7.3 直线、平面平行的判定与性质（2大考点+8大题型）（讲义）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

7.3 直线、平面平行的判定与性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、直线和平面平行 3 二、两个平面平行 3 03 探究核心题型 5 题型一：平行关系的判定 5 题型二：利用中位线证明直线与平面平行 8 题型三：利用平行四边形证明直线与平面平行 11 题型四：利用面面平行证明线面平行 16 题型五：线面平行的性质 20 题型六：证明面面平行 23 题型七：面面平行的性质 28 题型八：综合应用问题 35 04 好题赏析（一题多解） 42 05 数学思想方法 46 ①数形结合 46 ②转化与化归 46 ③分类讨论 49 06 课时精练（真题、模拟题） 57 基础过关篇 57 能力拓展篇 57 1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． 2、掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用． 一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 题型一：平行关系的判定 【例题1】如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【解析】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A. 【例题2】已知平面平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若直线平面，； B．若平面平面，则； C．若平面直线l，则； D．若直线直线，则. 【答案】C 【解析】由平面平面，且， 对于A，若平面，可得或，所以A不正确； 对于B，若平面平面，则或与相交或与重合，所以B不正确； 对于C，若平面，且，所以，所以C正确； 对于D，如图所示，直线直线，则可能与相交或或，所以D不正确. 故选：C. 【解题总结】 排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除． 【变式1】已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【变式2】已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A：若，，则或，所以A选项错误； 对于B：若，，，，如图， 则不一定成立，所以B选项错误； 对于C：若，，，，则或与相交，所以C选项错误； 对于D：若，，则，所以D选项正确． 故选：D． 【变式3】如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论可能正确的是（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，是底面的中心，分别是的中点， 则 ， 所以，，，， 对于A，显然与不共线，即不成立，不正确； 对于B、C，设平面的法向量为，则， 令，得，，因此与不垂直，也不与平行， 即既不平行于平面，也不垂直于平面，不正确； 对于D，设平面的法向量为，则， 令，得，则， 所以，而平面，正确. 故选：D 题型二：利用中位线证明直线与平面平行 【例题3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【解析】连接交于点，设，连接， 四边形为菱形，为中点， 分别为中点，，且为中点，， 又，， 平面，平面，平面. 【例题4】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 【解析】连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 【解题总结】 利用三角形中位线找线线平行. 【变式4】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．求证：平面． 【解析】因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. 【变式5】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 【解析】（1）连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为2的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵为正方形的对角线 ∴ ∵，且 ∴， 又∵，， ∴. 题型三：利用平行四边形证明直线与平面平行 【例题5】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【解析】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 【例题6】已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）取中点，连接，因为分别为的中点， 所以，且， 因为四边形是正方形，是的中点，所以，且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）连接，交于点，连接， 因为，是的中点，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，所以平面； （3）因为是中点，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以， 因为四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2， 所以四棱锥为正四棱锥，所以到平面的距离为， 因为，所以， 又，所以， 所以. 【解题总结】 利用平行四边形找线线平行. 【变式6】在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．证明：平面；    【解析】连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【变式7】如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 【解析】（1）在正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别为的中点，得，则， 而平面，平面，所以直线平面. （2）在正方体中，平面，而， 所以三棱锥的体积. 【变式8】如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【解析】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【变式9】如图，在长方体中，证明：直线平面.    【解析】在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 【变式10】在三棱台中，若是的中点．求证：平面． 【解析】由三棱台可得， ，又，所以， 因为是的中点，所以，故， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面平面， 所以平面． 题型四：利用面面平行证明线面平行 【例题7】如图，在四棱柱中，底面和侧面均是正方形，是上一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面. 【解析】（1）由于底面和侧面均是正方形，故平面， 故平面，平面，故， ，故 又，故，则四边形为菱形，因此 平面， 故平面，平面，故 （2）连接, 四棱柱中，平面，平面， 故平面， 同理可得则平面， 平面， 故平面平面， 又平面，故平面. 【例题8】如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【解析】证明：如图， 在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 【解题总结】 本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 【变式11】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【解析】证明：在四棱锥中，分别为的中点， 所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. 因为平面， 所以∥平面. 【变式12】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：； (2)求证：平面． 【解析】（1）连接，如图所示， 因为底面是菱形，所以， 又平面，平面， 所以， 又平面，平面，且与相交于点， 所以平面， 又平面，所以. （2）如图所示，在，上各取一点，，使，， 所以， 又点，分别为线段，上的一点，且，， 所以，， 又底面是棱形，所以，所以，， 所以，所以点，，，四点共面， 又平面，平面，且与相交于点， 又平面，平面，所以平面，平面， 平面，平面，且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 【变式13】如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【解析】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 题型五：线面平行的性质 【例题9】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【解析】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 【例题10】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【解析】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 【解题总结】 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【变式14】如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】（1）由题意知，平面，平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 所以截面为平行四边形. （2）因为成角为60°，所以或，设， 因为，， 所以，由，得. 所以平行四边形的面积为. 当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大为. 【变式15】如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【解析】（1）因为分别为线段的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 【变式16】如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得. 【解析】证明：设平面与交于点， 因为四边形是菱形，所以， 又平面，平面，所以平面. 又，平面，平面，所以平面. 又，平面ADM， 所以平面平面. 又平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以结论成立. 题型六：证明面面平行 【例题11】如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【解析】（1）连接,因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面． （2）设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 【例题12】如图，几何体为正三棱台，且，点满足． (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【解析】（1）因为，所以为的中点． 连接．因为，所以， 则为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． （2）连接．因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 因为为的中点，，所以， 所以为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． 因为，所以平面平面． 【解题总结】 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 【变式17】如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【解析】（1） 连接， 在中，因为， 所以，且， 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又犹豫，且平面， 所以平面平面ACP. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以，又因为，所以， 所以. 【变式18】如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【解析】（1）因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． （2）由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 【变式19】如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【解析】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 题型七：面面平行的性质 【例题13】如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 【例题14】如图，在直三棱柱中，E，F分别是AB，BC的中点，D为上一点，，． (1)若D为的中点，证明：面； (2)若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【解析】（1）如图，连接，取的中点，连接． 因为分别为的中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． 由直棱柱的性质知，所以， 又平面平面， 所以平面， 因为平面平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． （2）由直三棱柱的性质得平面平面， 过作于，过点作于，连接， 由于平面平面，平面， 则平面， 因为平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 则则，． 设， 因为平面，平面，所以， 所以，则， 又，，F是BC的中点，则，， 因为，所以， 所以，则， 所以在中，， 则有，解得，即为的中点， 则到平面的距离为， 而，， 则. 【解题总结】 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 【变式20】如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【解析】（1）由侧面是正方形有，又, 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）有平面，又，所以平面， 所以为与平面所成角，即， 又，所以，即， 所以梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （3）由侧面是正方形，得，平面，平面， 所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又，平面，所以平面平面， 连接，平面平面，平面平面，则， 由，所以， 又，，所以，， 由，，所以， 过点作交于， 由有，又，，，即， 所以，所以四边形为等腰梯形， 如图作，所以， ，所以， 所以等腰梯形的面积为：. 【变式21】如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【解析】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 【变式22】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【解析】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 题型八：综合应用问题 【例题15】在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， 求证：四边形的周长为定值； (3)若且截面是矩形，求截面面积的最大值． 【解析】（1）由平面，平面平面，且平面， 所以，同理，所以，同理， 因此，截面四边形为平行四边形. （2）由（1）知：，设， 所以，而， 又，则， 故， 综上，， 故平行四边形的周长为定值． （3）由（1）知：四边形是平行四边形，若四边形是矩形，则， 因为，，所以， 由（2）知设，， 所以，， 所以矩形的面积为， 由可知，当时，矩形的面积有最大值为. 【例题16】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵， ∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面，又平面， ∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． （2）线段上存在一点，使得平面，为的中点， 证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 【解题总结】 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 【变式23】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点． 若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结． 由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 【变式24】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)求证：平面平面PAC； (2)设M是PA上任意一点，证明：； (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由. 【解析】（1）由题意，因为平面，又由平面，所以， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以平面平面PAC； （2）由（1）平面，因为， 所以平面，而平面，所以； （3）当为中点时，平面，理由如下， 如图，取中点，连接， 证明：为中点，为的中点，故， 平面，且平面，故平面. 【变式25】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)当为线段的中点时， （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值： (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）（ⅰ）底面，平面，， 又底面为正方形，， 又，平面， 平面， 平面，， 又，为线段的中点，， 又，平面， 平面； （ⅱ） 如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接， 为的中位线，， 底面，平面， 平面，， ，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则，， 由可得，即，解得， 在直角中，， . 二面角的余弦值为； （2）如图，连接，交于点，连接， 假设在线段上存在点，使得平面， 平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可知， 在中，有， ，，则， 假设成立，即在上存在点，使得平面，此时. 1．如图1，在正四棱锥中，所有棱长均为2，E，F分别是棱AB和PC上的动点，满足 求证：平面PAD； 若异面直线EF与PD垂直，求的值； 如图2，现将棱长为2的正四面体与正四棱锥进行拼接，使得顶点P，B，C分别与，，重合，求证：P，A，B，Q四点共面． 【答案】解：过F作，交PD于G点，连接AG， ， ， 四边形AEFG为平行四边形 面PAD，面PAD 面PAD； 由知 若异面直线EF与PD垂直，则 在中， 为PD中点 又，为PC中点 ； 解法一：作BP中点H，连接AH，CH，QH 在正四棱锥中，所有棱长均为2， ， 即为二面角的平面角， 由于，， 则， 同理可得即为二面角的平面角， ， ，A，B，Q四点共面； 解法二：作平面ABCD，则O是正方形ABCD的中心， 以O为原点，过O作DA，DC的平行线为x轴，y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， ，设， ，解得，，，， ，，， ，B，P，Q四点共面． 2．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm，为圆台的两条不同的母线． 求证：； 截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积． 【答案】解：证明：因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分， 可知母线与母线的延长线必交于一点，即四点共面， 又因为圆面圆面O，且平面圆面，平面圆面，所以 因为劣弧的长度为，则， 由，可得 如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：底面的一个法向量， 因为截面与下底面所成的夹角大小为， 则⟨⟩， 解得，即，可得， 在等腰梯形中，， 可得等腰梯形的高， 所以 ①数形结合 1．在四面体中，M为AD上一点且，P是BM的中点，在线段AC上存在一点Q，使得平面BCD，则的值为     A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B  【解析】解：如图所示，取MD的中点O，连接， 为MD的中点，P是BM的中点，， 又平面BCD，平面BCD，平面BCD， 又平面BCD，，平面POQ， 平面平面BCD， 又平面ACD， 平面平面，平面平面，， 在中， 故选： 2．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】A  【解析】 解：取、 BC 、 AB 的中点分别记为 H 、 I 、 J ，连接 FH、 HI 、IJ 、EJ， 根据正方体的性质可得面 EFG 即为平面 对于 A：如图1，，平面 EFG ，平面 EFG，所以平面EFG，故A正确； 对于 B：如图2 ，在平面中，，则平面，所以B错误； 对于 C、D：如图3， 底面ABCD，平面ABCD， 则，又，，平面， 平面，而平面，， ，同理，，平面EFG， 所以平面EFG， 因为 平面 EGFHIJ ，因为过平面 EGFHIJ 外一点作或D仅能作一条垂线垂直该平面，故 C、D 错误， 故选 3．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，点P为底面ABCD内包括边界的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】解：取BC的中点G，连接AG、、，如图所示； 由E，F分别为棱，的中点， ，平面为平行四边形，， 平面，且， 又EF，平面BEF，且， 可得平面平面， 所以AG是点P在底面ABCD内的轨迹； 计算， 即点P的轨迹长度为 故选： ②转化与化归 4．平面平面的一个充分条件是（    ） A．存在一条直线a，， B．存在一条直线a，， C．存在两条异面直线a，b，，，， D．存在两条平行直线a，b，，，， 【答案】C  【解析】解：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不对； 对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对； 对于C，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故C正确； 对于D，两个平面中的两条直线分别与另一平面平行，不能保证两个平面平行，故D错误． 故选： 5．如图，矩形ABCD中，已知，，E为BC的中点．将沿着AE向上翻折至得到四棱锥，平面AEM与平面AECD所成锐二面角为，直线ME与平面AECD所成角为，则下列说法错误的是（    ） A．若F为AD中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面MBF B．若Q为MD中点，则无论翻折到哪个位置都有平面AEM C． D．存在某一翻折位置，使 【答案】C  【解析】 解：对于A，若F为AD的中点，连接BF交AE于H， 则，，又，MH，平面MBF， 平面MBF，而平面MAE，平面平面MBF，故A正确； 对于B，取AM的中点P，连接PQ，则，且， 又，且，，且，则四边形ECQP为平行四边形， 可得，而平面AEM，平面AEM，平面AEM，故B正确； 对于C，由判断A时可知，平面MBF，而平面ABCD，则平面平面ABCD， 过M作，平面平面，平面MBF，则平面ABCD， 平面AEM与平面AECD所成锐二面角为为或其补角， 则，，则，故C错误； 对于D，若，又，，则，故D正确． 故选： 6．在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为     A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 解：过点M作于点，过点N作于点，则，连接， 如图所示． ，平面，平面，平面， 又平面，，平面平面 平面平面，平面平面， ，， 设，则，， 在直角梯形中，， 当时，MN取得最小值 故选 ③分类讨论 7．（多选题）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则    A．正方体的棱切球球与正方体的棱均相切表面积为 B．平面 C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 D．平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】BCD  【解析】解：设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由正方体的外接球的表面积为， 所以， 解得，又， 对于A：设正方体的棱切球的半径为r， 所以， 所以棱切球的表面积为，故A错误； 对于B：连接交于O，连接OM， 在正方体中，O为的中点， 又M为线段BC的中点，所以， 又不在平面内，平面， 所以平面，故B正确； 对于C：这样的三棱锥有两类：有3个顶点在正方体的一个面内， 体积为， 三棱锥任意3个顶点不在正方体的同一面内，体积为， 因此三棱锥的体积最大为，故C正确； 对于D：取的中点为N，连接， 取的中点为H，连接， 由且 所以四边形为平行四边形，所以， 又且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以平面为平面截正方体所得的截面， 又正方体的棱长为2，所以， 所以四边形为菱形， 又， 所以四边形的面积为，故D正确． 故选： 8．（多选题）在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有（    ） A．P为中点时，的值最小 B．不存在点P，使得平面平面 C．P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为 D．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为 【答案】BCD  【解析】解：对于A，由侧面展开图， 当DQ与交于点P时，的值最小， 此时，故P不为中点，故A错误； 对于B，若存在点P，使得平面平面， 由平面平面，平面平面，可知，显然不成立， 若点P与重合 ，显然也不成立，故B正确； 对于C，P与端点C重合时，三棱锥即是三棱锥， 三棱锥的外接球即是以为长、宽、高的长方体的外接球， 此时外接球半径为，故C正确； 对于D，连接， 由三角形中位线性质和正方体的性质知， ， 所以过D，P，Q三点的截面为梯形， ， 故周长为，故D正确， 故选： 9．（多选题）已知正方体的棱长为2，M为空间中动点，N为CD中点，则下列结论中正确的是    A．若M为线段AN上的动点，则与所成角的范围为 B．若M为侧面上的动点，且满足平面，则点M的轨迹的长度为 C．若M为侧面上的动点，且，则点M的轨迹的长度为 D．若M为侧面上的动点，则存在点M满足 【答案】BC  【解析】解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 对于选项A，若M为线段AN上的动点，则，， 所以点M的坐标为，所以， 又， 设与所成角为， 则， 当时，，取得最大值， 当时， 所以 综上可知，与所成角的范围为，故选项A错误； 对于选项B，取的中点H，AD的中点G，连接HN、HG， 易得，， 由平面，平面，可得平面， 同理可得平面， 因为，HN、平面HNG， 所以平面平面， 若M为侧面上的动点，且满足平面，则点M的轨迹为HG， 根据正方体的棱长为2，可得，故B选项正确； 对于选项C，根据正方体的性质易知侧面， 所以，所以， 所以点M的轨迹是以点C为圆心的圆弧，如图所示， 根据，可得， 所以，所以， 所以，所以点M的轨迹的长度为，故选项C正确； 对于选项D，若，则易知点M的轨迹是以B，N为焦点的椭圆， 根据，，所以，，所以， 设BN的中点为Q，则点Q到BC的距离为，则点Q到AD的距离为， 显然椭圆与侧面没有交点， 若M为侧面上的动点，则不存在点M满足，故选项D错误． 故选 基础过关篇 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则，又因为所以，故D正确， 故选：D. 2．（24-25高二下·北京·期中）已知直线，平面，给出下列四个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】对于①，若，则或，故①错误； 对于②，若，则可共面，也可异面，不一定得到，故②错误； 对于③，若，则或，故③错误； 对于④，若，则不一定平行，也可以与异面,，故④错误. 故选：A. 3．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 4．（多选题）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【解析】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示， 过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又因为，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误， 故选：BC. 5．（多选题）（2025·河南·模拟预测）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【解析】对于A，若平面，平面，则，明显不符合题意，故A错误； 对于B，由正方体的性质可知，又平面,平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为直线与直线相交于一点，显然平面与平面不可能平行，故C错误； 对于D，由正方体的性质可得，平面，平面，所以， 又且都在平面内，所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确； 故选：BD. 6．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【解析】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【解析】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 9．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【解析】（1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【解析】（1）（1）连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2）由题可知：在梯形中，，，， 过作交于点，，， 所以， 正四棱台的表面积为 . 11．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 【解析】（1）因为在中，，， 所以，即． 因平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又因平面，所以． （2） 选条件①：平面． 如图，因为平面，平面， 平面平面，所以． 因为为平行四边形，为的中点，所以为的中点． 所以．因为，所以． ．由（1）已得平面，因平面，故， 又，即两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，则， ，因此． 设平面的法向量为，则，即． 令，则，所以． 易知平面的一个法向量， ，所以平面与平面夹角为． 选条件②：． 如图，由（1）得，则， 又，由，可得，因，则为的中点， 则，即，可得， 因平面平面，平面平面，平面，故平面. 取的中点，连接，则，故平面，因平面，则， 又，，且， 又平面，故平面， 因平面，则，即是平面与平面夹角或补角， 在中，，则，故平面与平面的夹角为. 12．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【解析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则， 且，从而四边形为平行四边形. 则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB； （2）如图取AD中点为O，连接OP，OB. 因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 则.因，， 则四边形为平行四边形，则，，结合， 则，，结合，则为等边三角形， 得.又，，则，故. 又，平面ADCB，则. 故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系. 则， 因E为PD的中点，则. 从而，，. 设平面PBC法向量为，则， 取，设直线CE与平面PBC的夹角为， 则，从而. 能力拓展篇 1．如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 2．九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵平面，平面， ∴，，又底面是正方形， ∴，则两两垂直， 以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，，分别为，的中点， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，设，则， ∵平面， ∴，则，即， 解得，故． 故选：D． 3．（多选题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 4．（多选题）如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【解析】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示， 过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又因为，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误， 故选：BC. 5．（多选题）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【解析】对于A，若平面，平面，则，明显不符合题意，故A错误； 对于B，由正方体的性质可知，又平面,平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为直线与直线相交于一点，显然平面与平面不可能平行，故C错误； 对于D，由正方体的性质可得，平面，平面，所以， 又且都在平面内，所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确； 故选：BD. 6．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【解析】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 7．如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【解析】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 8．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 9．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【解析】（1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 10．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【解析】（1）（1）连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2）由题可知：在梯形中，，，， 过作交于点，，， 所以， 正四棱台的表面积为 . 11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 【解析】（1）因为在中，，， 所以，即． 因平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又因平面，所以． （2） 选条件①：平面． 如图，因为平面，平面， 平面平面，所以． 因为为平行四边形，为的中点，所以为的中点． 所以．因为，所以． ．由（1）已得平面，因平面，故， 又，即两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，则， ，因此． 设平面的法向量为，则，即． 令，则，所以． 易知平面的一个法向量， ，所以平面与平面夹角为． 选条件②：． 如图，由（1）得，则， 又，由，可得，因，则为的中点， 则，即，可得， 因平面平面，平面平面，平面，故平面. 取的中点，连接，则，故平面，因平面，则， 又，，且， 又平面，故平面， 因平面，则，即是平面与平面夹角或补角， 在中，，则，故平面与平面的夹角为. 12．如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【解析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则， 且，从而四边形为平行四边形. 则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB； （2）如图取AD中点为O，连接OP，OB. 因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 则.因，， 则四边形为平行四边形，则，，结合， 则，，结合，则为等边三角形， 得.又，，则，故. 又，平面ADCB，则. 故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系. 则， 因E为PD的中点，则. 从而，，. 设平面PBC法向量为，则， 取，设直线CE与平面PBC的夹角为， 则，从而. 13．如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.    (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接，   分别为的中点， ，， ， ； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形， ； 平面，， 平面， 平面， . （2）连接，交于点，连接，   四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面，证明如下： 设与交于点，连接，   四边形为菱形，为中点， ，， ， ， 当时，， 平面，平面， 平面. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 直线、平面平行的判定与性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、直线和平面平行 3 二、两个平面平行 3 03 探究核心题型 5 题型一：平行关系的判定 5 题型二：利用中位线证明直线与平面平行 6 题型三：利用平行四边形证明直线与平面平行 7 题型四：利用面面平行证明线面平行 10 题型五：线面平行的性质 12 题型六：证明面面平行 14 题型七：面面平行的性质 17 题型八：综合应用问题 19 04 好题赏析（一题多解） 22 05 数学思想方法 23 ①数形结合 23 ②转化与化归 23 ③分类讨论 23 06 课时精练（真题、模拟题） 26 基础过关篇 26 能力拓展篇 26 1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． 2、掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用． 一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 题型一：平行关系的判定 【例题1】如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【例题2】已知平面平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若直线平面，； B．若平面平面，则； C．若平面直线l，则； D．若直线直线，则. 【解题总结】 排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除． 【变式1】已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【变式3】如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论可能正确的是（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面 题型二：利用中位线证明直线与平面平行 【例题3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【例题4】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 【解题总结】 利用三角形中位线找线线平行. 【变式4】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．求证：平面． 【变式5】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 题型三：利用平行四边形证明直线与平面平行 【例题5】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【例题6】已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 【解题总结】 利用平行四边形找线线平行. 【变式6】在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．证明：平面；    【变式7】如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 【变式8】如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【变式9】如图，在长方体中，证明：直线平面.    【变式10】在三棱台中，若是的中点．求证：平面． 题型四：利用面面平行证明线面平行 【例题7】如图，在四棱柱中，底面和侧面均是正方形，是上一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面. 【例题8】如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【解题总结】 本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 【变式11】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【变式12】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：； (2)求证：平面． 【变式13】如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 题型五：线面平行的性质 【例题9】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【例题10】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【解题总结】 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【变式14】如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【变式15】如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【变式16】如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得. 题型六：证明面面平行 【例题11】如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【例题12】如图，几何体为正三棱台，且，点满足． (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【解题总结】 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 【变式17】如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【变式18】如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【变式19】如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 题型七：面面平行的性质 【例题13】如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例题14】如图，在直三棱柱中，E，F分别是AB，BC的中点，D为上一点，，． (1)若D为的中点，证明：面； (2)若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【解题总结】 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 【变式20】如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【变式21】如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【变式22】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型八：综合应用问题 【例题15】在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， 求证：四边形的周长为定值； (3)若且截面是矩形，求截面面积的最大值． 【例题16】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解题总结】 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 【变式23】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式24】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)求证：平面平面PAC； (2)设M是PA上任意一点，证明：； (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由. 【变式25】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)当为线段的中点时， （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值： (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 1．如图1，在正四棱锥中，所有棱长均为2，E，F分别是棱AB和PC上的动点，满足 求证：平面PAD； 若异面直线EF与PD垂直，求的值； 如图2，现将棱长为2的正四面体与正四棱锥进行拼接，使得顶点P，B，C分别与，，重合，求证：P，A，B，Q四点共面． 2．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm，为圆台的两条不同的母线． 求证：； 截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积． ①数形结合 1．在四面体中，M为AD上一点且，P是BM的中点，在线段AC上存在一点Q，使得平面BCD，则的值为     A．1 B．2 C．3 D．4 2．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 3．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，点P为底面ABCD内包括边界的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． ②转化与化归 4．平面平面的一个充分条件是（    ） A．存在一条直线a，， B．存在一条直线a，， C．存在两条异面直线a，b，，，， D．存在两条平行直线a，b，，，， 5．如图，矩形ABCD中，已知，，E为BC的中点．将沿着AE向上翻折至得到四棱锥，平面AEM与平面AECD所成锐二面角为，直线ME与平面AECD所成角为，则下列说法错误的是（    ） A．若F为AD中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面MBF B．若Q为MD中点，则无论翻折到哪个位置都有平面AEM C． D．存在某一翻折位置，使 6．在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为     A． B． C． D． ③分类讨论 7．（多选题）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则    A．正方体的棱切球球与正方体的棱均相切表面积为 B．平面 C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 D．平面截正方体所得的截面的面积为 8．（多选题）在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有（    ） A．P为中点时，的值最小 B．不存在点P，使得平面平面 C．P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为 D．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为 9．（多选题）已知正方体的棱长为2，M为空间中动点，N为CD中点，则下列结论中正确的是    A．若M为线段AN上的动点，则与所成角的范围为 B．若M为侧面上的动点，且满足平面，则点M的轨迹的长度为 C．若M为侧面上的动点，且，则点M的轨迹的长度为 D．若M为侧面上的动点，则存在点M满足 基础过关篇 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二下·北京·期中）已知直线，平面，给出下列四个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 4．（多选题）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 5．（多选题）（2025·河南·模拟预测）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 6．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 9．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 11．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 12．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 能力拓展篇 1．如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 4．（多选题）如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 5．（多选题）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 6．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 7．如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 8．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 9．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 10．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 12．如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 13．如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.    (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $