精品解析：甘肃省张掖市临泽县第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025年秋学期期中考试 高三数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 4. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. . D. 10. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是奇函数 C. 过点的曲线的切线有且仅有1条 D. 当时，恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设数列满足，且，则数列前6项的和为__________. 13. 已知，则___________． 14. 已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 16. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 19. 已知函数． （1）若是的极小值点，求实数a的值； （2）若在定义域上严格增，求实数a的取值范围； （3）设有两个极值点，若，且恒成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中考试 高三数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合集合的条件计算可得，，进而根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，，， 则，，所以. 故选：C. 3. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利于通项公式展开联立两个等式，求出等比数列的公比和首项，再利于等比数列的求和公式可求得的结果. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：. 4. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据绝对值的性质可得，由此可判断A，对于B，根据余弦函数的性质可得对于，，由此可判断B，对于C，结合基本不等式证明，由此可判断C，对于D，结合配方法可证明，由此可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为，，故B错误， 对于C，因为，，当且仅当时等号成立，故C错误， 对于D，因为，，故D错误， 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及、弦化切，把所给式子化简，将代入可得答案. 【详解】. 故选：D 7. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. . D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系可求与值，进而利用诱导公式逐项判断. 【详解】由，得，. 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC 10. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是奇函数 C. 过点的曲线的切线有且仅有1条 D. 当时，恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导得出的解集，可判断A正确，代入计算出的解析式，再由奇函数定义可判断B正确，设切点为，构造方程并根据方程解的个数判断出切弦条数，可得C错误，令，再根据二次函数最值解不等式即可判断D正确. 【详解】对于A，易知，令，解得， 因此可知在上单调递减，即A正确， 对于B，令函数， 显然满足，因此可得是奇函数，即B正确; 对于C，设切点为， 则切线斜率为，可知切线方程为, 代入点可得，即，解得或， 因此过点可作曲线的两条切线，即C错误； 对于D，令，可得， 由二次函数性质可得其最小值为， 当时，易知，因此恒成立，即D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设数列满足，且，则数列前6项的和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设利用累加法求得，进而结合裂项相消法求和即可. 【详解】由， 则，，，， 将上述式子累加，得， 则，，显然满足上式，则， 所以， 则数列前6项的和为. 故答案为：. 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可求得，利用诱导公式可知，利用二倍角余弦公式可得结果. 【详解】由，得，即， 因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含， 当时，不满足题意； 则函数是二次函数，其图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数k的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 16. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】（1）56 （2） X 0 1 2 3 P （3）95.45 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问3详解】因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 【答案】（1） 直三棱柱中，所有棱长均为4， 上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形， 连接与交于点，则为，的中点，连接DE， 在中，分别为边的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论； （2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点，连接，则，平面ABC， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ， 为上的点，平面， 到平面的距离d即为直线与平面的距离， ， 直线与平面的距离为：． 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】（1） （2）周长为8，面积为 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ， ， 椭圆 【小问2详解】 根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 19. 已知函数． （1）若是的极小值点，求实数a的值； （2）若在定义域上严格增，求实数a的取值范围； （3）设有两个极值点，若，且恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，由极值点的定义计算参数再验证即可； （2）先求函数的导函数，问题转化为恒成立，分离参数结合基本不等式计算即可； （3）利用导数研究函数的极值，结合韦达定理消元，构造函数研究其单调性与最值即可求参. 【小问1详解】 易知，由题意得，即， 此时，可知在上， 在上，满足是的极小值点，所以； 【小问2详解】 由上， 因为在定义域上严格增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 易知，当且仅当时等号成立， 则； 【小问3详解】 由知是的两个不同正根， 即， 所以 ， 因为，则， 设，， 则恒成立，单调递减， 所以， 因为恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $