精品解析：上海市闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高三上学期期中质量调研数学试卷

2025学年第一学期高三期中“六校联合教研”质量调研 数学 试 卷 考生注意： 1.本场考试时间 120 分钟，满分 150 分，试卷共 4 页，答题纸 4 页． 2.作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解. 【详解】函数最小正周期. 故答案为：. 3. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用分式不等式的解法求其解集. 【详解】由，解集为. 故答案为： 4. 函数且的图象恒过点，则点坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数性质求解即可. 【详解】令，解得，， 所以函数恒过点，即点坐标是. 故答案为：. 5. 若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. 故答案为：. 6. 已知函数，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为： 7. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体思想先求真数的范围，再根据对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 8. 求函数在的单调递增区间_______________. 【答案】和 【解析】 【分析】首先求出函数在上的单调递增区间，再与取交集. 【详解】因，令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 所以函数在的单调递增区间为和. 故答案为：和 9. 已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合和集合，若集合，构成“偏食”，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再化简集合，依题意则，即可得到，再确定的范围. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 因为集合，构成“偏食”，则，所以，所以， 因为集合，有公共元素但不互为对方的子集， 所以或 可得，即实数的取值范围为. 故答案为： 11. 设表示不超过的最大整数，求关于的不等式的解集________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的范围，然后根据新定义表示不超过的最大整数，得到的范围． 【详解】不等式，即，解得， 又表示不超过的最大整数，所以， 即关于的不等式的解集为. 故答案为： 12. 设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可得解. 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 下列函数定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B 14. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 15. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C 16. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，方程有三个零点，利用三角函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示， 所以时，函数只有一个零点， 又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，17-19每题14分，20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意是的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得， 所以， 当时， 由，即，解得， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又恒成立，即， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知. （1）若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； （2）在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 【答案】（1），的零点为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，从而求出其零点； （2）首先求出角，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 将函数图象向左平移得到， 令，解得， 所以函数的零点为. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以，所以，所以， 又，由余弦定理， 即，所以，当且仅当时取等号，即， 所以， 即当且仅当时，的面积取得最大值为. 19. 某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，． （1）若的长为8m，求的长； （2）现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设） 【答案】（1）m （2）m 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理即可； （2）设，在中利用正弦定理得出，再利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，求三角函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意可知为等边三角形，即， 在中利用余弦定理得， 即，解得 m； 【小问2详解】 设，且， 则在中利用正弦定理得， 即， 则 ， 因，则，结合正弦函数图象可知，， 则，故， 则所需要的篱笆的最大长度为m. 20. 已知函数 （1）求方程的解集； （2）解不等式； （3）求出函数的最小值，若，求的最小值，并写出取最值时的值． 【答案】（1） （2） （3），的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用零点分段法分类讨论，分别求出方程的解； （2）首先将函数写成分段函数，再分段解不等式，即可得解； （3）首先求出函数的最小值，即，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 方程，即， 当时，方程左边，方程右边 所以恒成立，即； 当时，方程左边，方程右边， 则，解得，又，所以方程无解； 当时，方程左边，方程右边， 则，解得，又，所以方程无解； 当时，方程左边，方程右边， 则恒成立，即； 综上可得方程的解集为. 【小问2详解】 因为， 对于不等式，所以或或， 解得或或， 综上可得不等式的解集为； 【小问3详解】 因为， 当时单调递增，且， 当时单调递减，且， 所以，即， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，此时. 21. 已知函数. （1）当，求函数的驻点； （2）若函数在为单调增函数，求的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解，即可得解； （2）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离在上恒成立，结合函数的单调性求出的取值范围； （3）由参变量分离法可知对任意的恒成立，利用导数结合隐零点法求出函数在其定义域上的最小值，即可得出实数的取值范围. 小问1详解】 当时，则， 令，解得或（舍去）， 所以函数的驻点为； 【小问2详解】 因为， 所以， 又函数在为单调增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为，，故存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 因，则，因为，则， 令，，则， 所以函数在上单调递增， 由可得，故，可得， 所以， 所以，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三期中“六校联合教研”质量调研 数学 试 卷 考生注意： 1.本场考试时间 120 分钟，满分 150 分，试卷共 4 页，答题纸 4 页． 2.作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则______． 2. 函数最小正周期为______． 3. 不等式的解集为_____． 4. 函数且的图象恒过点，则点坐标是__________. 5. 若角顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则______． 6. 已知函数，则值为__________. 7. 函数的值域是______. 8. 求函数在单调递增区间_______________. 9. 已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 10. 若一个集合是另一个集合子集，则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合和集合，若集合，构成“偏食”，则实数的取值范围为____. 11. 设表示不超过的最大整数，求关于的不等式的解集________． 12. 设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 下列函数定义域为的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 16. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，17-19每题14分，20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 已知. （1）若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； （2）在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 19. 某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，． （1）若的长为8m，求的长； （2）现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设） 20. 已知函数 （1）求方程的解集； （2）解不等式； （3）求出函数的最小值，若，求的最小值，并写出取最值时的值． 21. 已知函数. （1）当，求函数的驻点； （2）若函数在为单调增函数，求的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $