培优课6 三角形的中线、角平分线与高线问题-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

培优课6三角形的中线、角平分线与高线问题 考情分析 与三角形的中线、角平分线与高线有关的问题是高考的热点问题，解答此类问题时一般在两个三角形内已 有正、余弦定理的相关条件，命题灵活，难度稍大。 热点分类 考向探究 考向1三角形的中线问题 结论：市=子(C+A+21C1A· 【例1】(2024·山东潍坊一模)在△ABC中，角 cos∠BAC). A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinB+ (2)角形式：∠ADB十∠ADC=π→cos∠ADB十 cos B)=c. cos∠ADC=0, (1)求A; 在△ADB中有cOS∠ADB= DA?+DB2-AB2 (2)若c=√2，a=5,D为BC的中点，求 2DA·DB AD的长. 在△ADC中有OS∠ADC-DA+DC-AC 2DA·DC 听课记录 【跟踪训练1】在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别是a,b,c,且asin C=csin B,C= 044 2π (1)求B; 2若△AC面积为9求BC边上中袋 的长 反思感悟0 中线的结论 如图，在△ABC中，D是BC的中点. (1)向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧：2AD=AB+AC ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 考向2三角形的角平分线问题 在△ADB中有cOS∠ADB= DA?+DB2-AB2 2DA·DB 【例2】(2024·山东淄博一模)如图，在△ABC 中，∠BAC= 在△ADC中有coS∠ADC= DA?+DC2-AC2 ∠BAC的平分线交BC于 2DA·DC 点P,AP=2. 【跟踪训练2】 (2024·黑龙江哈尔滨二模)记 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知b=4, 26cos B =cos A+sin A tan C (1)若BC=8,求△ABC的面积； (1)求B; (2)若CP=4,求BP的长. (2)已知BD为∠ABC的平分线，且与AC 听课记录 交于点D,若BD-2求△ABC的周长 045 考向3三角形的高线问题 【例3】(2024·山东枣庄一模)在△ABC中，内 反思感悟0 角平分线的结论 角A,BC的对边分别为a,c,且2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, C sin Atan 2. (1)求C: D (2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高，且 AB AC.AB BD (1)内角平分线定理：BDDC或AC一DC, Ci=mCA+nCB,求m (2)等面积法：S△A=S△An十SaAx→2AB· 听课记录 1 ∠BAC,1 AC·sin∠BAC=2AB·AD·sin2 4C. AD·sin∠BAC 2 (3)角形式：∠ADB+∠ADC=π→cOs∠ADB十 cos∠ADC=0, 专题二 三角函数与平面向量一闭 (1)求角A: (2)设AM是△ABC的高，求AM的最 大值. 反思感悟Q 高线的结论 (1)高的性质：h1,h2,h3分别为△ABC边a,b, 1 1 sin B'sin C" (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高， 需要求出面积和底边长度。 【跟踪训练3】已知△ABC的内角A,B,C所对 学习至此，请完成课时作业18 的边分别为a,b,c,a=1,sinB+3 bcos A=0. 培优课7与平面向量有关的最值、范围问题 046 考情分析 1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以选择题、填空题的形式考查，难度中档. 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围 热点分类 考向探究 考向1向量模的最值、范围 马听课记录 【例1】(1)已知向量a,b,c满足|a|=|b|= 3 5,a…b=-2a-c,b-c)=30,则c 的最大值为 A.27 B.3+2√7 C.25 D.3+25 (2)(2024·河北沧州一模)如 A 反思感悟) 图，在等腰直角三角形ABC 向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐 中，斜边AB=4√2，点D在以 标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解。 BC为直径的圆上运动，则 如果直接求模不易，可以先将向量用基向量表示再 |AB+AD的最大值为() 求解.求模的范围或最值的常见方法：①通过α？ A.4√6B.8 C.63 D.12 a2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法. ☑一红图勾讲与练·高三二轮数学放号=sn号即am 2 1 2 1 -=sinA十 2 31 AD+cD 十1 2(mB+ms） sin A sin C sin C, 26sin(B+若） (2)由(1)以及题设可得 由△ABC为锐角三角形，得 Snecsin B 1 :∠AC-答A+C=吾 4a. 2 1 AD =sin A+sin C= 由正弦定理得 解得合<B<受，因 a=csin A csn(经-c sm(g-C)+nC=sin号oc sin C sin C cos子sinC+snC=sinl(c+F）, 此<B+< c(sin 2 3 cos C-cos 2 3sinc） ce(o）c+∈（任） 则<m(B+）1,于是3< sin C b+c≤2w6,32十6<a+b+c≤ 3√6， 3 1 m(c+晋)（停小 ,△ABC周长的取值范围是 sin C “+的取值粒围为（停】 2 (32+6,36]. ”△ABC为锐角三角形，0<A< 2 培优课6三角形的中线、 跟踪训练2解：(1)①由(a十b+c)(a十 0<C< 角平分线与高线问题 2 b-c)=ab可得a2+b2-c2=-ab, 由余弦定理知， 热点分类·考向探究 则0<2r -C<…6<C<, cos C=+b:-c ab 2ab 2ab 2 例1解：(l):a(sinB+cosB)=c,由正 则anc> 30<1 弦定理得sinA(sinB+cosB)= anc<,则 又C∈(0，π)，.C= 2π sin C, 3 在△ABC中，sinC=sin(A+B),则有 1 1 ②：S△ABe=S△CD十S△ACD,即 sin A(sin B+cos B)=sin(A+B), .'sin Asin B+sin Acos B=sin A. 即<a<2, cos B+cos Asin B, absin- 8 3 2×2a+2 X2bsin 6 .sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0， △ABC面积的取值范围为(3,3)】 x),.'.sin B>0, 827 ab=a+2b≥v2ab, .sinA=cosA,∴.tanA=1,又A∈ 例3解：(1)：a2= 2w3 S+abcos C, ÷ab≥32，当且仅当6=2a, (0,π)，A= 4 3 3 (2)根据余弦定理有a2=b2+c2 a2= 3 absin C+abcos C,即 ,b 2bccos A. 3 即a=4 3 83时取等号， 则有5=b2+2-2b,解得b=3或 3bsin C+bcos C. 8V5 4ab≥ b=-1(舍去)， ∴.S△AC 3 由正弦定理得， △ABC面积的量个值为 :D为BC的中点A矿=（店+ sin A=- 3sin Bsin C+sin BeosC, AC),如图， (2)①选条件i,由√3A言·AC=2S, 市=（应++2店· .'sin(B++C)=- sin Bsin C+sinB· 得，5 ccos A=2X2 esin A,整理得 cos C, =x(2+9+2×2×3× 3sin Bsin C, tanA=3,而0<A<元，A= ∴.cos Bsin C= 3 )An=四 2 C∈(0，π)， 选条件1，由asin B=bcos(A-石） .sinC≠0，.tanB=-W3,由0< 及正弦定理，得 B<得B=行 sin Asin B-sin Bcos(A), (2)由(1)知，B= 如图， B∈(0，π)， D C ∴sinB>0.则sinA=cos(A-F) 跟踪训练1解：(1)由asin C=csin B及 正弦定理得sin Asin C=sin Csin B, 3 C∈(0，π)， D 2cos A+ 2sinA,整理得tanA .sinC≠0，∴.sinA=sinB,.∴.A=B 'AB⊥BD, 或A十B=π（舍）， .∠ABD= 2∠DBC= ,面0<A<A=台 6· 又：C=2π 在△BCD中，由正弦定理得 ②由①知A=3,由正弦定理得 2 CD BD (2):B=T」 6,C 3A 6a=b, sin∠DBC sin C, √ sin B sin C sin A =2√2， 1 SAA-2absin C. 1 即CD= sin C sin C' 因此b+c=2√2sinB+2v2sinC 即3-，解得=6=5。 2 在R△ABD中，ADD-, 2vE[snB+sin(经+B)】- 由正弦定理AC C ☑一红团勾讲与练·高三二轮数学 -278- 得c=asmC-3 即2 sin Bcos B=sin Acos C+cosA· sin A sin C,2sin Bcos B=sin(A+C) 设BC边的中点为D,连接AD,如图， sin B, 由于0<B<π，sinB>0,所以cosB= 所以B=子 1 AH (2)因为S△ABe=S△ABD十S△D, 跟踪训练3解：(1)由sinB+√3 bcos A=0 所以7 ae sin∠ABC= 1 及AB BD·c :2AD=AB+AC,即(2AD)2 得sinA +√3 bcos A=0, (AB+AC)*, sin∠ABD+BD·a·Sin∠CBD, a 即4AD2=c2+b2+2 bc cos∠BAC- 因为BD为∠ABC的平分线， 又a=1,b≠0，所以sinA+√3cosA= 9+3+2×33×2,解得AD三21】 0,得tanA=-√3， 2 所以∠ABD=∠CBD=名∠AC 6 因为A∈(0，x,所以A=2 例2解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 所以。 1 BC2=AB2+AC2-2AB·AC· 2 (2)由余弦定理得a2=b2十c2 cos∠BAC, 1 22 1 2 bccos∠BAC,则1=b2+c2+bc≥ 即64=AB2+AC2十AC·AB①， 2bc+bc=3bc,得bc≤3，当且仅当 因为S△AC=S△ABP十S△ACP, 2W 所以AC；AB.3-2AB b=c时取等号， √3 则V3ac= (a+c), 3 2 X 2 2 2 22 所以Sa=·AM=在 3 2AC. 即ac= (a十c), 33 1 1 2 · 整理得AC·AB=2AC十2AB②， 由余弦定理得b2=a2十c2 2· 2 ac cos∠ABC,即16=a2+c2-ae, 联立①②解得AC·AB=2十2√65， 所以16=(a+c)2-3ac=(a+c) 解得AM≤停，故AM的最大值为 1 所以S△AC= 2 AC·AB· 2(a+o) 培优课7与平面向量有关的 sin∠BAC=5+VI95 最值、范围问题 -4W6 解得a十c=2W6或a十c= (舍)， 3 热点分类·考向探究 (2)因为AP=2,CP=4,∠CAP=3, 故△ABC的周长为2√6+4. 例1(1)D设OA=a,OB=b,OC=c, 所以在△APC中，由余弦定理可得 CP2=AP2+AC2-2AP·AC 3解：I)△ABC中，会=mAmS。 由题意a=b=5,a·b=-3 21 cos∠CAP, 由正弦定理和同角三角函数的商数 1 所以16=4+AC2-2AC,解得AC= 关系， 得cOs∠AOB=- 2’∠A0B=120, 1+√13， AP PC 得inA sin Asin 2 AB=3,(a-c,b-c)=30, ∴.∠ACB=30°，.C在以AB为弦的 由正弦定理得 ,由倍角公式得 sin C sin∠CAp1 2sin C C 圆D的ACB上运动，如图所示. 即、2 ,解得sinC= cos 2 ∠ADB=60°，r=3,OD=2√3，当，点C 4 sinA·sin2 是OD的延长线与圆D交点时，|c|最 sin A 大，为3+2√3.故选D. C C C 所以cosC=√1-sinC= W13 4sin 2 cos 2 cos 2 4 又因为A,C为△ABC的内角，所以 sinB=sin(∠BAC+C)= sin∠BACcos C+cos∠BACsin C A.ce0.号∈(o √39-√3 C 8 所以sinA≠0，cos2≠0. 在△ABC中，由正弦定理得 AC (2)D如图，以C为原点，BC所在直 sin B 线为x轴，建立平面直角坐标系。 sin/BAC,则十I3 BC BC 则有号吾得C=号 √39-3 8 2 (2)如图，a=8,b=5∠ACB=答， 解得BC=14+213 3 Ci.C3=Ci1·C1·cos∠ACB 所以BP=BC-CP= 14+2√13 abeos.∠ACB=5X8Xcos号=20， 3 4=2+213 所以C2=b2=25,CB=a2=64, 则A(0,4),B(4,0),可设D(2+2cos0, 由题意知CH⊥AB,所以Ci· 3 2sin0),则AB=(4,-4),AD=(2+ 跟踪训练2解：(1)由已知，得 AB=0, 2cos0,2sin0-4),所以AB+AD 2bcos B=ccos A+csin A 即(mCA+nCB)·(CB-CA)=(m (6+2cos0,2sin0-8),所以|AB+ tan C, n)(CB.CA)-mCA*+nCB?= AD12=(6+2cos0)2+(2sin0-8)2 由正弦定理，得 20(m-n)-25m+64n=0. 104+8(3cos0-4sin0).又因为3cos0 2sin Bcos B-sin Ceos A+sin Csin A tan C 所以5m=44n,所以m=44 51 4如0=5cos(0+9)≤5，其中ang名 -279- 参考答案一业