精品解析：上海市普陀区2025-2026学年八年级上学期数学期中考试试卷

2025学年第一学期八年级数学学科期中自适应练习 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 等腰三角形的对称轴是它的高 D. 等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 8. 已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9. 的立方根为_________________． 10. 用科学记数法表示为______________． 11. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 13. 一元二次方程的根为_________． 14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是_________． 15. 已知，那么的平方根为_____________． 16. 已知是方程的根，则代数式的值为_________． 17. 已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 18. 中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法，_______（精确到） 三、解答题（本大题共7题，第19题8分，第20~22题每题4分，第23~24题每题8分，第25题10分，满分46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用配方法解方程：． 21. 解方程： 22. 解不等式：． 23. 如图，已知：在中，，平分（为外一点），． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果，求证：． 24. 定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． （1）关于的“美好数”是______； （2）化简：； （3）若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 25. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． （1）当时，_____________； （2）根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） （3）如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学学科期中自适应练习 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比．分别判断各选项即可． 【详解】解：Ａ选项：是有限小数，可写为分数， 是有理数，故A选项不符合题意； B选项：，可写为分数， 是有理数，故B选项不符合题意； C选项：是整数， 是有理数，故C选项不符合题意； D选项：是开不尽方的数，是无限不循环小数， 不能写为分数，是无理数，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、乘法和除法．需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：A：中，a、b、c为参数，若则不是二次方程，故不一定是一元二次方程； B：只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程； C：含两个未知数y和x，不是一元二次方程； D：最高次数为3，不是一元二次方程； 故选：B． 5. 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 6. 如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离．根据点是线段的中点得到，再由数轴上两点之间的距离公式求解． 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 7. 关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 等腰三角形的对称轴是它的高 D. 等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，包括轴对称性、底角相等、对称轴的位置以及顶角平分线的性质，根据等腰三角形的性质逐项分析即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； B、等腰三角形的两个底角相等，故原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，故原说法错误，符合题意； D、等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 8. 已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9. 的立方根为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：的立方根为， 故答案为：． 10. 用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法．通过将两个数转换为同分母形式，比较分子的大小即可． 【详解】解： ， ， 即 ． 故答案为：． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，得出，解方程即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 解得：， 故答案为． 13. 一元二次方程的根为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 即方程的根为，， 故答案为：，． 14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，列方程求解． 【详解】解：将原方程化为标准形式：， 其中，，， 所以． 即， 解得或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 15. 已知，那么的平方根为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件确定 x 的值，进而求出 y 的值，计算后求其平方根即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴， ∴， ∴ ∵16 的平方根为， ∴的平方根为， 故答案为： ． 16. 已知是方程的根，则代数式的值为_________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，而，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 17. 已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 18. 中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法，_______（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式的求值，利用估算得出a的值是解题的关键． 先估算出的大小，得到a的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，第19题8分，第20~22题每题4分，第23~24题每题8分，第25题10分，满分46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算立方根和算术平方根以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再进行合并即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将二次项系数化为，再将方程两边同时加上，进行配方，计算即可得解，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，． 21. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先去分母，化简成一元二次方程一般式，再用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方，正确计算是解题的关键． 22. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，根据解一元一次不等式的步骤计算并结合二次根式分母有理化的法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 所以原不等式的解集是． 23. 如图，已知：在中，，平分（为外一点），． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2） 证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． （1）关于的“美好数”是______； （2）化简：； （3）若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：关于的“美好数”， ∴ ． 25. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． （1）当时，_____________； （2）根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） （3）如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【小问1详解】 解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $