精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次诊断性检测数学试题

2025-2026学年第一学期上学期第三次诊断性检测 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 4. 如果直线与直线平行，那么等于（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知向量，，且，那么（ ） A. 2 B. C. D. 5 6. 如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 一组数据的第60百分位数为14 C. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差 11. 如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D. 二面角的平面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，则__________. 13. 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________． 14. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知椭圆. （1）求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； （2）求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 18. 培英高中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求出频率分布直方图中，的值，并估计此次竞赛成绩的中位数（保留小数点后两位）； （2）现从以上各组中按比例分配的分层随机抽样方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为66和37，第四组考生成绩的平均数和方差分别为84和68.5，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期第三次诊断性检测 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数定义即可得. 【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40， 则其中位数为16. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，结合虚部定义即可求解. 【详解】由题可得，所以则的虚部为, 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：根据零向量的定义可判断B正确； C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误. 故选：B. 4. 如果直线与直线平行，那么等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算可得，再排除重合情况即可得. 【详解】由题意可得，解得， 若，则两直线分别为、，此时两直线重合，不符； 若，则两直线分别为、，符合题意； 故. 故选：A. 5. 已知向量，，且，那么（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再计算模长可得. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B. 6. 如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 7. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 一组数据的第60百分位数为14 C. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差 【答案】AC 【解析】 【分析】由古典概型的概率可判断A，根据百分位数定义可判断B，由数据的平均数和方差的定义可判断C,D. 【详解】选项A：个体m被抽到的概率为，故A正确； 选项B：由于，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为，故B错误； 选项C：设数据的平均数为，方差为， 则数据的平均数为， 方差为 ， 所以，故C正确； 选项D：设第一层数据为，第二层数据为， 则，， 所以， ，， 总体平均数， 总体方差 因为，则， 所以 ，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D. 二面角的平面角的大小为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断. 【详解】 对于选项A：三棱锥的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确； 对于选项B：两点在平面上的射影分别为,即直线在平面上的射影为， 而,根据三垂线定理可得.故选项B正确； 对于选项C：因为平面,直线与平面ABCD所成角为, 当点和点重合时，在平面射影最小， 这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项C不正确； 对于选项D：二面角即二面角， 因为，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 13. 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积. 【详解】由已知，因为平面，可令， 所以，所以， 所以， 由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为， 所以其外接球的半径， 所以其外接球的表面积. 故答案为：. 14. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知椭圆. （1）求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； （2）求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【答案】（1）长轴长，短轴长，离心率 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得长轴长，短轴长及离心率； （2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点来求得正确答案. 【小问1详解】 由题可知， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. 【小问2详解】 因为椭圆的焦点为， 所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为， 其中， 所以椭圆的方程为， 将代入得， 解得，或（舍）， 所以椭圆的标准方程为． 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离. 所以， 解得，或. 所以直线的方程为或，即或. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 18. 培英高中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求出频率分布直方图中，的值，并估计此次竞赛成绩的中位数（保留小数点后两位）； （2）现从以上各组中按比例分配的分层随机抽样方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为66和37，第四组考生成绩的平均数和方差分别为84和68.5，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立求出，再用中位数定义计算即可； （2）运用分层抽样平均数和方差公式计算即可； （3）设事件，求出对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 设中位数为，因为， 所以，所以，解得， 故此次竞赛成绩的中位数约为分. 【小问2详解】 设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数， 成绩在第二组、第四组的方差 ， 故估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差是. 【小问3详解】 设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 由题意得， 所以， 所以，所以乙、丙分别解出该题的概率为， 则，因为， 所以，因为相互独立， 所以， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点 （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点， 又为的中点，则， 又平面，平面，则平面； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明； （2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案； （3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，， 则. 【小问3详解】 如图，取CD中点为，连接AH，易得. 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. ,. 设平面法向量为，则. 令，则，故取. 则点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $