浙江省嘉兴八校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2025学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点，，则直线的斜率为 A． B． C． D． 2．已知直线与垂直，则实数的值为 A． B． C． D． 3．已知 、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则 A． B． C． D． 4．已知空间向量与共线，则 A． B． C． D． 5．在三棱柱中，，，，BC的中点为，则 A． B. C． D． 试卷第1页，共3页 高二数学试题 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 6．过点作圆O：的一条切线，切点为M，则 A． B． C． D． 7．已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是 A． B． C． D．或 8．已知椭圆的左､右焦点分别为 、，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9．已知圆：，则下列说法正确的是 A．点在圆内 B．圆的圆心坐标为，半径为 C．圆与轴交于点，则 D．直线：与圆相切，则 10．正方体的棱长为，则下列说法正确的是 A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角为 D．点到平面的距离为 11．如图，在棱长为的正方体中，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列结论正确的是 A．平面截正方体所得的截面图形是五边形； B．直线到平面的距离是； C．存在点，使得； D．面积的最小值是． 非选择题部分 1. 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线的倾斜角为 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为 ． 14．已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为 ． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）已知空间三点，，，设，. （1）求，； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 16．（本题15分）已知的三个顶点是 ， ，． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求面积取最小值时直线的方程． 17．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，点E是棱上靠近P端的三等分点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）是否存在棱上一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请指出此时点的位置. 19．（本题17分）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点. 过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 2025学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考 高二年级数学学科参考答案 一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A． 二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分；每题全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9．ABC； 10．ABD； 11．AC； 三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分） 12．； 13． ； 14．或. 11.解析：对于A，如图直线与、的延长线分别交于，连接分别交于，连接，则五边形即为所得的截面图形， 故A正确； 对于B，由题可知，平面，平面， ∴平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设点到平面的距离为h，由正方体的棱长为2可得， ，， ∴， ， ∴由，可得， 所以直线到平面的距离是，故B错误； 对于C，如图建立空间直角坐标系，则， 设， ∴，又， ∴，， 假设存在点，使得， ∴，整理得， ∴（舍去）或， 故存在点，使得，故C正确； 对于D，由上知，所以点在的射影为， ∴点到的距离为： ， ∴当时，， ∴故△面积的最小值是，故D错误. 答案为：AC. 14．解析：设圆的圆心为， ∵圆和圆关于直线对称， ∴，解得， ∴圆的圆心为． ∴． ∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为， ∴， 解得或． 四、解答题（本大题有5小题， 共77分） 15．（本题满分13分） 解: （1）由题意，， ………………………2分 故 ……………………4分 ； ……………………6分 （2）因与互相垂直，则……………………8分 即 ……………11分 解得，或. ………………13分 16．（本题满分15分） 解：（1）方法一：因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即； ………………………3分 ②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即． ………………………6分 综上：直线的方程为或． 方法二：设直线， ………………………1分 即，又因为点，到直线的距离相等 所以 ………………………3分 化简计算可得， 或 ………………5分 即直线的方程为或 ………………………6分 （2）方法一：由题意设，，其中，为正数， 可设直线的方程为 ………………………7分 因为直线过点，所以， ………………………9分 由基本不等式可得， ……………………11分 所以，，当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， ………………………13分 所以当，时，面积最小，此时直线的方程为，即． ………………………15分 方法二：设直线 …………………7分 则 ， ………………………9分 ………………………10分 依题意知 ，故 ， 由基本不等式可得： ………………………12分 当且仅当时取等号，此时 ， 此时面积最小为. ………………………14分 此时直线的方程为，即 ………………………15分 17．（本题满分15分） 解：解：（1）圆： ………………………1分 圆心 半径 ………………………2分 直线与圆相切 ………………………4分y （2）直线： 则 A B C ………………………6分x 所以 ………………………8分 …………………9分 （3）设，y C x M N O ， ① …………………10分 由得 ② …………………12分 将①式代入②式得 …………………15分 18.（本题满分17分） 解：（1）因为平面，所以 ………………1分 因为，所以 ………………3分 ………………4分 （2）方法一：连交于点，连 , …………6分 ， ………7分 平面 ………8分 方法二：以点D为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …………5分 则，.   ，设平面的一个法向量为，则，即， 令，得，，则. …………7分 又，可得， 因为平面，所以平面. …………8分 （3）假设存在，设 （ ） …………9分 设，则， ， 可得 …………10分 ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，可得 …………12分 设平面的一个法向量为， 则，即，可得………14分 设平面与平面的夹角为，则.......15分 ， ，化简整理得 解得 ，从而点是棱的中点. .......17分 19.（本题满分17分） 解：（1）依题意可知，……………1分 当为短轴顶点时，取到最大值，…………………2分 可得，解得， 所以椭圆的标准方程…………………4分 （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线，…………………5分 联立方程，消去可得，解得或，…………………7分 所以的面积 …………………10分 （3）由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， …………………12分 不妨设，因为三点共线，则，…………………13分 可得，则， 因为三点共线，则， …………………14分 可得，则， 可得， 则，可得 …………………15分 所以，即 …………………17分 高二数学试题 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $