精品解析：青海省格尔木市三校2025-2026学年九年级上学期学业能力评鉴二（期中）数学试卷

2025－2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 九年级数学（二） 注意事项：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】A：展开得 ，是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义； B：含两个未知数和，属于二元一次方程，不符合“一元”条件； C：含分式，不是整式方程，不符合定义； D：最高次数为1，属于一元一次方程，不符合“二次”条件； 故选：A． 3. 抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线y＝x2﹣4，是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4）， 故选：A． 【点睛】本题是对抛物线顶点坐标的考查，熟练掌握抛物线解析式的顶点式的顶点坐标是解决本题的关键. 4. 如图，绕点A逆时针旋转后得到，点D落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转的性质可知，旋转前后对应角相等、对应边相等，利用这些性质结合三角形内角和定理来求解的度数即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 6. 二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的性质比较函数值的大小，把点，，代入解析式分别求出函数值，即可比较，，之间的大小． 【详解】解：分别把，，代入函数解析式得 ，，， ∴． 故选：A 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，计算判别式并解不等式，确定m的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，或（）， ∴选项中只有D选项满足， 故选：D． 8. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，正确解方程和书写解是解题的关键．将方程移项化为标准的一元二次方程形式，然后通过因式分解法解方程即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 10. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 11. 平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，即横坐标和纵坐标均取相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点是． 故答案为：． 12. 已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 13. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长． 【详解】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝2， ∵∠D＝90°， ∴AE＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 15. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度可与重合，点恰好落在边上．若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】解：设， ∵于点E，于点F，， ∴为矩形， ∵在中，，， ∴,， ∵， ∴，， 矩形面积， ∴当时，面积最大为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【解析】 分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 18. 用公式法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，关键是掌握求根公式，一元二次方程，若，则方程的两个实数根为，据此求解即可． 【详解】解： ，，， ∴， 解得，． 19. 如图，在等腰三角形中，，，于点D，将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段，连接．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由旋转得，，可得，进而证明，则有． 【详解】解：∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 21. 如图，在中，、、． （1）是关于y轴的对称图形，画出，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1），图见详解 （2），图见详解 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换和轴对称变换作图， （1）根据网格结构，找出点、、关于轴对称的点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）根据网格结构，找出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作三角形，点； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作的三角形，点． 22. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 【答案】（1）； （2）每千克应涨价5元，详见解析 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式及一元二次方程的应用， （1）根据涨的价格+原来的盈利=现在的盈利，每天的销量=原来的销量-减少的销量就可以求出结论； （2）设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克，由总利润=每个利润×数量建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：涨价后的每千克盈利为：元，每天的销量为：千克， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克， 由题意，得：， 解得：， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 23. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 24. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）由旋转的性质得： 四边形ABCD正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作轴于点D，交直线于点E，当长为最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． 【小问1详解】 解：将点、代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：如下图： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 九年级数学（二） 注意事项：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 4. 如图，绕点A逆时针旋转后得到，点D落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A B. C. D. 6. 二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 方程的解是______． 10. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 11. 平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是______． 12. 已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为______． 13. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_________． 14. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________． 15. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度可与重合，点恰好落在边上．若，，则的长为______． 16. 如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17 用配方法解一元二次方程： 18. 用公式法解方程： 19. 如图，在等腰三角形中，，，于点D，将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段，连接．求的度数． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为，且为正数，求的值． 21. 如图，在中，、、． （1）是关于y轴的对称图形，画出，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 22. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 23. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 24. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形边长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作轴于点D，交直线于点E，当的长为最大值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $