专题01 集合与常用逻辑用语（必备知识+7大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题01 集合与常用逻辑用语 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 1 知识点1 集合的概念 2 1.集合的有关概念 2 2.集合间的基本关系 2 知识点2 集合的运算 3 1.集合间的基本运算 3 2.常用结论 3 知识点3 命题与充要条件、反证法 3 1.充分条件、必要条件与充要条件 3 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 4 3.反证法的基本步骤 4 三、考点精析与突破 考点一 集合的概念 4 考点二 元素与集合 7 考点三 集合中元素的特性 12 考点五 集合间的基本关系 17 考点七 集合新定义典例 22 四、实战精练与提升 一、单选题 32 二、填空题 36 三、解答题 38 读 一、考试要求 理解集合、元素及其关系，空集概念，掌握集合表示法及集合间关系，理解集合的基本运算，了解充要条件的含义。 二、命题分析 考频 考查内容 命题趋势 2025年上海市春考高考第1题 交集及其运算 集合的运算（交集、并集、补集的混合运算）；集合间的关系（相等、包含关系的判断与应用），命题会保持对其的重点关注，预计2026年填空部分进行考查. 2023年上海市春季高考第1题 两个集合相等的应用 2022年上海市春季高考第2题 两个集合相等的应用 2021年上海市春季高考第14题 集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算 知识点1 集合的概念 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性; 元素互异性常用于求解含参数的集合问题 （2）集合常用的三种表示方法:列举法、描述法、图示法 （3）元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为; （4）五个特定的集合及其关系图: N 表示自然数集,E表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,C表示复数集 2．集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，则称 是 的子集，记作 （或 ）； （2）真子集：如果集合 是集合 的子集，但集合 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 或 ； 既要说明 中任何一个元素都属于 ，也要说明 中至少存在一个元素不属于 ． 两集合相等： 中任意一个元素都符合 中元素的特性， 中任意一个元素也符合 中元素的特性。 （4）空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．记作 ； 对任何集合 有 ，若 则 ． （5）子集的个数：含有 个元素的集合共有 个子集，其中有 个真子集， 个非空子集． 知识点2 集合的运算 1.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集，记作 ，即 且 ．图示： （2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合的元素组成的集合,称为与的并集，记作 ，即 或 ．图示： （3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 且 ．图示： 求集合 的补集的前提是＂ 是全集 的子集＂，集合 其实是给定的条件．从全集 中取出集合 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为 ． 2．常用结论 （1）子集的性质： ； （2）交集的性质： ； （3）并集的性质： ； （4）补集的性质： ，; （5）等价关系：; （6）Venn 图：如图所示，用集合 、 表示图中 I、II、III、IV 四个部分所表示的集合分别是 、、、（或 ）． 知识点3 命题与充要条件、反证法 1．充分条件、必要条件与充要条件 （1）如果 ，则 是 的充分条件； ① 是 的充分非必要条件是指： 且 ； ② 的一个充分非必要条件是 是指： 且 ，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． （2）如果 ，则 是 的必要条件； （3）如果既有 ，又有 ，记作 ，则 是 的充要条件． 充要关系与集合的子集之间的关系 设 具有性质 具有性质 。 （1）若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件； （2）若 ，则 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； （3）若 ，则 是 的充要条件． 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（=） 大于（>） 小于（<） 是 或 否定词语 不等于（≠） 不大于（） 不小于（） 不是 且 正面词语 都是 任意 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 存在 至少有两个 一个也没有 3.反证法的基本步骤 (1)否定结论,提出假设(假设结论的反面成立); (2)推出矛盾(从假设出发,通过一系列正确的推理,导出矛盾); (3)推翻假设,肯定结论。 考点一 集合的概念 解题策略 解决集合概念题，紧扣确定性、互异性、无序性三大特性： 用确定性判断能否构成集合（元素需有明确标准，如“方程的解”“某象限的点”可构成，“难解的题”“很多多项式”不可）； 用互异性分析元素关系（集合元素互不相同，处理“集合相等”等问题时需排除矛盾）； 明确元素类型与范围（区分数集、点集，结合自然数集、实数集等概念分析），再逐一推导命题/选项即可. 例1在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 例2下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、集合的分类、判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断. 【详解】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错； 对于②，若，当时，，故②错； 对于③，集合，只有一个元素，故③错； 对于④，集合是无限集，故④错； 综上，正确的命题有0个. 故选：D. 例3已知互异的复数满足，集合={,},则=　　（　　　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【知识点】根据集合相等关系进行计算、复数的乘方、复数的相等 【详解】由题意或，因为，，，因此．选D. 【考点】集合的相等，解复数方程． 【变式1】集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】常用数集或数集关系应用、列举法求集合中元素的个数 【分析】列举法表示集合，可得解. 【详解】，该集合中的元素有个， 故选：B. 【变式2】下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、集合的分类、列举法求集合中元素的个数 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 【变式3】（1）设集合，.，求实数的取值集合； （2）设，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合相等关系进行计算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据题意分析可得，由且可解得结果； （2）化简集合，分类讨论求出集合，根据列式可解得结果. 【详解】（1），，又A中方程有两个不等实根，且B中方程最多有两个实根， 所以，则且，所以，所以实数的取值集合为. （2）由，解得，∴， 由题意得：. 当时，.∵，. 当时，满足条件. 当时，.，. 综上，实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了由集合之间的关系求参数，考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题. 考点二 元素与集合 解题策略 解决“元素与集合”问题的策略 明确集合元素的特征（类型、限制条件）； 若元素属于集合，根据特征列方程/不等式求解； 求解后验证集合元素的互异性，排除矛盾解； 对于含“且”“或”的集合，逐一分析元素是否满足条件，确定最终结果． 例1（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 例2（2023·上海闵行·三模）已知，则 . 【答案】3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由二次方程的根只有一个，则，且根为1，代入即可求解. 【详解】因为，所以二次方程有两个相等的实数根， 则①， 且方程的根为1，所以②， 联立①②解得： 所以 故答案为：. 例3（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 【变式1】（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 【变式2】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是 【答案】 【知识点】二次函数的图象分析与判断、根据集合中元素的个数求参数、一次函数的图像和性质 【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，不等式且，即， 令， 所以， 所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而一次函数，图象是过一定点的动直线， 作出函数和的图象，如图所示， 其中， 又因为，结合图象， 要使得集合中有且只有一个元素， 可得，即，解得. 即正实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据题意对的值进行讨论,求出对应的集合,再分析集合中元素的个数,从而得出元素最少的情况,即可求得答案. 【详解】集合, 方程, 解得:,, ,, 当时,； 当时,,； 当时,,. 当时,集合的元素的个数无限； 当时,,， 又，当且仅当，即时，等号成立， 当时，集合，所包含元素个数最少， 所以需，解得. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用,同时也考查了分类讨论的思想,其中对的值讨论是本题的关键,属于难题. 【变式4】（2025·上海·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、根据集合中元素的个数求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可； （2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围. 【详解】（1），令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为； （2）由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围. 考点三 集合中元素的特性 解题策略 解决“集合中元素的特性”问题，紧扣确定性、互异性： 含参数时，先根据“元素属于集合”列方程求解； 求解后验证互异性（元素互不相同），排除矛盾解； 涉及集合包含、元素个数问题，结合条件分析元素范围，利用确定性明确限制，通过互异性梳理元素取舍，推导结果． 例1（2025·全国·模拟预测）已知集合满足，且当时，，则中元素的个数至多为 . 【答案】1947 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合中元素的关系，得出所有元素的取值可能，得出相应的元素个数. 【详解】易知，与不能同在中，其中，，，， 又，所以中元素的个数不大于； 另一方面，设，， 取，此时中恰有1947个元素，满足要求. 故答案为：1947 例2已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 例3已知集合，若，则 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解. 【详解】，， 则或， 解得或， 当时，集合中有两个相同元素，（舍去）， 所以. 故答案为： 【变式1】已知集合，当为4022时，集合的元素个数 为 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、利用集合元素的互异性求参数 【详解】由，得到集合A中的 ， 在一个周期内，有1006个不同的值， 所以集合A中的元素个数为1006． 故答案为1006 . 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式、余弦函数的周期性，掌握集合中元素的互异性，意在考查综合所学知识解答问题的能力，是一道基础题． 【变式2】已知复数z是方程的一个根，集合，若在集合M中任取两个数，则其和为零的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、复数代数形式的乘法运算、利用集合中元素的性质求集合元素个数、复数范围内方程的根 【分析】由题意解出，根据复数的乘方以及集合的互异性确定，根据古典概型处理运算． 【详解】，即，解得 当时， 则，，， 当时， 则，，， 则集合有4个元素：，，，，即 若在集合M中任取两个数，共有如下可能：，共6个基本事件，其和为零的有，共2个基本事件，则其和为零的概率为 故答案为：． 【变式3】已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【知识点】集合元素互异性的应用、根据并集结果求集合或参数 【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 考点四 集合的表示方法 解题策略 列举法：适用于元素有限且可逐一列出的集合，注意元素互异性（避免重复）； 描述法：适用于元素有共同特征的集合，需明确元素的限制条件（范围、性质）； 解题时，先判断集合的表示方法，再结合需求（如求交集、元素和、列举元素等），遵循“明确元素本质 + 验证互异性”的思路分析，确保结果准确． 例1已知集合，则 . 【答案】 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【解析】将中元素逐个代入判断是否成立即可得解. 【详解】将中元素逐个代入，符合的有、，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题. 例2（2024·上海静安·二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 【答案】{红,黄}； 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合的定义即可求解. 【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄． 故答案为：红，黄． 例3已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 【答案】5 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和． 【详解】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 【变式1】已知集合，用列举法表示集合为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式，根据集合描述法得到集合的列举法表示. 【详解】由可得， ， 故答案为： 【变式2】已知集合，则用列举法表示集合 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据不等式的解法，求得，进而利用列举法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 即集合且. 故答案为：. 【变式3】已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 考点五 集合间的基本关系 解题策略 解决“集合间的基本关系”问题，需紧扣子集、相等的定义，策略如下： 转化关系：将“”等条件转化为“”，利用子集定义分析元素归属； 参数分析：含参数时，结合集合互异性、确定性列方程/不等式，注意空集的特殊性； 充分条件转化：若是的充分条件，转化为对应集合是对应集合的子集； 子集编码：涉及子集编号（如），用二进制思想分解数值，确定子集元素． 例1（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 例2（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、根据充分不必要条件求参数、具体函数的定义域、根据集合的包含关系求参数 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 例3（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集） 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 【变式1】已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答） 【答案】729 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、代数中的计数问题、二项展开式的应用 【分析】设集合A的元素个数为，可知集合B的个数有个，集合A的个数有个，结合二项式定理运算求解即可. 【详解】设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个， 可知集合B的子集有个，即集合A的个数有个； 所以有序集组的个数为个. 故答案为：729. 【变式2】已知集合，，若，则实数值集合为 ． 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可. 【详解】因为，故； 则的子集有，，，， 当时，显然有； 当时，； 当，； 当，不存在， 所以实数的集合为； 故答案为． 【变式3】已知集合，，则两集合间的关系是： ； 【答案】 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、判断两个集合的包含关系 【详解】 由题意，集合， 又由集合，所以 故答案为： 考点六 集合的交并补 解题策略 交集（）：找同时属于和的元素，区间型集合找重叠区间； 并集（）：找属于或的所有元素，区间型集合找合并覆盖区间； 补集（）：先明确全集，再找全集中不属于的元素，注意区间端点和元素的确定性； 解题时先识别集合表示形式（列举法、区间法等），再根据定义逐一推导即可． 例1（2025·上海徐汇·三模）已知集合，集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】. 故答案为： 例2（2025·上海金山·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 例3（1）（2025·上海金山·三模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. （2）（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【答案】 【知识点】几何意义解绝对值不等式、补集的概念及运算 【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可. 【详解】，又，故. 故答案为：. 【变式1】（2025·上海·三模）设集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】（2025·上海松江·三模）已知集合，，且 . 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集运算的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故答案为： 【变式3】（2025·上海黄浦·三模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 【变式4】（2023·上海黄浦·三模）若全集为，集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交并补混合运算、分式不等式 【分析】先求出集合，再求出，再利用集合的运算即可得出结果. 【详解】因为，由，得到，即， 又，易知，所以， 所以， 故答案为： 考点七 集合新定义典例 解题策略 解决集合新定义问题，核心策略是“吃透新定义，转化为常规问题”： 第一步，精读新定义，明确集合元素的特征、运算规则或限制条件（如本例中“能被7整除”“区间内元素个数限制”）； 第二步，转化关联知识，将新定义与集合的基本性质（确定性、元素个数）、函数周期性、数论（整除）、不等式等常规知识结合，把陌生问题转化为熟悉的数学场景； 第三步，结合条件推导，利用集合运算、参数分析等方法，逐步拆解复杂限制，最终求解. 例1记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、集合新定义 【分析】分析可知，集合中的元素只需满足能被整除即可，设，则需取以为间隔的等间隔分布的实数，可知区间中最多只能找到三个值，即求的最大值，利用导数求出函数的最大值为，则任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由于， 所以，被除余数为， 因此，集合中的元素只需满足能被整除即可， 设，从而可得, 即需取以为间隔的等间隔分布的实数， 不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值， 考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值， 而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔，    因此，只需，解得. 故答案为：. 【变式1】考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 【答案】 【知识点】组合数的计算、集合新定义 【分析】由题意，，且集合中的最小元素不能大于，再根据集合中的最小元素进行讨论，即可得解. 【详解】由题意，，且集合中的最小元素不能大于， 当集合中的最小元素时，这个的集合只有这个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 所以满足题意的子集共有个. 故答案为：. 【变式2】（2023·上海徐汇·三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 . 【答案】643 【知识点】求已知函数的极值、集合新定义、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答. 【详解】，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图：    观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法； 当与图像有两个公共点时，相应的有种取法； 当与图像有三个公共点时，相应的有种取法， 直线与函数图象的交点个数可能的取值如下： ， 对应的函数个数为， . 所以集合中元素之和为643. 故答案为：643 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 【变式3】已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 . 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】根据的定义进行分析，从而确定正确答案. 【详解】表示集合所含元素的个数， 其中，， 整除的有共个. 整除的： （1）整除的有个； （2）整除的有个； （3）整除的有个. 重复的有共个. 所以. 故答案为： 考点八 充分条件和必要条件典例 解题策略 1. 转化为集合包含：若对应集合，对应集合，则是的充分条件；是的必要条件。 2. 验证推出方向：逐一分析“”和“”是否成立，进而判断条件类型（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）． 例1（2023·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】由充分条件定义直接求解即可. 【详解】“”是“”的充分条件，，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 例2（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 例3（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数， 所以，“是偶数”“、都是偶数”， “是偶数”“、都是偶数”， 故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式1】（2023·上海宝山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】解不等式，得到的解集，从而得到答案. 【详解】，解得或， 由于或，但或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可. 【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 由，则或或，推不出，反向可推出，不满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 故选：A 【变式3】（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 【变式4】（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】分类讨论求解，即可判断． 【详解】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 考点九 反证法典例 解题策略 否定结论，推导矛盾，确认成立 1. 否定结论：准确写出结论的否定形式（注意逻辑联结词“或”“且”的否定，“或”变“且”，“且”变“或”）； 2. 推导矛盾：从否定后的结论出发，结合已知条件、定义、定理等推理，推出与已知、公理、定理或自身假设矛盾的结果； 3. 确认成立：由矛盾判定假设不成立，原结论得证． 例1用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可. 【详解】“或”的否定为“且”. 故答案为：且 例2若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 ． 【答案】且成立 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】假设结论的反面成立，即可求解． 【详解】解：假设结论的反面成立，即且成立． 故答案为：且成立． 例3设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【答案】证明见解析 【知识点】整数与整除、反证法的概念辨析、反证法证明 【分析】结合数论知识以及反证法即可得证. 【详解】用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 【变式1】用反证法证明：存在，，应先假设： . 【答案】任意， 【知识点】特称命题的否定及其真假判断、反证法的概念辨析 【解析】由特称命题的否定可得解. 【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意，. 故答案为：任意，. 【变式2】已知a、，用反证法证明命题：“若，则a、b全为零”时的假设是 ． 【答案】“若，a不为零或b不为零”. 【知识点】反证法的概念辨析 【解析】由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设. 【详解】命题“若，则a、b全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若，则a不为零或b不为零”， 故答案为：a不为零或b不为零. 【点睛】本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题. 【变式3】（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明． （2）证明：是无理数． 【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析； （2）证明见解析. 【知识点】判断命题的充分不必要条件、反证法证明 【分析】（1）根据原命题与逆否命题的关系得出命题真假，据此判断充分条件、必要条件即可； （2）利用反证法证明是无理数. 【详解】（1）充分不必要条件； 证明如下： 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则， 显然正确，故原命题正确，即或； 命题：若或，则的逆否命题为：若，则且，显然命题错误，故原命题错误，即或不能推出， 故“”是“或”的充分不必要条件. （2）假设是有理数， ， 不是整数，故存在两个互质的正整数， 使得，于是，两边平方，得. ∵是3的倍数，是3的倍数. 又∵是正整数，是3的倍数. 设 (为正整数)，代入上式，得，，同理也是3的倍数， 这与前面的假设互质矛盾. 因此假设是有理数不成立，故是无理数. 【变式4】若数列中的每一项都为实数，且满足，则称为为“数列”. (1)若数列为“数列”且，求的值； (2)求证：若数列为“数列”，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (3)若数列为“数列”，且中不含值为的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能的取值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】数与式中的归纳推理、数列新定义、根据数列递推公式写出数列的项、反证法证明 【分析】（1）推导出，，由此能求出的值； （2）假设数列的项都是正数，则，与假设矛盾；假设数列的项都是负数，，与假设矛盾，由此能证明的项不可能全是正数，也不可能全是负数； （3）存在最小的正整数满足，（），数列是周期为的数列，由此能求出结果。 【详解】（1）解：（1）因为是数列，且， ，，所以，解得，所以 （2）证明：（2）假设数列的项都是正数，即，，，所以，，与假设矛盾，故数列的项不可能全是正数； 假设数列的项全都是负数，则，而，与假设矛盾，故数列的项不可能全是负数。 （3）解：（3）由（2）可知，数列中项既有负数也有正数，因此存在最小正整数满足，（），设，（），则，，，，，，，，，故有，即数列是周期为的数列，由上可知，，…，这项中，，为负数，，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余都是正数，因为，当时，；当时，，，…，这项至多一项为负，且只能是，在，，…这项中负数项的个数为，当时，若，则，故为负数，此时，，若，则，故为负数，此时，；当时，比为负数，，；综上可知的可能取值为. 训练 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由正切函数的周期求值 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，以及正切函数的性质，判断充分性和必要性，求得结果. 【详解】当时，，不能得出，不具备充分性， 当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性. 故选：D. 2．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项. 【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件； B.当满足，不满足，所以B不是充分条件； C.若，又因为，所以，所以C是充分条件； D.，，满足，不满足，故D不是充分条件. 故选：C 3．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 4．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 5．（2025·上海浦东新·二模）已知集合，集合，全集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【分析】由绝对值不等式确定结合，再由集合得交集、补集运算即可求解. 【详解】，可得 可得：， 所以， 故选：D 二、填空题 6．（2025·上海浦东新·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】运用并集概念计算. 【详解】集合，，则. 故答案为：. 7．（2025·上海黄浦·三模）已知集合，，则 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】由分式不等式和交集的运算可得. 【详解】由可得，， 由可得， 所以. 故答案为：. 8．（2025·上海金山·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 9．（2025·上海长宁·二模）已知集合，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义可求. 【详解】由交集的定义可得， 故答案为： 10．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、求对数函数的定义域 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 11．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【知识点】充分条件、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 三、解答题 12．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据控制函数的定义证明即可； （2）根据题意得出恒成立，分类讨论求出其最小值将问题转化为使得，即得，再利用导数求解不等式即可； （3）充分性：假设，根据为偶函数求出，再求证；必要性：根据以及得出即可. 【详解】（1）因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2），则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． （3）充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 13．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【知识点】充要条件的证明、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、等差中项的应用、导数新定义 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 试卷第1页，共3页 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 1 知识点1 集合的概念 2 1.集合的有关概念 2 2.集合间的基本关系 2 知识点2 集合的运算 3 1.集合间的基本运算 3 2.常用结论 3 知识点3 命题与充要条件、反证法 3 1.充分条件、必要条件与充要条件 3 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 4 3.反证法的基本步骤 4 三、考点精析与突破 考点一 集合的概念 4 考点二 元素与集合 5 考点三 集合中元素的特性 6 考点五 集合间的基本关系 7 考点七 集合新定义典例 8 四、实战精练与提升 一、单选题 11 二、填空题 11 三、解答题 12 读 一、考试要求 理解集合、元素及其关系，空集概念，掌握集合表示法及集合间关系，理解集合的基本运算，了解充要条件的含义。 二、命题分析 考频 考查内容 命题趋势 2025年上海市春考高考第1题 交集及其运算 集合的运算（交集、并集、补集的混合运算）；集合间的关系（相等、包含关系的判断与应用），命题会保持对其的重点关注，预计2026年填空部分进行考查. 2023年上海市春季高考第1题 两个集合相等的应用 2022年上海市春季高考第2题 两个集合相等的应用 2021年上海市春季高考第14题 集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算 知识点1 集合的概念 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性; 元素互异性常用于求解含参数的集合问题 （2）集合常用的三种表示方法:列举法、描述法、图示法 （3）元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为; （4）五个特定的集合及其关系图: N 表示自然数集,E表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,C表示复数集 2．集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，则称 是 的子集，记作 （或 ）； （2）真子集：如果集合 是集合 的子集，但集合 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 或 ； 既要说明 中任何一个元素都属于 ，也要说明 中至少存在一个元素不属于 ． 两集合相等： 中任意一个元素都符合 中元素的特性， 中任意一个元素也符合 中元素的特性。 （4）空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．记作 ； 对任何集合 有 ，若 则 ． （5）子集的个数：含有 个元素的集合共有 个子集，其中有 个真子集， 个非空子集． 知识点2 集合的运算 1.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集，记作 ，即 且 ．图示： （2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合的元素组成的集合,称为与的并集，记作 ，即 或 ．图示： （3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 且 ．图示： 求集合 的补集的前提是＂ 是全集 的子集＂，集合 其实是给定的条件．从全集 中取出集合 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为 ． 2．常用结论 （1）子集的性质： ； （2）交集的性质： ； （3）并集的性质： ； （4）补集的性质： ，; （5）等价关系：; （6）Venn 图：如图所示，用集合 、 表示图中 I、II、III、IV 四个部分所表示的集合分别是 、、、（或 ）． 知识点3 命题与充要条件、反证法 1．充分条件、必要条件与充要条件 （1）如果 ，则 是 的充分条件； ① 是 的充分非必要条件是指： 且 ； ② 的一个充分非必要条件是 是指： 且 ，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． （2）如果 ，则 是 的必要条件； （3）如果既有 ，又有 ，记作 ，则 是 的充要条件． 充要关系与集合的子集之间的关系 设 具有性质 具有性质 。 （1）若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件； （2）若 ，则 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； （3）若 ，则 是 的充要条件． 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（=） 大于（>） 小于（<） 是 或 否定词语 不等于（≠） 不大于（） 不小于（） 不是 且 正面词语 都是 任意 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 存在 至少有两个 一个也没有 3.反证法的基本步骤 (1)否定结论,提出假设(假设结论的反面成立); (2)推出矛盾(从假设出发,通过一系列正确的推理,导出矛盾); (3)推翻假设,肯定结论。 考点一 集合的概念 解题策略 解决集合概念题，紧扣确定性、互异性、无序性三大特性： 用确定性判断能否构成集合（元素需有明确标准，如“方程的解”“某象限的点”可构成，“难解的题”“很多多项式”不可）； 用互异性分析元素关系（集合元素互不相同，处理“集合相等”等问题时需排除矛盾）； 明确元素类型与范围（区分数集、点集，结合自然数集、实数集等概念分析），再逐一推导命题/选项即可. 例1在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 例2下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 例3已知互异的复数满足，集合={,},则=　　（　　　　） A．2 B．1 C．0 D． 【变式1】集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（1）设集合，.，求实数的取值集合； （2）设，，若，求实数的取值范围. 考点二 元素与集合 解题策略 解决“元素与集合”问题的策略 明确集合元素的特征（类型、限制条件）； 若元素属于集合，根据特征列方程/不等式求解； 求解后验证集合元素的互异性，排除矛盾解； 对于含“且”“或”的集合，逐一分析元素是否满足条件，确定最终结果． 例1（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 例2（2023·上海闵行·三模）已知，则 . 例3（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【变式2】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是 【变式3】若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 . 【变式4】（2025·上海·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 考点三 集合中元素的特性 解题策略 解决“集合中元素的特性”问题，紧扣确定性、互异性： 含参数时，先根据“元素属于集合”列方程求解； 求解后验证互异性（元素互不相同），排除矛盾解； 涉及集合包含、元素个数问题，结合条件分析元素范围，利用确定性明确限制，通过互异性梳理元素取舍，推导结果． 例1（2025·全国·模拟预测）已知集合满足，且当时，，则中元素的个数至多为 . 例2已知集合，且，则实数的值为 ． 例3已知集合，若，则 . 【变式1】已知集合，当为4022时，集合的元素个数 为 ． 【变式2】已知复数z是方程的一个根，集合，若在集合M中任取两个数，则其和为零的概率为 ． 【变式3】已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 考点四 集合的表示方法 解题策略 列举法：适用于元素有限且可逐一列出的集合，注意元素互异性（避免重复）； 描述法：适用于元素有共同特征的集合，需明确元素的限制条件（范围、性质）； 解题时，先判断集合的表示方法，再结合需求（如求交集、元素和、列举元素等），遵循“明确元素本质 + 验证互异性”的思路分析，确保结果准确． 例1已知集合，则 . 例2（2024·上海静安·二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 例3已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 【变式1】已知集合，用列举法表示集合为 . 【变式2】已知集合，则用列举法表示集合 【变式3】已知集合，，则集合的元素个数为 ． 考点五 集合间的基本关系 解题策略 解决“集合间的基本关系”问题，需紧扣子集、相等的定义，策略如下： 转化关系：将“”等条件转化为“”，利用子集定义分析元素归属； 参数分析：含参数时，结合集合互异性、确定性列方程/不等式，注意空集的特殊性； 充分条件转化：若是的充分条件，转化为对应集合是对应集合的子集； 子集编码：涉及子集编号（如），用二进制思想分解数值，确定子集元素． 例1（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 例2（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 例3（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【变式1】已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答） 【变式2】已知集合，，若，则实数值集合为 ． 【变式3】已知集合，，则两集合间的关系是： ； 考点六 集合的交并补 解题策略 交集（）：找同时属于和的元素，区间型集合找重叠区间； 并集（）：找属于或的所有元素，区间型集合找合并覆盖区间； 补集（）：先明确全集，再找全集中不属于的元素，注意区间端点和元素的确定性； 解题时先识别集合表示形式（列举法、区间法等），再根据定义逐一推导即可． 例1（2025·上海徐汇·三模）已知集合，集合，则 . 例2（2025·上海金山·三模）已知集合，，则 ． 例3（1）（2025·上海金山·三模）已知全集，集合，则 ． （2）（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【变式1】（2025·上海·三模）设集合，则 . 【变式2】（2025·上海松江·三模）已知集合，，且 . 【变式3】（2025·上海黄浦·三模）已知全集，集合，则 ． 【变式4】（2023·上海黄浦·三模）若全集为，集合，，则 ． 考点七 集合新定义典例 解题策略 解决集合新定义问题，核心策略是“吃透新定义，转化为常规问题”： 第一步，精读新定义，明确集合元素的特征、运算规则或限制条件（如本例中“能被7整除”“区间内元素个数限制”）； 第二步，转化关联知识，将新定义与集合的基本性质（确定性、元素个数）、函数周期性、数论（整除）、不等式等常规知识结合，把陌生问题转化为熟悉的数学场景； 第三步，结合条件推导，利用集合运算、参数分析等方法，逐步拆解复杂限制，最终求解. 例1记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 . 【变式1】考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 【变式2】（2023·上海徐汇·三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 . 【变式3】已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 . 考点八 充分条件和必要条件典例 解题策略 1. 转化为集合包含：若对应集合，对应集合，则是的充分条件；是的必要条件。 2. 验证推出方向：逐一分析“”和“”是否成立，进而判断条件类型（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）． 例1（2023·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ． 例2（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 例3（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1】（2023·上海宝山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【变式4】（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 考点九 反证法典例 解题策略 否定结论，推导矛盾，确认成立 1. 否定结论：准确写出结论的否定形式（注意逻辑联结词“或”“且”的否定，“或”变“且”，“且”变“或”）； 2. 推导矛盾：从否定后的结论出发，结合已知条件、定义、定理等推理，推出与已知、公理、定理或自身假设矛盾的结果； 3. 确认成立：由矛盾判定假设不成立，原结论得证． 例1用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 例2若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 ． 例3设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【变式1】用反证法证明：存在，，应先假设： . 【变式2】已知a、，用反证法证明命题：“若，则a、b全为零”时的假设是 ． 【变式3】（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明． （2）证明：是无理数． 【变式4】若数列中的每一项都为实数，且满足，则称为为“数列”. (1)若数列为“数列”且，求的值； (2)求证：若数列为“数列”，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (3)若数列为“数列”，且中不含值为的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能的取值. 训练 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 4．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海浦东新·二模）已知集合，集合，全集为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·上海浦东新·三模）已知集合，，则 ． 7．（2025·上海黄浦·三模）已知集合，，则 8．（2025·上海金山·二模）已知集合，则 . 9．（2025·上海长宁·二模）已知集合，则 ． 10．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 11．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 三、解答题 12．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 13．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 试卷第1页，共3页 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $