精品解析：北京市房山区2025-2026学年高二上学期学业水平调研（一）数学试卷

房山区2025-2026学年度第一学期学业水平调研 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选符合题目要求的一项. 1. 已知直线上两点，，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 4. 直线l：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 7. 以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为 A. B. C. D. 10. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且平面与平面的夹角为.给出下列三个结论： ①该圆锥的体积为π； ②； ③的面积为. 则所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知圆，则圆的面积为_____. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 13. 两条平行直线与之间的距离为_____. 14. 若直线的方程为（，不同时为0），则称直线是直线的伴随直线.若直线的方程是，则其伴随直线的方程是_____；已知直线与圆交于点，，则_____. 15. 已知直线，，则使得直线的的一个取值是_____. 16. 正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论： ①； ②存在一点，使得； ③直线与直线所成角的最大值是； ④若，则面积的最大值是. 其中正确结论的序号是_____. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知直线经过两点，． （1）求线的方程； （2）若直线，且直线在轴上的截距为4，求直线的方程． 18. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知，求的值. 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长之比为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点是的中点，，． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的长；若不存在，说明理由； （3）求平面与平面的夹角的大小． 21. 已知圆． （1）求圆的圆心坐标及半径； （2）求过点且与圆相切的直线方程； （3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2025-2026学年度第一学期学业水平调研 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选符合题目要求的一项. 1. 已知直线上两点，，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用过直线上两点的斜率公式计算求解． 【详解】，是直线上的两点，设直线的斜率为，则， ，故直线的斜率是． 故选：C． 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间中坐标关于面的对称性质确定坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，利用坐标公式计算求解. 【详解】，，，，. 故选：D. 4. 直线l：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的斜率，又，再求解即可. 【详解】解：由直线l：， 则直线的斜率， 又， 所以， 即直线l：的倾斜角为， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题. 5. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件求出a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】直线与直线，则可得，得或， 当时，直线与直线，成立； 当时，直线与直线，成立； 所以等价于或， 则“”不能推出“”，“”可以推出“”； 则“”是“”的必要而不充分条件. 故选:B． 6. 如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量的加减法计算求解. 【详解】因为是平行四边形，所以点为与的中点， 则. 故选：A. 7. 以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为． 故选：A 8. 已知，，，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意列方程组即可求得. 【详解】设， 由题意可得， 解得或 . 所以点的坐标为或. 故选：C 9. 已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出设关于直线对称的点，关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值，为，利用两点间的距离公式，求出答案. 【详解】过两点的直线方程为 设关于直线对称的点， 则，解得 即， 同理可求关于对称的点， 当共线时的周长 取得最小值为. 故选C． 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 10. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且平面与平面的夹角为.给出下列三个结论： ①该圆锥的体积为π； ②； ③的面积为. 则所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】为圆锥的轴截面得，求得圆锥的体积可判断①；利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理得，利用勾股定理求出可判断②；求出的面积可判断③. 【详解】对于①，如图，底面，为圆锥的轴截面，所以，    因为，所以，，该圆锥的体积为，故①正确； 对于②，连接，则，即， 取的中点，连接，， 又是的中点，所以，则， 因为，是的中点，所以， 可得为平面与平面的夹角的平面角，即， 因为底面，底面，所以， 所以，则，所以，故②正确； 对于③，的面积为，故③错误. 故选：A. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知圆，则圆的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出半径进而得出圆的面积. 【详解】因为圆，所以圆的半径为，则圆的面积为. 故答案为：. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量的坐标及数量积公式计算求解. 【详解】因为点，，， 所以， 则. 故答案为：. 13. 两条平行直线与之间的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】两条平行直线与之间的距离为. 故答案为： 14. 若直线的方程为（，不同时为0），则称直线是直线的伴随直线.若直线的方程是，则其伴随直线的方程是_____；已知直线与圆交于点，，则_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由伴随直线的定义求直线；求出圆心到直线的距离，然后利用几何法求弦长. 【详解】由伴随直线的定义可知，的伴随直线方程为：即； 圆的圆心为，半径为， 所以到直线的距离为：， 所以. 故答案为：； 15. 已知直线，，则使得直线的的一个取值是_____. 【答案】或 【解析】 【分析】应用直线垂直的系数关系列式计算求解. 【详解】直线，， 则直线可得，所以， 所以或 则使得直线的的一个取值是或. 故答案为：2或. 16. 正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论： ①； ②存在一点，使得； ③直线与直线所成角的最大值是； ④若，则面积的最大值是. 其中正确结论的序号是_____. 【答案】①④. 【解析】 【分析】对于①，连接，由为等边三角形判定；对于②，将进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图象判断，无论如何也不可能满足；对于③，应用线面垂直判断；对于④，连 接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大； 【详解】对于①，连接，由正方体的性质知为等边三角形， 由于为底面的中心，故为中点，故，故①正确； 对于②，进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图形判断， 平面，即无论如何也不可能满足平行或重合于， 所以不可能平行于，故②错误； 对于④，取的中点E，连 接， 则，满足， 又面，面， 所以，，所以平面， 所以在线段上运动，当点到点位置时，最大， 此时面积最大为：，故④正确. 对于③，平面，平面，，时， 过作，点不在侧面的边界及其内部，所以直线与直线不垂直，所以③错误； 故答案为: ①④. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知直线经过两点，． （1）求线的方程； （2）若直线，且直线在轴上的截距为4，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式； （2）先利用垂直关系求出的斜率，再根据已知条件利用斜截式求出直线方程，最后化为一般式． 【小问1详解】 点，位于直线上，设直线的斜率为，则， 根据点斜式可得直线的方程为：， 的一般式方程为：． 【小问2详解】 ，，解得， 又直线在轴上的截距为4，根据直线的斜截式方程得， 直线的方程为：． 18. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图以分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，分别是，的中点， 所以， 所以， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，应用空间向量数量积为0证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角的正弦公式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以， 所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以； 19. 已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知，求的值. 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长之比为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选条件①：或； 选条件②或③：或． 【解析】 【分析】（1）由题意求出圆心和半径，即得答案； （2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出m的值即可. 【小问1详解】 由题意知圆C的圆心在直线上，与y轴相切于点， 故设圆心为，则，则圆心为，半径为2， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 若选条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长之比为2:1； 则，而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件②：； 而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件③：， 而，是等腰直角三角形，, 故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或. 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点是的中点，，． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的长；若不存在，说明理由； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 点是的中点，， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，即平面． （2）存在，，理由如下： 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 底面为正方形，，点是的中点，， ，，， ， ， 设在上，则，， ，， 设平面的法向量，平面，则，令，则， ，解得． 线段上存在点，使得平面，且点是的中点． ，， 线段的长为． （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直，且直线垂直于面面交线，推出线面垂直； （2）结合四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，假设上存在点，使得，利用平行关系得出直线与平面法向量垂直，构造关于的方程解出，进而求出； （3）同（2）空间坐标系，求出对应向量，进而求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式求出平面与平面的夹角余弦值，进而求出夹角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 同（2）所示坐标系，则， ，设平面的法向量为，平面的法向量为， ，则为平行于轴的单位向量，即； ，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 平面与平面的夹角为． 21. 已知圆． （1）求圆的圆心坐标及半径； （2）求过点且与圆相切的直线方程； （3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 【答案】（1）圆心为，半径 （2） 和 （3） 是轴上的动点，圆与轴交于点，， 令，则，解得或， ，设，若，所在直线为轴，不合题意，故， 直线， 联立直线和得：，整理得， 解得或，对应点，对应点，对应， ， 同理，联立直线和得，整理得， 解得或，对应，， 直线方程为： ， ，当时，， 直线恒过定点，命题得证． 【解析】 【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，进而得出圆心和半径； （2）根据直线与圆的位置关系，分斜率存在和不存在两种情况讨论得出对应的切线方程； （3）根据直线与圆的位置关系，分别联立圆与直线方程得出的坐标，再利用两点式求出所在直线方程，最后根据直线方程的性质得出恒过定点． 【小问1详解】 ，化为标准形式得， 圆的圆心为，半径． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径，设切线方程斜率为， 当不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为，满足相切条件， 直线是过点且与圆相切的一条直线方程； 当存在时，设过点的切线方程为：，即， 则圆心到切线的距离，解得， ，即， 过点且与圆相切的直线方程为：和． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $