精品解析：广西壮族自治区桂林市广西师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期第一次质量检测数学试题

广西师大附中 2025年秋季学期第‒次质量检测试题 高一年级 数学 （全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．试卷分为试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有‒项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的并集的运算法则求解即可． 【详解】因为集合，， 所以. 故选： 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 本题可根据全称命题的否定是特称命题来得出结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，主要考查全称命题的否定，考查推理能力，体现了基础性，是简单题. 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系即可判断充分必要性. 【详解】由解得或，因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 有下列四个命题：①，；②，；③，；④，.其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法逐一判断各选项即可. 【详解】对于①，，，则，①是真命题； 对于②，当时，，，②是假命题； 对于③，当时，，③是真命题； 对于④，当且仅当或时，，而，且，④是假命题， 所以真命题的序号是①③，共2个. 故选：B 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 6. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2 【详解】由a＞1，有a－1＞0 ∴， 当且仅当， 即a＝2时取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题 7. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】因为，关于的不等式恒成立， 所以恒成立，故恒成立， 令，故即可， 而，当且仅当时取等，此时解得， 故，即，故A正确. 故选：A 8. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，就第二个含参的不等式分类讨论其解集，借助于数轴表示即可求得参数的范围. 【详解】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 二、多选题：本题共 3 小题，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知集合，则下列表示方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据集合与集合直接关系的符号表示，以及元素与集合之间的符号表示，即可判定出结果. 【详解】因为集合， 则，即A选项正确；集合中元素都是正整数，则，即C正确； “”只能表示元素与集合之间关系，故B错； “”只能表示集合之间的关系，故D错. 故选：AC. 10. 已知实数x，y满足则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质直接求解. 【详解】因，所以.因为，所以，则，故A正确； 因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确； 因为，所以，则，故C错误； 因为，所以，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据新定义将转化为二次函数表达式，分析二次函数的最大值，求解使存在性命题成立的的范围，结合充分不必要条件的子集关系，筛选符合条件的选项即可得解． 【详解】由题意可得， 所以若，使得不等式成立，则需函数的最大值大于， 即时，成立，解得或， 要求命题成立的充分不必要条件，只需求或的真子集，分析选项可知，只有CD满足题意． 故选：CD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分. 12. 集合，用列举法表示是______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元一次不等式，利用列举法求解即可. 【详解】集合，故用列举法表示是. 故答案为： 13. 已知集合，集合.若，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合子集的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 此时，满足题意. 故答案为：1 14. 对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件求出；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到，最后结合不等式的知识可求出的最小值． 【详解】∵A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域， ∴， ∴， 解得． ∵邻域是一个关于原点对称的区间， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或， 或； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义直接求解即得. 【小问1详解】 集合，或， 所以或，或， 所以或. 【小问2详解】 由或得， 所以. 16. 解不等式： （1）； （2）. （3）； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，然后可解； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据符号法则转化为两组不等式组求解可得. 【小问1详解】 由得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ，解得， 所以，原不等式的解集为. 【小问3详解】 或， 解得或， 所以，原不等式的解集为. 17. 已知，：，实数满足. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用基本不等式求得函数在区间上的最小值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围； （2）令，，由题意可得，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）令，当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立. 是真命题，，即. 因此，实数的取值范围是； （2）令，， 是的必要不充分条件，，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用特称命题真假求参数，同时也考查了利用必要不充分条件求参数，考查计算能力，属于中等题. 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将不等式转化为二次函数恒成立形式，再根据是否为零分类讨论，并结合判别式即可得解． （2）对分式代数式变形，利用基本不等式求最小值即可． （3）将不等式因式分解后，对参数分多种情况讨论，逐一求解集即可． 【小问1详解】 由已知得对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立． 当时，，不满足题意； 当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）可知，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 【小问3详解】 由已知， 当时，，解集； 当时，方程的两个根为，解集为； 当时，对方程， ①当，即时，解集为， ②当，方程的两个根，即时，解集为， ③当，方程的两个根，即时，解集为． 综上所述，时，解集为；时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为． 19. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据基本不等式“1”的用法求解即可； （2）由题知，进而结合判断即可； （3）令，，构造，进而结合（2）的结论求解即可. 【小问1详解】 解： ，，，则， 所以，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 【小问2详解】 解：， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当，即同号时等号成立. 此时，满足； 【小问3详解】 解：令，，构造， 所以，即，因此，， 所以， 取等号时，即，结合，解得，， 即，. 所以时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西师大附中 2025年秋季学期第‒次质量检测试题 高一年级 数学 （全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．试卷分为试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有‒项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 有下列四个命题：①，；②，；③，；④，.其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 6. 若a＞1，则的最小值是（ ） A 2 B. a C. D. 3 7. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知集合，则下列表示方法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数x，y满足则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分. 12. 集合，用列举法表示是______. 13. 已知集合，集合.若，则实数______. 14. 对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 16. 解不等式： （1）； （2）. （3）； 17. 已知，：，实数满足. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式． 19. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $