创新题2 三角函数与平面向量-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

当么=5+正财，（二）有最大值 后相加得(a·|b)2=4,即a·b= 跟踪训练2解：(1)f(x)=sin(cosx)的 3 2,又|a+b|=√/a2+2a·b+b2= 定义域为R, 7+86 (2)对于函数f(x)=sin(cosx), 此时cos0有最小值 /a2+b2+2≥2a·b+2= 3 f(-x)=sin[cos(-x)]= √6，当且仅当|a|=|b|=√2时等号成 sin(cosx)=f(x),所以f(x)是偶 1 √15一√3 8+8v6 ,由于0∈[0 立，故a十b的最小值为√6，故D错 函数. 8 误.故选AC. (3)f(x十2π)=sin[cos(x+2π)]= 3 跟踪训练12√3 sin(cos x)=f(x), π]，可知cos0最小时角0最大，所以b,C 解析：a⊕b=a·b·tan(a,b)=√3， y=cosx在区间[0，π]上递减，y= 最大夹角的余孩值为√⑤一3 sinx在区间[一1,1]上递增，所以 ·6由a+b1= √3 8 ∴.tana,b〉= f(x)=sin(cosx)在[0，x]上递减. 例42W3+4 y=cosx在区间[π，2π]上递增，y= 解析：由题意得B,C,D三点共线，且 √31a-b|=3可得 sinx在区间[一1,1]上递增，所以 a2+2a·b十b=3·两式相减得 f(x)=sin(cosx)在[π，2π]上递增 AD=xAB+yAC,所以x十y=1,且 1a2-2a·b+b2=1, 所以f(x)的最小正周期为2π， 0<x<1.0<y<1,所以1+3 2tan(a) f(x)在[2kx,2kx十x](k∈Z)上是严 y a·b= =23. 1 格减函数，在[2kπ十π，2kπ十2π](k∈ (但+)×1-(+)×+ Z)上是严格增函数. 例2解：(1)函数f(x)是2函数，函数 结合f(x)=sin(cosx)的单调性可 =兰++4≥22× 知，f(x)的值域为[一sin1,sin1]. g(x)不是2函数 x y 十4 对于f)=- 例3证明：(1)正项数列{an},{bn},满足 1 23+4,当且仅当x= 3-1 2 ,y 2 ,b+1=an十c 2 3一5时取等号 令m= 3,则[m]=0, 两式相减可得 2 跟踪训练41 则fm)=(日）=0. 解析：在△ABC中，由D为线段BC上 因为a1≠b1,所以a1一b1≠0，所以 f([m])=f(0)=0. 的动点，BD=BC,得0≤H≤1，则 所以存在m∈R,m任Z,使得f(m) (a,-b,}是以a1-b,为首项，-2为 AD=AB+BD=AB+BC=AB+ f([m]),所以函数f(x)是2函数. 公比的等比数列， (AC-AB)=(1-)AB+AC, 对于函数g(x)=sinπx,函数的最小 AF=AAD=(1-g)AB+igAC. 正周期为 =2, 261-两式相 由a+1=6.十e 2 A花-A花，于是A-(1-)xA店+ 不妨研究g(.x)在[0,2]这个周期的 加可得a,n+6=之a,+6,)+c 性质， 4AE,因为点B,F,E共线，因此 1 当0<m<1时，[m]=0,则g(m)= 1-)+=1,解得入=十3取令 sinmπ>0，g([m])=g(0)=0, 即a+1+b,1-2c=2(a,+b. 当1<m<2时，[m]=1,则g(m) 2c),因为a1+b1≠2c, 1+3=z∈[1,41，则x=1 sinmπ<0，g([m])=g(1)=0, 所以a1+b1-2c≠0，所以{an+bn 综上，g(m)≠g([m]), 2c)是以a1十b1-2c为首项，2为公 1 1,A十6p= +2(x-1)= 1 所以函数g(x)不是2函数. +2x 所以，函数f(x)是2函数，函数g(x) 比的等比数列. (2)①因为a1>b1,由(1)得{am-bm} 2,显然对勾函数y=】+2x在[1,4们 不是2函数 1 是等比数列，所以a。一b。≠0，即 (2)取a= ,f(x)为n函数，证明 an≠bm, 上举羽递增，则当：=1时.（十 如下： 由(1)知，an+1十b.+1一2c=2(am十 2x）=3,(入+6pr)m=1,所以当u 令m= -2,则[m]=-1, b.-2c), min 因为a1+b1=2c,所以a1+b1一2c= 0,入=1时，A十6以取得最小值1. 1 0,所以{am十b。-2c}为常数列0，故 创新题2三角函数与平面向量 又f(x)=x+2x am十bn=2c, 热点分类·考向探究 此时f()= 1 2 2x(←) 由cosC,=a+b2-2 2a,b 例1AC对于A,aXb=a·b1·sin(a b》=0,若a,b至少有一个为零向量 8(2])=-)=-1+ +好-() 则满足a∥b;若a,b均不为零向量， 2a,b 1 3 则sin(a,b》=0,即a,b同向或反向 2X(-1) 2 即a∥b,故A正确；对于B,入(aXb)= a+b-4a-4b-2a.b λa·b·sin(a,b),(aa)×b= 则()-([]) 2arba aa·b·sinλa,b),若入≥0，则 (aa)Xb=λa|·b|·sina,b〉，此 所以f(x)是2函数 子+ 1 b:-2ab, 时λ(aXb)=(Aa)Xb:若入<0， (3)T的最小值为1，理由如下： 因为f(x)是以T为最小正周期的周 2a ba (aa)×b=-入a·b|·sin(a,b〉， 1 此时入(aXb)≠(Aa)Xb,故B错误；对 期函数，所以∫(T)=∫(0). 2,因为an≠ 于C,若四边形ABCD为平行四边形，则 假设T<1,则[T]=0, 所以f([T])=f(0),矛盾； bn,所以等号不成立， 它的面积等于AB|·AD|·sim(AB, 所以必有T≥1， AD),即ABXAD,故C正确；对于D, 而函数I(x)=x一[x]的周期为1，且 故osC,>2,因为C.∈(0，)，所以 aXb=a·b|·sina,b)=3,a· 显然不是2函数， b=a·b|·cos(a,b)=1,两式平方 综上，T的最小值为1， C∈o）所以nC<, -281- 参考答案一业 由正弦定理得△A,B,C,外接圆的直 1 3i一4=1012，无整数解，若i=3,则 4d=1-4× c 2c 3,故a1=a- 3i一4=506，即i=170,若i=4,则 径2r= sinC。√33 (）子故选取 7 3i一4=253，无整数解，所以D正确」 2 故选ACD. 所以>后，所以S=r> 2.D设等差数列{an}的公差为d, 跟踪训练1(1)A依题意，a1+a2=1, 3 由S。=1,根据等差数列的前1项和公 a,十a+1=2-1,当n≥2时，a1十 ②由(1)可知 式，得S,=9u,+9X8。 2d=1台9a1+ an=2"-2,则amt1一ag-1=2”-2,所以 a224=a2十(a4-a2)+(a6-a1)+…十 a,-6.=a,-b)(）广 1 36d=1,所以a3十a7=a1十2d十a1十 (u2o24-a202)=1+2+23+25+…+ 2 由①可知，an十bn=2c, 6d=2a1+8d=g(9a1+36d)= 2@1=1+2×1-410)-2+1 1-4 3 解得a.=c+(-1) 故选D. 故选A. 2（-2) 3.C设等比数列{am}的公比为q,若 (2)AC由Sm-1=3am(n≥2)，当n= bn=c- g=1.则S6=6a1=3×2a1=3S2,与 题意不符，所以q≠1.由S,=一5，S6 2时，S1=a1=3a,=1,解得a2=3 215可得092--5①. 故A正确；当n≥1时，可得S,= 4 1-q 3am+1,所以Sm-Sm-1=3am+1-3an c-a-6()八， a1(1-g) =21×41-922@,南0 (n≥2)，所以a。=3am+1一3am(n≥2)， 1- 4 1 1一g 即an+1= anb.随着n的增大而增大 ②，可得1+q2十g=21,解得g=4, a,(n≥2)，而a2=3a1: a+b3-c2 所以s。=a1=g）-1-g2× 故C正确，B不正确；Sm-1=a1十a2十 又因为cosC。= 1 2a b 1-q 1一9 (1+q)=-5×(1+16)=-85.故 -()广 (a.+6)2-c2-2ab a3十…十aw1=1十 选C 4 2a,b 1- 4.95 3c2-2a,b 3c2 一1 解析：设等差数列{an}的公差为d,由 1≥2，故D不正确.故选AC 2anb。 2a b. 所以cosC。随着n的增大而减小，所 题意得a+2d+a,十3d=7, () 解得 l3(a1+d)+a1+4d=5, 例2(1)D由数列{am}为等差数列， 以{cos C}是递减数列， 因为C,∈(o,),所以sinC.是递 a2-4,则S0=10u1+10X9 故S4,Sg-S4,S12-S8,S16-S12, d=3, 2 S0一S16亦为等差数列，由S4=2, 10×(-4)+45×3=95. S8=12,则S8-S,=10,故S12-S8= 增数列，所以 c 18,S16-S12=26,S0-S16=34,即有 是递减数列， Isin C. 热点分类·考向探究… S12=18+S8=30,S6=26+S12= 所以数列{S}是递减数列， 例1(1)B由aw+1=S,可得Sw+1 56,S2%=34十S16=90.故选D. 跟踪训练3解：(1)证明：由已知条件可 (2)C因为{am}为等比数列，所以公 Sn=Sn→Sn+1=2Sm,S:=1≠0，故 知，由于c0san>0, {Sn}为公比为2的等比数列，故S。= 比q≠0，a=aza6,又a2十a4十a6 故a+∈(o,）, 2”-1,所以am+1=Sn=2”-1,故n≥2， 8,所以 11+ 1+1 2-2,n≥2，故 asas a2 as aa 1 sin a,+cos a a。=2-2,因此a.=1,n=1, a2十a6+ tan"a+1= 246 a cos'u cos a T。=a1a2a…an=1X2°×2X a 1十tan2aw,则tana+1-tan a=1, u2十a:十as_8 2=2=2 ”1-2 ,要使Tm>1000,则 =2,解得a4=土2， 故数列(tana}是以1为公差的等差 ai ai 《m-1(m-22 数列，且首项为tana,=an文= 1 2 >1000,当n=6时， 又a2+a,十a6=ae(1+g2十g)=8> 6 3 n-1)(m22 0,而1十g2十q>0恒成立，所以a2> 2 =20>1000,当n=5时， 13n-2 0,则a4=aq2>0,故a4=2.故选C. 故tan'a=n-1+ -1)(m-22 (3)BD因为S<S。,S=S,>S8, 3 3 =2<1000,且n≥5时，在 所以a8=S6-S5>0,a7=S,一S6= -1m-22 即tan a= 3n-2 y=2 中y随着正整数n的增 0,u8=Sg-S?<0,故B正确；d= 大而增大，故n的最小值为6，故选B. a,一a6<0,故A错误；可知数列{an} (2)sina1·sina2·…·Sin d= (2)ACD由第1列数a1,a2,a5, 为递减数列，可得a1>a2>…>a,= tan a cos a tan a2 cos aztan a a1o,…成等差数列，设公差为d,又由 0>ag>…,可得a6十a7十ag十ag= tan di. tan az 2(a7十a8)=2ag<0,所以S。=S5+ cos a 。0 a2=2,a10=8,可得a1十d=2,a1+ tan az tan aa 3d=8,解得a1=一1，d=3,则第1列 a6十a7十a8十ag<Ss,故C错误；因为 tan am tan ai 1 的通项公式为4。=一1十(k一1)×3= 6为最后一个正数项，根据加法的性 tan am+1 tan am+ √3m+1,由 3k一4，又从第2行开始每一行比上 质可知，S6为S,的最大值，又因 行多两项，且从左到右均构成以2为公 为S。=S,,所以S。与S,均为S,的 1 √3m+1-100,得m=3333 比的等比数列，可得a2十a3+…十 最大值，故D正确.故选BD. 4g=2+4+8+5+10+20+40+80= 跟踪训练2(1)C数列{am}为等比数 专题三 数列 169,所以A正确，B错误；又因为每 列，设公比为q,由a1=1,ag=16,得 行的最后一个数分别为u1,a,ag, 09=g3=16,则q=4,则b,=a5= 微专题12等差数列与等比数列 a16…,且452=2025，可得a224是 a22s的前一个数，且a2025在第45行， a1g=4,则S,=b,十b)X9 =9b5 真题演练·体验高考 因为这一行共有2×45一1=89（个） 2 数，所以a224位于第45行第88列，所 36.故选C. 1.B设等差数列{a。}的公差为d, 以C正确；由题设可知第i行第j个数 (2)D由0<ag<1<ag可知公比q= 由S10-S5=a6十a7十ag十ag十a10= 的大小为(3i-4)×2-1,令(3i-4)× 5u8=0,得ag=0,则d=a8a5= 2-1=2024=253×23,若j=1,则 @∈(0,1)，所以A错误；由“s 3 3i一4=2024，即i=676,若j=2,则 a1q>1,且q∈(0,1)可得a1>1,所以 一红因勾讲与练·高三二轮数学 -282-(2)已知向量a=(1,3),b=(1,0),a 反思感悟0 c=2,则向量b,e最大夹角的余弦值为 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共 线向量定理及推论进行转化，列不等式或等式得到 关于系数的关系式，从而求出系数的取值范围. 考向4向量系数的最值、范围 【跟踪训练4】如图，在△ABC中，A正-AC. 【例4】在△ABC中，点D是边BC上（不包含 端点)的动点，若实数x,y满足AD= D为线段BC上的动点，AD与BE相交于 点F,设AF=λAD,BD=BC,则入+64的 A店+AC,则上+3的最小值为 y 最小值为 听课记录 学习至此，请完成课时作业19 练 创新题2三角函数与平面向量 048 1.对于三角函数新定义问题，主要把握住 (1)对新定义进行信息提取，明确新定义的 三角函数与其他知识点之间的转换关系即可， 名称和符号. 熟记三角恒等变换的有关公式，将求取值范围 (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求 转换为函数问题. 解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点 2.求解向量新定义问题，注意： 和相似点. 热点分类 考向探究 考向1平面向量的新定义问题 听课记录 【例1】（多选)定义：a,b两个向量的叉乘aX b=a·b|·sin(a,b),则以下说法正确 的是 ( A.若a×b=0,则ab B.入(aXb)=(λa)Xb 反思感悟0 C.若四边形ABCD为平行四边形，则它的 与向量运算有关的创新问题是按照一定的数学 面积等于ABXAD 规则和要求给出新的向量运算规则，并按照此向量 D.若a×b=3,a·b=1,则a+b|的最小 运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算 值为√7 等，从而达到解决问题的目的. ☑一红团勾讲与练·高三二轮数学 【跟踪训练1】对于非零向量a,b,定义a⊕b= 【跟踪训练2】定义函数f(x)=cos(sinx)为 a·b·tan〈a,b).若a⊕b=|a+b| “正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该 √3a-b=3,则tan(a,b〉= 函数的一些性质，容易证明2π为该函数的周 考向2三角函数的新定义问题 期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究： 【例2】已知x为实数，用[x]表示不超过x的 f(+)=cos[sin(+)]=cos(-sin x)= 最大整数，例如[1.2]=1，[一1.2]=一2， cos(sinx)=f(x).可得π也为函数 [1]=1.对于函数f(x),若存在m∈R且 f(x)=cos(sinx)的周期.但是否为该函数 n任Z,使得f(m)=f([m]),则称函数 的最小正周期呢？我们可以分区间研究 f(x)是2函数. f(x)=cos(sinx)的单调性：函数f(x) (1)判断函数f(x)=x2- 3,g(x)= c0s(sinr)在0，是严格减函数，在（分网 sinπx是否是2函数； 上严格增函数，再结合f(x十π)=f(x),可 (2)已知f(x)=x+a,请写出a的一个值， 以确定f(x)=cos(sinx)的最小正周期为 2 π，进一步我们可以求出该函数的值域了.定 使得f(x)为2函数，并给出证明： (3)设函数f(x)是定义在R上的周期函数， 义函数f(x)=sin(cosx)为“余正弦”函数， 其最小正周期为T.若f(x)不是2函数，求 根据阅读材料的内容，解决下列问题： T的最小值 (1)求“余正弦”函数的定义域； 马听课记录 (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明 049 理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周 期，说明理由，并求其值域. 反思感悟Q 关于新定义题的思路 (1)找出新定义有几个要素，找出各要素分别代 表的含义 (2)由已知条件，看所求的是什么问题，进行分 析，转换成数学语言. (3)将已知条件代入新定义的要素中. (4)结合数学知识进行解答. 专题二 三角函数与平面向量一讲 考向3三角函数与数列的交汇问题 反思感悟0 本题(2)第①问的关键点在于由(1)可得{an+ 【例3】 (2024·湖北咸宁二模)已知正项数列 b。一2c}为常数列0，故am十bn=2c,再由余弦定理 {an},{bn},满足am+1= bm十c am十c 2,b+1= 2 结合基本不等式即可证明cos C.> 2,即sinC,< (其中c>0). 3 (1)若a1≠b1,且a1十b1≠2c,求证：数列 ,再由正弦定理可证得，> 即可证明S> 3 {am一bn}和{am十bn一2c}均为等比数列； (2)若a1>b1,a1十b1=2c,以am,bn,c为三 【跟踪训练3】 数列{an}满足a,= 6’am∈ 角形三边长构造序列△A,B.C(其中 1 -(n∈N*). A,B=c,B.Cn=a,A,Cn=b), cos an △ABCn外接圆的面积为Sn,求证：①Sm> (1)求证：数列{tan'a,}为等差数列，并求数 列{tan an}的通项公式； 哥：@数列{5)是递就数列。 (2)求正整数m,使得sina1·sina2·…· 听课记录 sin a-100 050 学习至此，请完成课时作业20 练 ☑一红对闪讲与练·高三二轮数学