精品解析：天津泰达实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

天津泰达实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 直接根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选：A． 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质． 4. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线向上、向左各平移1个单位长度， 则平移后抛物线的解析式是：， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用；根据题意逐项计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：A、1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； B、第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； C、2轮后，共有人患流感，由题意得方程，故正确； D、解方程，得或（舍去），则第3轮有（人）患流感，共有（人）患流感，故错误； 故选：D． 6. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，直接利用解题即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：D． 7. 如图，点B是反比例函数（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（　　） A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵矩形AOCB的面积为6， ∴OA·AB=6， ∵点B是反比例函数（k≠0）在第一象限内图象上的一点， ∴k的值为6． 故选：B． 8. 如图， 是 的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 9. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 10. 如图，在 中，尺规作图的部分作法如下： （1）分别以弦 的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点 ； （2）作直线交 于点 ． 若，则 的长等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：根据作图可得，则， 在中， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了作垂线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． 11. 如图，在等腰直角 中，，点为斜边AB上一点，将绕点 逆时针旋转 得到，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由， ，可得，由旋转的性质可知，，，可判定A正确，B正确；根据，可得，即可得，判断C错误；由且对顶角相等，可判断D正确． 【详解】解：， ， ． 由旋转的性质可知，，， 故A正确，不符合题意； 是等腰直角三角形， 故B正确，不符合题意； ，， ， ， ， ， 故C错误，符合题意 ∵，且对顶角相等， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12. 利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函数的性质． 设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为，根据平行于墙的一边长不小于，得出x的取值范围为，从而判断（1）正确；令苗圃的面积为y，根据矩形的面积长乘以宽列出函数解析式，由函数的性质求出最值可以判断（2）；令，解方程求出x，再根据x的取值范围可以判断（3）． 【详解】解：设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为， 由题意知， 解得， ∴垂直于墙的一边长可以为15，故（1）正确，符合题意； 令苗圃的面积为y， 则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为， 当时，y取得最小值，最小值为，故（2）错误，不符合题意； 当苗圃的面积为128时，， 解得， ∵， ∴， ∴垂直于墙的一边长为时，满足矩形苗圃园面积为，故（3）错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 二次函数的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 的顶点坐标是：， 故答案为：； 【点睛】本题考查抛物线顶点式的顶点是． 14. 若二次函数的图象开口向上，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次函数的定义和性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题综合考查了二次函数的性质及定义，要注意二次项系数的取值范围． 15. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___． 【答案】3 【解析】 【分析】把x=1代入已知方程得到有关m的一元一次方程后求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 16. 圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_______． 【答案】相交或相切 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系．设圆心到直线的距离为，圆的半径为．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．反之亦然．熟练掌握是解题的关键． 圆心到直线上某一点的距离为，表明圆心到直线的距离可能小于或等于，结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系． 【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为， ∴圆心到直线的距离d满足， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相交或相切． 故答案为：相交或相切． 17. 已知二次函数，当时，随 的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随 的增大而增大， ∵当时，随 的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点 是圆与网格线的交点． （1）线段 的长为 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及 上的一点 ，使得，并简要说明圆心和点 的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1） （2） 如图：取圆与网格线的交点，， ， ，连接， ，与 交于点，点即为所求圆心； 取格点 ， ， ， ，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与 相交于点 ，连接并延长与 相交于点 ，即为所求． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段 的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出 是 的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：取圆与网格线的交点，， ， ，连接， ，与 交于点，点即为所求圆心； 取格点 ， ， ， ，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与 相交于点 ，连接并延长与 相交于点 ，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，， ， ，使得， ∴， 均为圆上的直线， ∴与 交点即为所求圆心； 取格点 ， ， ， ，连接，，与网格线分别相交于点，，连接，可得；连接并延长与 相交于点 ， ∴ 是 的中点； 连接并延长与 相交于点 ， ∴垂直平分 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边 上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 二次函数为常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 0 0 5 … （1）该二次函数解析式为____________； （2）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． （3）若该二次函数图象上有两点和，满足若，则___________（从符号“>”、“＝”、“＜”中选择一个填空） （4）当时， 的取值范围是___________； （5）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） （2），小， （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解函数的解析式； （2）根据抛物线开口以及对称轴即可求出答案； （3）根据抛物线图象的性质即可求出答案； （4）先找到函数值等于0时x的值，然后通过函数图象进行判断即可； （5）根据对称轴距离的远近，结合开口方向，取值范围解答即可． 【小问1详解】 解：把点, , 代入得 ，解得 ， ∴该二次函数解析式为：， 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为：， ∴， 故，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为：， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：，小，． 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在的范围内，y随x的增大而减小， ∴该二次函数图象上有两点和，满足若，则； 故答案为：． 【小问4详解】 解：∵当时，x的取值为：或1， 又∵抛物线开口向上， ∴当时， 的取值范围是， 即当时， 的取值范围是， 故答案为：． 【小问5详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，，， ∴当时，在时，y取到最小值， 又∵时，；时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 22. 已知 是 的直径，，E是 上一点，延长交 于点D． （1）如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等． （1）根据垂径定理，可得，根据三角形内角和即可求出，再根据圆周角定理得出，进而求出的度数； （2）如图②，连接 ，根据，，可得，则，根据，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可求解； 【小问1详解】 解：∵ 是直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图②，连接 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线．的一部分． （1）求抛物线的解析式 （2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意将代入求出函数解析式即可； （2）过点分别作 轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点 坐标，得到，从而得到答案． 【小问1详解】 解： 将代入求出函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点分别作 轴的垂线，垂足分别是点， ， ， ， 点B的横坐标为1，则, ， ， ， ， ， ， ,则点 横坐标为 ， 将代入中， ， 点 的坐标为， ， ． 答：这棵树的高度为 ． 24. 将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点 在第一象限，，将 绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E． （1）如图①，求点 的坐标为___________； （2）如图②，当时， 与轴交于点 ，求旋转角的大小和点 的坐标； （3）点 不变，当时，记 为线段的中点， 为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）过点C作，垂足为H．解直角三角形求出，可得结论； （2）解直角三角形求出，可得结论； （3）连接．利用三角形中位线定理证明，再求出的取值范围，可得结论． 【小问1详解】 解：过点C作于点H， 则， ∵点，点， ∴， ∵在中，， ， ∵， ∴， ， ∴，， 又点C在第一象限， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，以点B为中心，顺时针旋转，得到，且， ∴， ∴． ∵在中，，， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，； 当点E在延长线上时，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形旋转，熟练掌握旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，添加辅助线，构造三角形中位线，是解题的关键． 25. 已知，抛物线经过点和，与 轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2） 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点 作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点 的坐标； （3）设点 在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点 的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为； （2）当时，求点 的坐标； （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线 的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线 的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线 的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即 ， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点 的坐标； 【小问3详解】 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津泰达实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 4. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 6. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 7. 如图，点B是反比例函数（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（　　） A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6 8. 如图， 是 的直径，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中，尺规作图的部分作法如下： （1）分别以弦 的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点 ； （2）作直线交 于点． 若，则 的长等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11. 如图，在等腰直角中，，点为斜边AB上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 12. 利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 二次函数的顶点坐标是_____． 14. 若二次函数的图象开口向上，则 的值为________． 15. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___． 16. 圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_______． 17. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点 ，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． （1）线段 的长为 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心 及 上的一点，使得，并简要说明圆心 和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 二次函数为常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 0 0 5 … （1）该二次函数解析式为____________； （2）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． （3）若该二次函数图象上有两点和，满足若，则___________（从符号“>”、“＝”、“＜”中选择一个填空） （4）当时，的取值范围是___________； （5）当时，的取值范围是___________． 22. 已知 是 的直径，，E是 上一点，延长 交 于点D． （1）如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； （2）如图②，当时，求的大小． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线．的一部分． （1）求抛物线的解析式 （2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 24. 将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转 得到，点A，C的对应点分别为D，E． （1）如图①，求点的坐标为___________； （2）如图②，当时，与轴交于点 ，求旋转角 的大小和点 的坐标； （3）点 不变，当时，记为线段的中点， 为线段的中点，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）是直线 上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点 ．当时，求点的坐标； （3）设点 在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $