案为：． 13. 景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则的值为___________米． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据面积公式可得园地修建观花道后剩余面积为平方米，根据观花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得：，， ∵园地的宽为5米，而， ∴不合题意，舍去． 故答案为：1． 14. 一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在左右，由此可知盒子中白色小球的个数可能是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，摸到黑色小球的频率稳定在，因此摸到黑色小球的概率约为，从而黑色小球个数约为，白色小球个数为． 【详解】解：设白色小球的个数为，则黑色小球的个数为． 依题意，， 解得． 故答案为：4． 15. 小明和几位同学做手影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 __． 【答案】140 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 三、解答题（本题共8小题，共75分：解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， 或， ． 17. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师．请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 18. 综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为，在支架的点处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当观察者与支架的水平距离为时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点．已知观察者的眼睛到地面的高度为，支架的高度为，点，，，，，在同一竖直平面内，于点，于点，交的延长线于点，求路灯的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 19. 在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16000元/每平方米下降到8月份的12960元/每平方米． （1）求6月到8月平均每月降价的百分率； （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米11500元？请说明理由． 【答案】（1）平均每月降价的百分率为 （2）预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米11500元 【解析】 【分析】（1）设平均每月降价的百分率为x，利用8月份该市的商品房成交均价6月份该市的商品房成交均价（平均每月降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用9月份该市的商品房成交均价8月份该市的商品房成交均价（平均每月降价的百分率），可预测出到9月份该市的商品房成交均价，再将其与11500元比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均每月降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每月降价的百分率为； 【小问2详解】 解：预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米11500元，理由如下： （元）， ， 答：预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米11500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，已知和，边，交于点，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义、相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得到，再根据即可得证； （2）通过证明得到，代入数值进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ， 又， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 又， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， 又， ， ， ， 的长为． 21. 某水果商场经销一种高档水果，若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】每千克应涨价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得， 解得：， 因为规定每千克涨价不能超过8元， 所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 22. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是对角线上一点，点在延长线上，且与交于点；连接，． （1）求证：； （2）若，点恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若四边形是正方形，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理、矩形的判定及正方形的性质，掌握相关判定及性质是解题关键， （1）证明是的中位线，即可得出结论； （2）①证明得出，证明四边形是平行四边形，再根据证明结论； ②通过正方形的基本性质得到的长，然后根据中位线性质得到，进而得到，再利用勾股定理即可计算出的长度，进而可求解， 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，， ， 是的中位线， ； 【小问2详解】 ①证明：在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∵点P恰好是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形； ②∵四边形是正方形，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴． 23. 综合与实践 如图，已知正方形中，对角线与相交于点，点是边上一动点（点不与点重合），连接交于，过作于，交于，连接． （1）如图1，求证：； （2）当时，连接，如图2，求证：四边形是菱形； （3）如图3，当时，求证：（即是线段的一个黄金分割点）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而证明可得问题； （2）连接，由（1）可知：，，然后可得，，则有，进而通过可证明四边形是菱形； （3）延长，交于点P，易得四边形是矩形，则有，然后可得，则有，根据等腰直角三角形的性质可知，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示， 由（1）可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 证明：延长，交于点P，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $