专题02 等式与不等式（必备知识+8大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题02 等式与不等式 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 2 知识点1 等式与不等式的性质 3 1.方程的解集方程 3 2.韦达定理 3 3.两个实数的大小关系 3 4.不等式的性质 3 5.常用不等式 3 6.比较两个代数式值的大小 3 7.常用结论 3 知识点2 不等式的求解 4 1.解不等式(组) 4 2．一元一次不等式的求解 4 3．一元二次不等式的解 4 4．分式不等式的解 5 5．含绝对值不等式的解 5 6．一元二次不等式恒成立的条件 5 7、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 6 知识点3 基本不等式及其应用 6 1.平均值不等式 6 2．平均值不等式的应用 6 3．三角不等式 6 4．常用结论 6 三、考点精析与突破 考点一 不等式的性质 7 考点二 一元二次不等式的解法 8 考点三 一元二次不等式恒成立问题 9 考点四 一元二次不等式的应用 9 考点五 基本不等式求最值 11 考点六 解绝对值不等式 12 考点七 基本（均值）不等 式的应用典例 12 考点八 绝对值三角不等式 14 四、实战精练与提升 一、单选题 15 二、填空题 15 三、解答题 15 一、考试要求 新课程标准 重点 第1讲 等式与不等式的性质 1. 会用集合表示一元一次方程、一元二次方程和方程组的解集； 2. 理解一元二次方程根与系数的关系； 3. 已知根，会构造相应的一元二次方程； 4. 已知二次方程，会求用根表示的简单二元对称多项式的值； 5. 掌握实数的大小关系和不等式的基本性质； 6. 会运用不等式的基本性质证明一些较简单的不等式； 7. 会比较两个代数式值的大小。 1. 求解恒等式中的未知数； 2. 一元二次方程的韦达定理的运用； 3. 运用不等式的基本性质比较实数或代数式值的大小； 4. 会运用比较大小的方法证明一些较简单的不等式。 第2讲 不等式的求解 1. 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解； 2. 一元二次不等式的求解； 3. 从函数观点看一元二次不等式； 4. 分式不等式的求解； 5. 含绝对值不等式的求解。 1. 熟练掌握一元二次不等式的求解方法； 2. 能熟练求解分式不等式； 3. 会解较简单的含绝对值的不等式； 4. 一元二次不等式的恒成立问题； 5. 解（含参）不等式过程中的等价变形、转化、分类讨论等思想的应用。 第3讲 基本不等式及其应用 1. 理解两个正数的算术平均值、几何平均值的概念及其意义； 2. 理解平均值不等式及其中取等号的条件，会运用平均值不等式求解较简单的最大值和最小值问题； 3. 能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式； 4. 理解三角不等式及其中取等号的条件，会运用三角不等式证明一些不等式，并求解一些简单的最大值或最小值问题。 1. 平均值不等式的综合运用； 2. 三角不等式的运用。 二、命题分析 考频 考查内容 命题趋势 2025年上海市春考高考第2题 分式不等式 预计2026年填选部分重点考查：不等式的基本性质比大小、求解分式不等式、一元二次不等式的恒成立问题、解（含参）不等式、平均值不等式和三角不等式等. 2024年上海市春季高考第6题 基本不等式及其应用 2023年上海市春季高考第3题 绝对值不等式的解法 2023年上海市春季高考第6题 基本不等式及其应用 2022年上海市春季高考第14题 等式与不等式的性质 2021年上海市春季高考第8题 基本不等式及其应用 知识点1 等式与不等式的性质 1.方程的解集方程:含有未知数的等式，方程的解:使得方程左右两边相等的未知数的值，方程的解集:以方程的所有解为元素组成的集合 2.韦达定理 若一元二次方程 、、 的两个根为 、 ，则 ， . 3．两个实数的大小关系（常常转化为运算关系，是作差比较法的依据） ． 4．不等式的性质 大于号 >，小于号< ，大于等于号 ，小于等于号 都称为不等号，用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式。 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法单调性 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法单调性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ；如果 ，且 ，那么 。 5．常用不等式 定理 对任意的实数 和 ，总有 ，且等号当且仅当 时成立． 6．比较两个代数式值的大小 “作差法”的基本步骤:① 作差并整理;② 常用因式分解或配方(针对某个参数配方);③判断因式或各部分的符号;④利用不等式基本性质得出结论. 7．常用结论 （1）不等式的同向可加性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ； （2）不等式的倒数性质：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ； （3）不等式的同正同向的可乘性：如果 ，那么 ； （4）不等式的乘方性质：如果 ，那么 （其中 是正整数）； （5）不等式的开方性质：如果 ，那么 （其中 是正整数）． 知识点2 不等式的求解 1.解不等式(组) 不等式的解:在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个不等式的解的全体所组成的集合，不等式的求解(解不等式):求不等式解集的过程不等式组:将含有相同未知数的多个不等式联立起来解不等式组:求不等式组中的所有不等式的解集的交集, 2．一元一次不等式的求解，如关于 的不等式 、 （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ； （4）当 时， ． 3．一元二次不等式的解 （1）定义：设 $a, b, c$ 为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式； （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 4．分式不等式的解 （1） ； （2） ； （3） （4）［其中 为关于 的一元多项式］． 5．含绝对值不等式的解 （1） ， 推广为 ； （2） 或 ， 推广为 或 ． ［其中 、 为关于 的一元多项式］． 6．一元二次不等式恒成立的条件 （1） 恒成立的充要条件是 恒成立的充要条件是 （2） 恒成立的充要条件是 恒成立的充要条件是 7、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 （1）若 在集合 中恒成立，即 是不等式 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； （2）转化为函数值域问题，常通过＂参变分离＂后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到。 知识点3 基本不等式及其应用 1.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当 时成立． 常用的不等式 定理 对于任意的实数 a , b ，有 ，且等号当且仅当 时成立． 2．平均值不等式的应用 （1）证明不等式：不等式两边具有两个正数的和与积的形式； （2）求最值：已知两个正数 、 ，若积 $x y$ 为定值 ，则当 时，和 有最小值 ；若和 为定值 ，则当 时，积 $x y$ 有最大值 ． 应用平均值不等式求最值时，注意三个条件：正值、定值、等号成立，三者缺一不可．当等号成立不具备时，常考虑应用 （一般称为＂耐克＂函数）的单调性求之。 3．三角不等式 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当 时成立． 4．常用结论 当 时， 称为 和 的调和平均值； 称为 和 的平方平均值。 （1）任意两个正数的任何平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间，并且有： ，当且仅当 时取等号； 上述结论可推广到一组正数的情形． （2）平均值不等式的推广： 为 个正数， ，当且仅当 时等号成立； （3）如果 、 是实数，则 ． 当 、 为复数或向量时结论也成立． 考点一 不等式的性质 解题策略 解决不等式性质问题，核心策略： 命题判断：用特殊值法排错，结合函数单调性（幂、指、对函数）或作差/作商法推导； 充要条件：转化为集合包含关系或验证“推出方向”； 最值求解：用绝对值三角不等式或变量范围分析，注意等号成立条件. 例1（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 例2（2024·上海静安·一模）设a，，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3（2025·上海崇明·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 例4（2025·上海·三模）对于实数，若，则的最大值为 . 【变式1】（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·上海杨浦·三模）设，，则满足 条件 考点二 一元二次不等式的解法 解题策略 “转化+分类求解” 分式不等式：先移项通分，转化为整式不等式（或高次不等式），注意分母不为零；再通过因式分解、数轴穿根法确定解集. 一元二次不等式：先看二次项系数（确定开口方向），求对应方程的根，结合“开口方向+根的位置”，利用口诀（大于取两边，小于取中间）确定解集；涉及补集时，先求原集合再取全集中的剩余部分. 解题时需时刻关注定义域（如分式分母不为零）和不等式变形的等价性． 例1（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 例2（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 例3（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 例4（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【变式1】（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 【变式2】（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ． 【变式3】不等式的解集为 . 【变式4】（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 考点三 一元二次不等式恒成立问题 解题策略 “分类讨论+分离参数+最值分析” 分类讨论二次项系数：时验证一次不等式；时结合开口方向、判别式推导； 分离参数法：将参数与变量分离，转化为求函数最值（恒成立时“”或“”，有解时“”或“”）； 复合函数型：结合内层函数的定义域、单调性分析，保证推导等价． 例1已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 例2若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 例3若函数在区间上严格增，则实数的取值范围 ． 【变式1】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【变式2】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 【变式4】已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 考点四 一元二次不等式的应用 解题策略 1.建模：从实际情境中提取数量关系，构建一元二次不等式（或含参不等式）； 2.求解：用因式分解、求根等方法解不等式，结合开口方向确定解集； 3.分析：涉及最值/范围时，结合函数单调性、均值不等式推导，同时关注变量的实际限制（如正整数、区间约束），确保解符合实际意义． 例1有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（    ） A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100 C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100 例2考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足. (1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围； (2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值. 【变式1】设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ． 【变式2】为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【变式3】第一机床厂投资生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在生产线的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将在生产线少投资万元全部投入生产线，且每万元创造的利润为万元，其中． （1）若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围； （2）若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值． 考点五 基本不等式求最值 解题策略 解决基本不等式求最值问题，紧扣“一正二定三相等”： 凑项/凑系数：配凑式子，构造“积定和最小，和定积最大”的形式； 换元法：引入新变量，简化复杂结构； 常数代换：利用已知常数拆分式子，创造应用基本不等式的条件. 同时验证变量为正、和/积为定值，且等号成立条件满足． 例1（1）设，若，则的最大值为 . （2）已知，则的最大值为 ． 例2（1）已知，则的最小值为 . （2）若，，且，则的最小值为 . （3）已知，且，则的最小值是 . 【变式1】实数满足，则的最大值为 . 【变式2】若正数满足，则的最大值为 ． 【变式3】已知，，，则的最小值为 . 【变式4】已知实数，则的最小值是 . 考点六 解绝对值不等式 解题策略 零点分段法：找出绝对值内式子的零点，将实数轴分区间讨论，在每个区间内去掉绝对值，转化为普通不等式（方程）求解，最后取各区间的并集； 几何意义法：将理解为“数轴上到的距离”，结合距离和、差的几何意义分析解集. 解题时需结合式子结构选择方法，分类讨论时注意验证区间端点． 例1设，不等式的解集为 ． 例2（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 例3设，则方程的解集为 例4不等式的解集是 ． 【变式1】已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【变式2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ． 【变式3】不等式的解集为 . 考点七 基本（均值）不等 式的应用典例 解题策略 “实际建模→不等式凑形→最值验证”三步骤 第一步，从实际情境中提取数量关系，构建函数表达式（如收益、容量等模型）； 第二步，对函数式变形，凑出“积定和最小、和定积最大”的形式，满足“一正二定三相等”； 第三步，验证等号成立条件是否在变量实际范围内（如整数、区间限制），若不满足则结合函数单调性分析最值. 解题时需紧扣实际意义，确保模型与不等式应用的一致性． 例1地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为． （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量 （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 例2上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中． （1）请求出的值，并说明的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【变式1】如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少? 【变式2】已知某种气垫船的最大航速是海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为海里小时,则船每小时的燃料费用为元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时元．甲乙两地相距海里，船从甲地匀速航行到乙地. (1)试把船从甲地到乙地所需的总费用，表示为船速(海里小时)的函数，并指出函数的定义域; (2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元? 【变式3】国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数； （2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 考点八 绝对值三角不等式 解题策略 解决绝对值三角不等式问题，核心利用绝对值三角不等式，策略如下： 求最值（恒成立问题）：先求的最小值（几何意义为x到的距离和，最小值为），再结合不等式要求确定参数范围； 等号成立条件：分析绝对值内式子的符号，确定的取值范围（如等号成立时，）． 例1若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 例2（25-26高三上·上海·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 例3等号成立时的范围 . 【变式1】不等式的解集为 . 【变式2】若不等式对于任意实数x恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ． 【变式3】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式4】若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 练 一、单选题 1．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 二、填空题 3．（2025·上海杨浦·三模）已知，则的范围是 ． 4．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 5．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 6．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是 . 7．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 三、解答题 8．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 9．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 2 知识点1 等式与不等式的性质 3 1.方程的解集方程 3 2.韦达定理 3 3.两个实数的大小关系 3 4.不等式的性质 3 5.常用不等式 3 6.比较两个代数式值的大小 3 7.常用结论 3 知识点2 不等式的求解 4 1.解不等式(组) 4 2．一元一次不等式的求解 4 3．一元二次不等式的解 4 4．分式不等式的解 5 5．含绝对值不等式的解 5 6．一元二次不等式恒成立的条件 5 7、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 6 知识点3 基本不等式及其应用 6 1.平均值不等式 6 2．平均值不等式的应用 6 3．三角不等式 6 4．常用结论 6 三、考点精析与突破 考点一 不等式的性质 7 考点二 一元二次不等式的解法 10 考点三 一元二次不等式恒成立问题 14 考点四 一元二次不等式的应用 18 考点五 基本不等式求最值 23 考点六 解绝对值不等式 27 考点七 基本（均值）不等 式的应用典例 30 考点八 绝对值三角不等式 35 四、实战精练与提升 一、单选题 38 二、填空题 39 三、解答题 41 一、考试要求 新课程标准 重点 第1讲 等式与不等式的性质 1. 会用集合表示一元一次方程、一元二次方程和方程组的解集； 2. 理解一元二次方程根与系数的关系； 3. 已知根，会构造相应的一元二次方程； 4. 已知二次方程，会求用根表示的简单二元对称多项式的值； 5. 掌握实数的大小关系和不等式的基本性质； 6. 会运用不等式的基本性质证明一些较简单的不等式； 7. 会比较两个代数式值的大小。 1. 求解恒等式中的未知数； 2. 一元二次方程的韦达定理的运用； 3. 运用不等式的基本性质比较实数或代数式值的大小； 4. 会运用比较大小的方法证明一些较简单的不等式。 第2讲 不等式的求解 1. 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解； 2. 一元二次不等式的求解； 3. 从函数观点看一元二次不等式； 4. 分式不等式的求解； 5. 含绝对值不等式的求解。 1. 熟练掌握一元二次不等式的求解方法； 2. 能熟练求解分式不等式； 3. 会解较简单的含绝对值的不等式； 4. 一元二次不等式的恒成立问题； 5. 解（含参）不等式过程中的等价变形、转化、分类讨论等思想的应用。 第3讲 基本不等式及其应用 1. 理解两个正数的算术平均值、几何平均值的概念及其意义； 2. 理解平均值不等式及其中取等号的条件，会运用平均值不等式求解较简单的最大值和最小值问题； 3. 能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式； 4. 理解三角不等式及其中取等号的条件，会运用三角不等式证明一些不等式，并求解一些简单的最大值或最小值问题。 1. 平均值不等式的综合运用； 2. 三角不等式的运用。 二、命题分析 考频 考查内容 命题趋势 2025年上海市春考高考第2题 分式不等式 预计2026年填选部分重点考查：不等式的基本性质比大小、求解分式不等式、一元二次不等式的恒成立问题、解（含参）不等式、平均值不等式和三角不等式等. 2024年上海市春季高考第6题 基本不等式及其应用 2023年上海市春季高考第3题 绝对值不等式的解法 2023年上海市春季高考第6题 基本不等式及其应用 2022年上海市春季高考第14题 等式与不等式的性质 2021年上海市春季高考第8题 基本不等式及其应用 知识点1 等式与不等式的性质 1.方程的解集方程:含有未知数的等式，方程的解:使得方程左右两边相等的未知数的值，方程的解集:以方程的所有解为元素组成的集合 2.韦达定理 若一元二次方程 、、 的两个根为 、 ，则 ， . 3．两个实数的大小关系（常常转化为运算关系，是作差比较法的依据） ． 4．不等式的性质 大于号 >，小于号< ，大于等于号 ，小于等于号 都称为不等号，用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式。 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法单调性 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法单调性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ；如果 ，且 ，那么 。 5．常用不等式 定理 对任意的实数 和 ，总有 ，且等号当且仅当 时成立． 6．比较两个代数式值的大小 “作差法”的基本步骤:① 作差并整理;② 常用因式分解或配方(针对某个参数配方);③判断因式或各部分的符号;④利用不等式基本性质得出结论. 7．常用结论 （1）不等式的同向可加性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ； （2）不等式的倒数性质：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ； （3）不等式的同正同向的可乘性：如果 ，那么 ； （4）不等式的乘方性质：如果 ，那么 （其中 是正整数）； （5）不等式的开方性质：如果 ，那么 （其中 是正整数）． 知识点2 不等式的求解 1.解不等式(组) 不等式的解:在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个不等式的解的全体所组成的集合，不等式的求解(解不等式):求不等式解集的过程不等式组:将含有相同未知数的多个不等式联立起来解不等式组:求不等式组中的所有不等式的解集的交集, 2．一元一次不等式的求解，如关于 的不等式 、 （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ； （4）当 时， ． 3．一元二次不等式的解 （1）定义：设 $a, b, c$ 为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式； （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 4．分式不等式的解 （1） ； （2） ； （3） （4）［其中 为关于 的一元多项式］． 5．含绝对值不等式的解 （1） ， 推广为 ； （2） 或 ， 推广为 或 ． ［其中 、 为关于 的一元多项式］． 6．一元二次不等式恒成立的条件 （1） 恒成立的充要条件是 恒成立的充要条件是 （2） 恒成立的充要条件是 恒成立的充要条件是 7、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 （1）若 在集合 中恒成立，即 是不等式 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； （2）转化为函数值域问题，常通过＂参变分离＂后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到。 知识点3 基本不等式及其应用 1.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当 时成立． 常用的不等式 定理 对于任意的实数 a , b ，有 ，且等号当且仅当 时成立． 2．平均值不等式的应用 （1）证明不等式：不等式两边具有两个正数的和与积的形式； （2）求最值：已知两个正数 、 ，若积 $x y$ 为定值 ，则当 时，和 有最小值 ；若和 为定值 ，则当 时，积 $x y$ 有最大值 ． 应用平均值不等式求最值时，注意三个条件：正值、定值、等号成立，三者缺一不可．当等号成立不具备时，常考虑应用 （一般称为＂耐克＂函数）的单调性求之。 3．三角不等式 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当 时成立． 4．常用结论 当 时， 称为 和 的调和平均值； 称为 和 的平方平均值。 （1）任意两个正数的任何平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间，并且有： ，当且仅当 时取等号； 上述结论可推广到一组正数的情形． （2）平均值不等式的推广： 为 个正数， ，当且仅当 时等号成立； （3）如果 、 是实数，则 ． 当 、 为复数或向量时结论也成立． 考点一 不等式的性质 解题策略 解决不等式性质问题，核心策略： 命题判断：用特殊值法排错，结合函数单调性（幂、指、对函数）或作差/作商法推导； 充要条件：转化为集合包含关系或验证“推出方向”； 最值求解：用绝对值三角不等式或变量范围分析，注意等号成立条件. 例1（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断. 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 例2（2024·上海静安·一模）设a，，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】取特殊值可得充分性不成立，由不等式的性质可得必要性成立，即可求解. 【详解】令，，满足，但，； 当且时，能得到， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：. 例3（2025·上海崇明·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】选项A，利用不等式的传递性分析即可；选项BCD均可通过取特殊值进行否定. 【详解】选项A，由已知，则，，即，所以A正确； 选项B，当时，，则，所以B错误； 选项C，当时，，则，所以C错误； 选项D，当时，，则，所以D错误. 故选：A. 例4（2025·上海·三模）对于实数，若，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】解绝对值不等式得出，，再利用不等式的性质求出即可求出最值. 【详解】由题意可得，，， 则，，则，得， 故，则的最大值为. 故答案为：. 【变式1】（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解. 【详解】， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 【变式2】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 【变式3】（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 【变式4】（2025·上海杨浦·三模）设，，则满足 条件 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】将不等式两边平方即可求解. 【详解】由，得， 所以，即， 所以. 故答案为:. 考点二 一元二次不等式的解法 解题策略 “转化+分类求解” 分式不等式：先移项通分，转化为整式不等式（或高次不等式），注意分母不为零；再通过因式分解、数轴穿根法确定解集. 一元二次不等式：先看二次项系数（确定开口方向），求对应方程的根，结合“开口方向+根的位置”，利用口诀（大于取两边，小于取中间）确定解集；涉及补集时，先求原集合再取全集中的剩余部分. 解题时需时刻关注定义域（如分式分母不为零）和不等式变形的等价性． 例1（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 例2（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】或. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 例3（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 例4（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 【变式1】（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将不等式转化为，且求解. 【详解】不等式等价于，且， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为： 【变式2】（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 【变式3】不等式的解集为 . 【答案】当时，；当时，；当时，． 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】将不等式变形为然后对分类讨论求解不等式． 【详解】解：， 即 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当时，不等式解为或； 当时，不等式解为或； 综上所述： 当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查含参的对数不等式，注意对参数进行分类讨论，是中档题． 【变式4】（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，令，即，设为方程的两个根，且，分、两种情况进行讨论，从而可得以及实数a的取值范围，则的范围可求. 【详解】作出函数的图像，如图所示，    有，， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 由于，则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最大值为， 当时，，此时， 即； 故答案为：. 考点三 一元二次不等式恒成立问题 解题策略 “分类讨论+分离参数+最值分析” 分类讨论二次项系数：时验证一次不等式；时结合开口方向、判别式推导； 分离参数法：将参数与变量分离，转化为求函数最值（恒成立时“”或“”，有解时“”或“”）； 复合函数型：结合内层函数的定义域、单调性分析，保证推导等价． 例1已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 例2若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 例3若函数在区间上严格增，则实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由函数的单调区间求参数、复合函数的定义域 【分析】由复合函数的单调性和定义域，有函数在区间上严格减，在区间上恒成立，利用导数和二次函数的性质求实数的取值范围. 【详解】函数，令，则， 函数在区间上严格增， 由函数在定义域上严格减，则函数在区间上严格减， 有在区间上恒成立，即在上恒成立，得， 又在区间上恒成立，则在上恒成立， 令，则在上恒成立， 由二次函数的性质可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 【变式2】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【变式3】关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果. 【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立， 令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，由，得到， 当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【详解】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 考点四 一元二次不等式的应用 解题策略 1.建模：从实际情境中提取数量关系，构建一元二次不等式（或含参不等式）； 2.求解：用因式分解、求根等方法解不等式，结合开口方向确定解集； 3.分析：涉及最值/范围时，结合函数单调性、均值不等式推导，同时关注变量的实际限制（如正整数、区间约束），确保解符合实际意义． 例1有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（    ） A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100 C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100 【答案】D 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】先求出第一轮后患了流感的人数，进一步求出经过第二轮后患了流感的人数. 【详解】若每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感， 经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感， ∴x满足的不等关系为（1+x）+x（1+x）＞100. 故选：D． 例2考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足. (1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围； (2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值. 【答案】(1)； (2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升； 当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升. 【知识点】一元二次不等式的实际应用、解不含参数的一元二次不等式、利用二次函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围； （2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值. 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，解得：， 由，即，解得：， 因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内， 即，所以， 故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围. （2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为升， 则， 令，则， 所以，， 可得对称轴为，由，可得， 当时，即时， 则当时，； 当，即时， 则当时，； 综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升； 当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升. 【变式1】设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ． 【答案】/4.5 【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式在几何中的应用 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 【变式2】为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)75人 (2)存在，7 【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意列不等式，求解即可； （2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则， 解得， 又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人; （2）假设存在实数满足条件. 由技术人员年人均投入不减少得, 解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 , 两边同除以得, 整理得, 故有, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以, ，即存在这样的m满足条件，其值为7. 【变式3】第一机床厂投资生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在生产线的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将在生产线少投资万元全部投入生产线，且每万元创造的利润为万元，其中． （1）若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围； （2）若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值． 【答案】（1）；（2）5.5． 【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）由题意，生产线原利润、改进后利润分别为万元，万元，根据它们的不等关系即可求的取值范围；（2）生产线的利润为万元，根据已知不等关系结合（1）有恒成立，应用基本不等式求的最大值. 【详解】解:（1）由题意，得，整理得，解得，又，故． （2）由题意知，生产线的利润为万元，技术改进后，生产线的利润为万元，则恒成立，又， ∴恒成立，又，当且仅当时等号成立， ∴，即的最大值为5.5． 【点睛】本题考查了不等式的实际应用，根据实际题设中的不等关系列不等式求参数范围，属于基础题. 考点五 基本不等式求最值 解题策略 解决基本不等式求最值问题，紧扣“一正二定三相等”： 凑项/凑系数：配凑式子，构造“积定和最小，和定积最大”的形式； 换元法：引入新变量，简化复杂结构； 常数代换：利用已知常数拆分式子，创造应用基本不等式的条件. 同时验证变量为正、和/积为定值，且等号成立条件满足． 例1（1）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： （2）已知，则的最大值为 ． 【答案】1 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式即可求出的最大值. 【详解】由题意， 在中， ， 当且仅当时取等号， 即， 故答案为：. 例2（1）已知，则的最小值为 . 【答案】9 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先设，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】设， 则． （当且仅当,即时，即取“＝”） 故答案为：9 （2）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. （3）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【变式1】实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式直接求得. 【详解】因为实数满足， 所以由基本不等式可得：（当且仅当时等号成立）， 所以. 即的最大值为. 故答案为：. 【变式2】若正数满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为10． 故答案为：10 【变式3】已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由已知条件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，则，由可得， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式4】已知实数，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【详解】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 考点六 解绝对值不等式 解题策略 零点分段法：找出绝对值内式子的零点，将实数轴分区间讨论，在每个区间内去掉绝对值，转化为普通不等式（方程）求解，最后取各区间的并集； 几何意义法：将理解为“数轴上到的距离”，结合距离和、差的几何意义分析解集. 解题时需结合式子结构选择方法，分类讨论时注意验证区间端点． 例1设，不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】由或即可求解. 【详解】由， 可得：或， 解得：或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 例2（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】讨论去绝对值求解. 【详解】由， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为. 所以实数的的取值范围为. 故答案为：. 例3设，则方程的解集为 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】分区间讨论，去掉绝对值号即可得解. 【详解】当时，原方程可得，解得， 又，故方程的解为； 当时，原方程可得，解得，故无解； 当时，原方程可得，解得； 当时，原方程可得，解得，所以. 综上，方程的解集为. 故答案为： 例4不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】零点分段法求解绝对值不等式. 【详解】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 【变式1】已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式、分类讨论解绝对值不等式 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【变式2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ． 【答案】； 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果. 【详解】或， 即或，所以不等式的解集为或， 故答案为：. 【变式3】不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案. 【详解】，当时，，解得，故解集为， 当时，，解集为， 当时，，解得，故解集为， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 考点七 基本（均值）不等 式的应用典例 解题策略 “实际建模→不等式凑形→最值验证”三步骤 第一步，从实际情境中提取数量关系，构建函数表达式（如收益、容量等模型）； 第二步，对函数式变形，凑出“积定和最小、和定积最大”的形式，满足“一正二定三相等”； 第三步，验证等号成立条件是否在变量实际范围内（如整数、区间限制），若不满足则结合函数单调性分析最值. 解题时需紧扣实际意义，确保模型与不等式应用的一致性． 例1地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为． （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量 （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）， （2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）由题意知，，为常数），再由（2）求得，则可求，进一步求得（6）得答案； （2）由，可得，分段求最值得答案． 【详解】（1）由题意知，，为常数）， （2）， ， ， （6）； （2）由，可得 ， 当时，， 当且仅当时等号成立； 当时，，当时等号成立， 当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 例2上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中． （1）请求出的值，并说明的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】（1）950；发车间隔为5，载客量为950；（2），． 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据分段函数性质直接代入求解即可； （2）分段计算净收益，并求最值，比较大小. 【详解】（1）， 的实际意义是：当地铁的发车时间间隔为5分钟时，地铁载客量为950； （2）当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，， 当且仅当时，等号成立； 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 【变式1】如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少? 【答案】（1）y=x(l−3x)；(0，)（2）当垂直于墙的边长为时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为. 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由已知可得面积y=x(l−3x)，由x>0，且l−3x>0，即可求得定义域； （2）对面积公式运用基本不等式即可求出面积的最值． 【详解】解：(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y=x(l−3x)； 由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0，)； (2)×= 当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=，最大面积为. 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法． 【变式2】已知某种气垫船的最大航速是海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为海里小时,则船每小时的燃料费用为元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时元．甲乙两地相距海里，船从甲地匀速航行到乙地. (1)试把船从甲地到乙地所需的总费用，表示为船速(海里小时)的函数，并指出函数的定义域; (2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元? 【答案】(1) ； (2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】(1)由题意先设船速为,则每小时燃料费,求得参数,再写出自变量取值范围即可. (2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值. 【详解】(1) 设船速为,则每小时燃料费,根据题意有,故,, 则从甲地到乙地所需时间为小时. 故总费用. 又最大航速是海里小时故 (2)由(1) ； 故, 当且仅当即时取得最小值. 故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元 【点睛】本题主要考查函数的实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型. 【变式3】国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数； （2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）人；（2）存在，的范围为，详见解析 【知识点】用不等式表示不等关系、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意列式,并求解即可； （2）需满足两个不等关系：①技术人员的年人均投入不减少②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,列出不等式求解即可 【详解】（1）由题,可列方程为：,则, 故调整后的技术人员的人数为50 （2）存在, 的范围为 由题,,则在且上恒成立,,当且仅当即时取等, 又即,设,则在且上为增函数,但时,取得最大值为 综上, 的范围为 【点睛】本题考查不等关系的应用,考查最值问题,分析题意,列出（不）等式是解题关键 考点八 绝对值三角不等式 解题策略 解决绝对值三角不等式问题，核心利用绝对值三角不等式，策略如下： 求最值（恒成立问题）：先求的最小值（几何意义为x到的距离和，最小值为），再结合不等式要求确定参数范围； 等号成立条件：分析绝对值内式子的符号，确定的取值范围（如等号成立时，）． 例1若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 【答案】3 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. 例2（25-26高三上·上海·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】先根据绝对值三角不等式可得，进而将问题转化为，进而求解即可. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 则，即或，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 例3等号成立时的范围 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，即可求解. 【详解】因为， 所以由三角不等式，有， 所以，且等号当且仅当，即时成立. 因此，对所有实数恒成立，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式1】不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据含绝对值三角不等式公式，即可判断. 【详解】，则不等式的解集为空集. 故答案为： 【变式2】若不等式对于任意实数x恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【详解】由， 当且仅当时等号成立，即， 若不等式对于任意实数x恒成立， 则，即或， 解不等式，得或， 解不等式，得， 所以满足条件的实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为：. 【变式4】若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 练 一、单选题 1．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由基本不等式比较大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 2．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式 【分析】根据分式不等式化简可得或，即可根据集合间的关系求解. 【详解】由得，解得或， 由于或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题 3．（2025·上海杨浦·三模）已知，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 4．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 5．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 【答案】 【知识点】条件等式求最值、指定区间的概率 【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 6．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为, 所以原不等式的解集为：. 故答案为： 7．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 三、解答题 8．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 9．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】简单的指数方程、基本不等式求和的最小值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $