培优课7 与平面向量有关的最值、范围问题-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

得c=asnC-3 即2 sin Bcos B=sin Acos C+cosA· sin A sin C,E 2sin Bcos B=sin(A+C)= 设BC边的中点为D,连接AD,如图， sin B, 由于0<Bπ，sinB>0,所以cosB= 所以B=云 1 AH 3 (2)因为S△Ax=S△ABD十S△D, 跟踪训练3解：(1)由sinB十√3 bcos A=0 1 b 所以令aesin∠ABC=2BD·c· 及 sin A sin B' :2AD=A官+AC,即(2AD)2 sin∠ABD+2BD·a·sin∠CBD, 得sinA (AB+AC)2, a +√3 bcos A=0, 即4AD2=c2+b2+2 bccos∠BAC 因为BD为∠ABC的平分线， 又a=1,b≠0，所以sinA十√3cosA= 93+2X后X8x誓解得AD四 0,得tanA=-√3， 所以∠ABD=∠CBD= 21 ∠ABC= 2 6 因为A∈(0，x),所以A= 例2解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 3 BC2=AB2+AC2 所以三acX=X2E 1 -2AB·AC· 2=2 (2)由余弦定理得a=b2+c2 cos∠BAC, 122 1 2 bccos.∠BAC,则1=b2+c2+bc≥ 即64=AB2+AC2十AC·AB①， 3aX2 2bc+bc=3bc,得bc≤，当且仅当 因为S△ABC=S△ABP十S△AP, 所以AC,AB.F_2AB 3 则√5ac= 2√2 (a十c), b=c时取等号， 3 1 2 2 2 24C. 即ac=2y2 所以Sar-号a·AM=女血会< a十c), 3√3 2 2 2×3 2, 整理得AC·AB=2AC十2AB②， 由余弦定理得b2=a2十c2 2 accos.∠ABC,即16=a2+c2-ae, 联立①②解得AC·AB=2十2√65， 所以16=(a+c)2-3ac=(a+c)1 解得AM<气故AM的最大值为3 6. 所以S△ABC= 2AC·AB 2(a+c 培优课7与平面向量有关的 sin∠BAC=B+√I95 √3 最值、范围问题 解得a十c=2√6或a十c= 一45（舍 3 热点分类·考向探究 (2)因为AP=2,CP=4,∠CAP= 31 故△ABC的周长为2W6+4. 例1(1)D设OA=a,OB=b,O元=c, 所以在△APC中，由余弦定理可得 例3 CP2=AP2+AC2-2AP·AC 解：I△ABC中，云=i号 由题宠a=b=a·6=一 cos∠CAP, 由正弦定理和同角三角函数的商数 1 得cos∠AOB= 所以16=4+AC2-2AC,解得AC 关系， 2,∠A0B=120, 1+√13， AB=3,(a-c,b-c）=30°， AP PC sin Asin2 .∠ACB=30°，.C在以AB为弦的 由正弦定理得 得sinA ,由倍角公式得 sin C sin,∠CAP1 2sin C C 圆D的ACB上运动，如图所示. 即2 cos 2 ∠ADB=60°，r=3,OD=2√3，当点C 4 sin C= 是OD的延长线与圆D交点时，c最 ,解得sinC= 4 sin A sinA·sin2 大，为3十25.故选D C C C √/13 所以cosC= V√1-sinC= 4sin 2cos2 cos 2 4 又因为A,C为△ABC的内角，所以 sinB=sin(∠BAC+C)= sin∠BACcos C+cos∠BACsin C= A,ce0m∈(o,） √39-3 C 8 所以inA≠0，os号≠0. B 在△ABC中，由正弦定理得AC C1 C 1 sin B 所以sin之=4，sinz=之 (2)D如图，以C为原点，BC所在直 线为x轴，建立平面直角坐标系， sin/BAC,侧十店 BC BC √39-5 则有号-得C= 8 2 (2)如图，a=8,b=5,∠ACB=号 解得BC=14+2√I3 CA.Ci=CA1·Ci1·os∠ACB= 3 所以BP=BC-CP= 14+2√13 abcos.∠ACB=5X8Xcos 3=20, 4=2+25 所以CA2=b2=25,C32=a2=64, 则A(0,4),B(4,0),可设D(2十2cos0, 3 由题意知CH⊥AB,所以C方· 2sin0),则AB=(4,-4),AD=(2+ 跟踪训练2解：(1)由已知，得 AB=0, 2cos0,2sin0-4),所以AB+AD= 2bcos B=ccos A+csin A 即(mCA+nC第)·(Ci-CA)=(m (6十2cos0,2sin0-8),所以AB+ tan C' n)(CB CA)-mCA:+nCB2= AD12=(6+2cos0)2+(2sin0-8)2 由正弦定理，得 20(m-n)-25m+64n=0. 104+8(3cos0-4sin0).又因为3cos8 2sin Bcos B=sin Ccos A-sin Csin A tan C 所以5m=44n,所以”=44 n9=5s0十g长6，共中m9=子， -279- 参考答案一 所以AB+AD?≤144→AB+A市≤ 12.故选D. ②c_:花应+币：例[后） A元=D元.AC+E户.AC,过点D作 跟踪训练1(1)D因为a=b1 DO⊥AB,垂足为O,以O为坐标原 解析：设c=(2,0),a=(x1,y1),b= r>0.a,b)=号，所以a+b2- 点，建立如图所示的平面直角坐标系， (x2y2),a,b的夹角为0，则a·c= 2x1=2→x1=1,b·C=2x2=6→x2= 1a2+t21b2+2ta·b=r2(1+t2+ 则A(-2,0),C(1,2√3)，D(0,2√3) 3,.a=(1,y1),b=(3,y2),a·b= =[)广+]所以当 E(2,0),则DE·AC=(2,-2√5)· 3+y1y2=2→y1y2=-1→y2= (3,23)=6-12=-6,E·AC 1 a·b ,.c0s8= a·b 1=一2时，a十h取得最小值 EP1|AC|cos〈Ep,A元)=1X 2 2 r √9+12XcOs〈EP,AC)=√2i· 的③ =5得r=2,所以r2+2=4十 cos(E2,AC),当cosE7,AC)=1,即 √1十y· y EP,AC同向时，EP·AC取得最大值 2 子敢选D, √2，所以DP·AC的最大值为 10+9y+ (2)D根据条件知四边形AB1PB,为 √21一6.故选C. y 矩形，以A为坐标原点，AB1,AB2所 2 ,当且仅当 1 在直线为坐标轴建立平面直角坐标 系，如图，设AB1=a,AB2=b,点 √10+29· yi O的坐标为(x,y),则P(a,b),B1(a, 3 0),B2(0,b) P E y1=士 3 时，等号成立，显然c0s日> .1 跟踪训练2(1)C菱形ABCD的边长 0,即0<0s0≤2,0≤0≤， 为2，∠BAD=120°，点E在边BC上， 且BC=3BE,如图， ≤0<受，因北，ab夹角的取值 3 D 范周是[号受) 跟踪训练3(1)A设与A方同方向的单 由OB11=OB2=1得 AB 位向量 1x-a)2+y=1则 =1,与AD同方向的单 AB·AD=2X2×cos120°=-2，设 x2+(y-b)2=1, D元=ADC,0≤A≤1，AG=AD+ 位向量 A 引：又由o币<分得 =e2,与AC同方向的单 (y-b)2=1-x2, DG=AD+λAB,A它=AB+BE 位向量 AC （z-a+(g-by<子，剩1- 号市-，因光花·症=- :=e3,由题意得e1十 3e2=Aea,所以(e1十3e2)2=λ”e,即 12< )·(兮茄+)=号A市十 ei+6e1·e2+9e2=入e3,所以1+6× a)2+y2=1,得x2十y2十a2=1十 A+(兮+)市，A防= 1X1Xc0s∠BAD十9=12，所以 2ax≤1十a2十x2,则y2≤1.同理由 3 c0s∠BAD=A-10 6,因为入∈[7,3]， x2十(y一b)2=1,得x21,即有x2十 y≤2@.由0@知子<+y<2,所 -2(合+)9-号≥台当 所以x∈[7,9]，所以10∈ 且仅当入=0时取等号，所以AG·A 6 111 ,即cos∠BAD∈ 1 以5<+y≤2.而Oi1 2-6 2 2 的最小值为-子故选C 1 可，所以誓<≤反.故 (2)B如图，以BC所在直线为x轴 6故选A 以BC的垂直平分线为y轴，建立平面 选D. 直角坐标系，由AB=AC=2,BC (2)压5 8 例2(1)(-2,6) 25,得OA=√22-（√5）2=1，所以 解析：设c=(x,y),可得a一c=(1 解析：如图，作出正六边形ABCDEF, A(0,1),B(-5,0),C(5,0),设 xW5-y),所以a-c2=(1-x)2十 取中心为O,以A为原点，AB所在的 直线为x轴，AE所在的直线为y轴建 P(x,0),一3≤x≤5，则PA= 5-y)=子设向量6c夫角为9。 立平面直角坐标系，因为正六边形的 (-x,1),PB=(-5-x,0),则 b·c 边长为2，所以A(0,0),B(2,0) PA·P丽=-x·(-5-x)=x2+ 则c0s0=60=1X√+可 1 √+ ,设k=兰 时，P·P取得最小值，此时PA= 得y=kx,代入(1-x)2十(W5-y)2= ,整理得(1+k2)x2一(2十2√3k)x十 设点P的坐标为(x,y),所以A证， 之故选B. √ 15 AB=(xy)·(2,0)=2x.易知xF<x< 4 =0,由△≥0，得(2+2√5k)2-4(1+ xc,xc=xB+BC·cos∠BCO=2+ 2c0s60°=3，xF=-AF·cos∠AF0= k)×9≥0，即36-85k+1≤0. -2c0s60°=-1，所以-2<2x<6,所 以AP·AB的取值范围是（一2,6）. 解得45，压≤k≤45士压，则 3 3 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 -280 当=5正时，()有最大值 后相加得(a·b)2=4,即a·b= 跟踪训练2解：(1)f(x)=sin(cosx)的 3 2,又a+b1=√a+2a·b+b= 定义域为R 7+8 (2)对于函数f(x)=sin(cosx), √Ja2+b2+2≥√2a·b+2= f(-x)=sin[cos(-x)]= 3 ,此时c0s日有最小值 √6，当且仅当a=b=√2时等号成 sin(cosx)=f(x),所以f(x)是偶 1 √15-5 立，故a十b的最小值为√6，故D错 函数. 886 8 ,由于8∈[0， 误.故选AC (3)f(x十2π)=sin[cos(x十2π)]= 3 跟踪训练12√3 sin(cos x)=f(x), π]，可知cos0最小时角日最大，所以b,C 解析：：a①b=a·b·tan(a,b)=√3， y=cosx在区间[0，π]上递减，y= 最大夹角的余孩值为店 sinx在区间[-1,1]上递增，所以 3 8 .tana,b〉= 0·6由a+b= f(x)=sin(cosx)在[0，π]上递减. 例42√3十4 y=cosx在区间[π，2π]上递增，y 解析：由题意得B,C,D三点共线，且 √3a-b=√3可得 sinx在区间[-1,1]上递增，所以 a:+2a·b十b=3两式相减得 f(x)=sin(cosx)在[π，2π]上递增 AD=xAB十yAC,所以x十y=1,且 1a2-2a·.b+|b2=1, 所以f(x)的最小正周期为2π， 0<x<1,0<y<1,所以1十3 5 f(x)在[2k,2kπ十π](k∈Z)上是严 x y a·b= 2心tan(a,b)= =25. 1 格减函数，在[2kπ十π，2kπ十2π](k∈ (+)x1=(+）×x Z)上是严格增函数. 例2解：(1)函数f(x)是2函数，函数 结合f(x)=sin(cosx)的单调性可 =++4≥2 知，f(x)的值域为[一sin1,sin1]. 十4= g(x)不是2函数 y 1 例3证明：(1)正项数列{a},{bn},满足 25十4，当且仅当x= 5-1 对于f(x)=x2 3x, am+1= 2 2,b,+1=。大c bn十c 2, 3一5时取等号。 令m=3,则[m]=0, 两式相减可得 2 anh-b,+1=-2(an-bn）, 跟踪训练41 则fm)=/(兮）=0， 解析：在△ABC中，由D为线段BC上 f([m])=f(0)=0, 因为a1≠b1,所以a1-b1≠0，所以 的动点，BD=μBC,得0≤μ≤1，则 所以存在m∈R,m￠Z,使得f(m) {a,-b,是以a1-b:为首项，-之为 AD-AB+BD-AB+BC=AB+ f([m]),所以函数f(x)是2函数. 公比的等比数列， (AC-AB)=(1-u)AB十AC,则 对于函数g(x)=sinπx,函数的最小 AF-λAD=(1-)AAB十AAC,又 正周期为 =2, 由a+1=土c 26-两式相 2 A花=是AC,于是A京=(1一)XA+ 1 不妨研究g(x)在[0,2]这个周期的 加可得a+1十b+i=2（a.十b,）十c, 性质， 4以uAE,因为点B,F,E共线，因此 1 当0<m<1时，[m]=0,则g(m) 1一)a+4=1,解得入=1于3r sinmπ>0，g([m])=g(0)=0, 即a1十b+1-2c=2(a。十b。 当1<m<2时，[m]=1,则g（m) 2c),因为a1十b1≠2c, 所以a1十b1-2c≠0，所以{a,十b, 十3g=x∈[1，，则入子=刀 sinπ0，g(Lm)=g(1)=0, 综上，g(m)≠g([m]), 2c}是以a1十b-2c为首项，为公 1 1 1,λ+64= x +2(x-1)= 所以函数g(x)不是2函数. 十2x 所以，函数f(x)是2函数，函数g(x) 比的等比数列. 2,显然对均画教y=士+2x在[1， 不是2函数 (2)①因为a1>b1,由(1)得{am-bn} 1 是等比数列，所以an一bn≠0，即 (2)取a= an≠bn, 上单羽递增，则当x=1时，( 2,f(x)为n函数，证明 如下： 由(1)知，a+1十b1-2c=2（a,十 2x）=3,(入十6)m=1,所以当 令m= 1 2 ,则[m]=-1, b.-2c). mm 因为a1十b1=2c,所以a1十b1-2c 0,入=1时，入十64取得最小值1. 0,所以{a,十bm一2c}为常数列0，故 创新题2三角函数与平面向量 又f(x)=x+2 an十bn=2c, 热点分类·考向探究 此时(2)=- 2x(-2) 由cosC=a+b-c 2a,b 例1AC对于A,aXb=a·b·sina, b》=0,若a,b至少有一个为零向量 81([2])=-D=-1+ a+-之】 则满足a∥b;若a,b均不为零向量 2a b 3 则sin(a,b〉=0，即a,b同向或反向 2 即a∥b,故A正确；对于B,入(a×b) 2X(-1)= a2+b片-a-4b-zab, λa·|b·sin(a,b〉，（λa)Xb= 则()=(])： 2a b aa·b·sin(aa,b〉，若入≥0，则 3 1 (aa)Xb=入a·b·sin〈a,b〉，此 所以f(x)是2函数 (3)T的最小值为1，理由如下 2a,b 时λ(aXb)=(Aa)×b;若入<0， (λa)Xb=-aa·b·sina,b), 因为f(x)是以T为最小正周期的周 2a b ( 此时入(aXb)≠（λa)Xb,故B错误；对 期函数，所以f(T)=f(0). 11 于C,若四边形ABCD为平行四边形，则 假设T<1,则[T]=0, 所以f([T])=f(0),矛盾 bn,所以等号不成立， 它的面积等于AB|·AD·sin(AB, 所以必有T≥1， AD),即ABXAD,故C正确；对于D, 故cos C,>2,因为Cm∈(0，π)，所以 而函数l(x)=x一[x]的周期为1，且 a×b=a·b·sina,b)=√3，a· 显然不是2函数， b=a·b·cosa,b》=1,两式平方 综上，T的最小值为1. C,∈(o,),所以smC,<, -281- 参考答案一叱(1)求角A: (2)设AM是△ABC的高，求AM的最 大值. 反思感悟Q 高线的结论 (1)高的性质：h1,h2,h3分别为△ABC边a,b, 1 1 sin B'sin C" (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高， 需要求出面积和底边长度。 【跟踪训练3】已知△ABC的内角A,B,C所对 学习至此，请完成课时作业18 的边分别为a,b,c,a=1,sinB+3 bcos A=0. 培优课7与平面向量有关的最值、范围问题 046 考情分析 1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以选择题、填空题的形式考查，难度中档. 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围 热点分类 考向探究 考向1向量模的最值、范围 马听课记录 【例1】(1)已知向量a,b,c满足|a|=|b|= 3 5,a…b=-2a-c,b-c)=30,则c 的最大值为 A.27 B.3+2√7 C.25 D.3+25 (2)(2024·河北沧州一模)如 A 反思感悟) 图，在等腰直角三角形ABC 向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐 中，斜边AB=4√2，点D在以 标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解。 BC为直径的圆上运动，则 如果直接求模不易，可以先将向量用基向量表示再 |AB+AD的最大值为() 求解.求模的范围或最值的常见方法：①通过α？ A.4√6B.8 C.63 D.12 a2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法. ☑一红图勾讲与练·高三二轮数学 【跟踪训练1】(1)已知a,b为非零向量，且【跟踪训练2】(1)已知菱形ABCD的边长为 1a=b=r(r>0,a,b>=牙，若a+b 2,∠BAD=120°，点E在边BC上，且BC= 3BE.若G为线段DC上的动点，则AG· 的最小值为√，则r2十t2的值为 AE的最小值为 () A.号 a号 C.4 n A.-2 B.0 c.-号 D.4 (2)在平面内，AB1⊥AB2,|OB11= (2)(2024·北京朝阳区一模)在△ABC中， 10E1=1.a正=AB+AB.若10P< AB=AC=2,BC=2√5，点P在线段BC 上.当PA·PB取得最小值时，PA= 则OA的取值范围是 ( A.. B.5万 7 22 A. 7 B. 4 0.4 管 考向3向量夹角的最值、范围 【例3】 若平面向量a,b,c满足|c|=2,a·c 考向2数量积的最值、范围 2,b·c=6,a·b=2,则a,b夹角的取值范 【例2】 (1)已知P是边长为2的正六边形 围是 ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范 听课记录 围是 (2)如图，在等腰梯形ABCD 047 中，AB∥CD,AB=5,AD=4, DC=1,E是线段AB上一 点，且AE=4EB,动点P在以E为圆心，1 为半径的圆上，则DP·AC的最大值为 ( 反思感悟) 1.求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角 A.√5-√21 B.2√3-6 与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函 C.√2I-6 D.-√3 数的最值问题，要注意变量之间的关系. 马听课记录 2.本题考查向量夹角取值范围的计算，解题的 关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等 式或函数的性质求解 【跟踪训练3】(1)(2024·河北石家庄二模)在 AB 平行四边形ABCD中， 3AD 1ABI IADI AAC ,λ∈[√7,3]，则cos∠BAD的取值范 lACI 围是 ( 反思感悟0 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量 「1,1 B.23 积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选 择的变量要有可操作性. c 专题二 三角函数与平面向量一闭 (2)已知向量a=(1,√3)，b=(1,0),|a 反思感悟0 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共 c=2则向量b,c最大夹角的余弦值为 线向量定理及推论进行转化，列不等式或等式得到 关于系数的关系式，从而求出系数的取值范围， 考向4向量系数的最值、范围 【跟踪训练4】如图，在△ABC中，AE=AC, 【例4】在△ABC中，点D是边BC上（不包含 端点)的动点，若实数x,y满足AD= D为线段BC上的动点，AD与BE相交于 点F,设AF=λAD,BD=BC,则入+64的 zA正+AC,则上+3的最小值为 最小值为 听课记录 学习至此，请完成课时作业19 练 创新题2 三角函数与平面向量 048 1.对于三角函数新定义问题，主要把握住 (1)对新定义进行信息提取，明确新定义的 三角函数与其他知识点之间的转换关系即可， 名称和符号。 熟记三角恒等变换的有关公式，将求取值范围 (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求 转换为函数问题. 解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点 2.求解向量新定义问题，注意： 和相似点. 热点分类 考向探究 考向1平面向量的新定义问题 听课记录 【例1】（多选）定义：a,b两个向量的叉乘a× b=|a|·|b|·sina,b〉，则以下说法正确 的是 A.若a×b=0,则ab B.λ(aXb)=(λa)Xb C,若四边形ABCD为平行四边形，则它的 反思感悟0 与向量运算有关的创新问题是按照一定的数学 面积等于ABXAD 规则和要求给出新的向量运算规则，并按照此向量 D.若a×b=√3，a·b=1,则|a+b|的最小 运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算 值为√7 等，从而达到解决问题的目的 ☑一红网勾讲与练·高三二轮数学