微专题11 平面向量-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

马听课记录 45 A.2-1 B.3-1 c.52-5 D.53-5 4 4 (2)如图，位于某海域 北 B A处的甲船获悉，在 反思感悟Q 其北偏东60°方向C 解三角形应用问题的要点 处有一艘渔船遇险后 (1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高 抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位 度等条件，作为某个三角形的元素. 于甲船北偏东15°，且与甲船相距2 n mile (2)利用正、余弦定理解三角形，得到实际问题 的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东 的解， 方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航 【跟踪训练3】(1)某校学生参加课外实践活动 行的距离为 ( “测量一土坡的倾斜程度”，如图，在坡脚A A.√2 n mile B.2 n mile 处测得∠PAC=15°，沿土坡向坡顶前进 C.2√2 n mile D.3√2 n mile 25m后到达D处，测得∠PDC=45°.已知 旗杆CP=10m,PB LAB,土坡对于地平面 039 的坡角为0，则c0s0= () 学习至此，请完成课时作业15 微专题11 平面向量 考情分析 1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档， 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档. 真题演练 体验高考 1.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边 3.(2023·全国甲卷文)已知向量=(3,1)，b= AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则 (2,2),则cos(a十b,a-b〉= () CB= ) 1 A.3m-2n B.-2m+3n A. R何 C.3m+2n D.2m+3n 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 c 鳄 a=1,a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足a |b= () b|=3,|a+b|=|2a-b,则|b|= A司 号 D.1 专题二三角函数与平面向量一讲6 热点分类 考向探究 考向1平面向量的线性运算 A.CD-1CA+3CB 4 核心提炼 1.平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加 B.ci-Ci+c店 法抓住“共起点”或“首尾相连”：对平面向量减法 抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”， ccm-c+号c 再观察图形对向量进行等价转化. 2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当 D.CD-CA+3CB 作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并 (2)如图，在梯形ABCD D 同类项的运算，在计算时可以进行类比. 中，DC=2AB,P为线段 【例1】(1)在△ABC中，M是AB的中点，点 CD上-点且DP-号Pe, N分AC的比为AN:NC=1:2,BN与 CM相交于E,设AB=a,AC=b,则向量 E为BC的中点，若EP=AAB十4AD(入， AE- :∈R),则入十4的值为 1 1 N.3 C.0 D.2 ca+b D.ga+go 3 考向2平面向量的数量积 核心提炼 040 (2)在平行四边形ABCD中，BE=2ED, 1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐 AF=AC+2AB,若EF=入AB+μAD(入， 标运算和数量积的几何意义. a∈R),则A 2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解 成题中已知的向量模和夹角进行计算 A.1 B.2 C.4 D.8 【例2】(1)（多选）(2024·山东聊城二模)已知 听课记录 向量a=(-1,2),b=(1,入)，若b在a上的 投影向量为a,则 () A.入=3 B.a//b C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45 (2)(2024·湖南长沙一模)在平面四边形 反思感悟Q ABCD中，E,F分别为AD,BC的中点.若 向量线性运算问题的求解方法 AB=2,CD=3,且EF·AB=4,则|EF|= (1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量 () 转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四 边形法则、三角形法则求解. A.17 B② 2 C.42 2 D.5 2 (2)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向 (3)(2024·山东济宁一模)已知O为坐标原 量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲 点，直线l:x=my十3与圆C:x2+y2 目转化. 6.x+8=0相交于A,B两点，则OA·OB= 【跟踪训练1】（1)(2024·云南昆明一模)在 () △ABC中，点D满足AD=4DB,则( A.4 B.6 C.8 D.10 V一红因勾讲与练·高三二轮数学 马听课记录 多听课记录 反思感悟Q 1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围 是[0，π] 2.利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的 基底，常用已知的向量作基底，所给的图形易于建系 反思感悟) 时，转化为坐标运算往往更简捷. 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识 【跟踪训练2】(1)(2024·陕西商洛三模)已知 将条件“脱去外衣”，转化为三角函数中的“数量关 非零向量a,b,c满足a⊥(b十c),|b| 系”，再利用三角函数的相关知识进行求解， √3c|,(a,b》=60°，则(a,c〉= 【跟踪训练3】如图，扇形OAB所在圆的半径 A.45°B.60° C.120°D.150° 为3，它所对的圆心角为点M满足 (2)(多选)已知向量a,b满足|a十2b| |a,a·b+a2=0且|a=2,则 Oi=)M,点N满足ON=O,P是弧 A.b1=2 B.a+b-0 041 AB上的一点. C.a-2b|=6 D.a·b=4 (1)若P是弧AB的中点，求OP与MN夹 (3)在△ABC中，角A为写，角A的平分线 角的余弦值； (2)求PM·PN的最小值. 交BC于点D,已知AD=2√5，且λAB= AD-}ACa∈).则A丽，AD=( A.1 C.9 D.3 考向3平面向量的综合应用 核心提炼 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分 支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较 多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可 以与三角函数进行交汇 【例3】已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C 所对的边，向量m=(sinC+sinB,sinB sinA),n=(c-b,a),且m⊥n. (1)求C; (2)若a=2,△ABC的面积为23，且AB 学习至此，请完成课时作业16 3DB,求线段CD的长. 专题二 三角函数与平面向量饼 培优课5三角函数中的最值、范围问题 考情分析 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质（如有界性、单 调性)、基本不等式、数形结合等】 热点分类 考向探究 考向1三角函数式的最值、范围 (2)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=b·cosC, 【例】 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 求函数f(A)的取值范围. 别为a,b,c,已知b2=c(a+c). D若B-T求后的值： a (2)若△ABC是锐角三角形，求W3sinB+ 2cosC的取值范围. 马听课记录 042 考向2解三角形中的最值、范围 角度1三角形面积的最值、范围 【例2】(2024·四川德阳二模)△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB= 反思感悟0 2/3cos2A+C 2 求解三角函数式的最值、范围问题的注意点 (1)求B; (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式. (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求 (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx十9 △ABC面积的取值范围. 的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式 听课记录 的范围， 【跟踪训练1】已知函数f(x)= -sinw.x十 2sin2wx(w>0)的最小正周期为4元. (1)求ω的值，并写出f(x)的对称轴方程； ☑一红闪讲与练·高三二轮数学AM=18,∠CBA=∠CAB=0, a+2b=2,所以1+4a·b+4b2= (2)B 由题意得EP=E式+C币= ∠MAB=号，在△ABC中，BC 、1+6b2=4从而b=).故选B. 成+号=A-A) AC2+AB2-2AC·ABcos0,即182 3.B由题意知a+b=(5,3),a-b= 182+142-2×18×14cos0,解得 (1,-1),所以c0sa十b,a-b) 7 c0s2=,所以cos8=2cos22一1= (a+b),(a-b)_5X1+3×(-1D a+b a-bl 又0为锐角，解得m号-名（负 7 √34X2 2)-子A市-破又因 V17 为成=蓝十市，所以=一 值舍去)，在△ABM中，BM=AM 17.故选B. =所以=-+ 1 4.√3 AB-2AM·ABcos2=18+14 解析：由a-b=√3，得a-2a·b十 2X18X14×号-10，所以BM=10. b2=3,即2a·b=a2十b2-3①.由 3,故选B a+b=12a-b,得a十2a·b十 例2(1)ACD对于A,因为b在a上的 即B炮台与弹着点M的距离为10千 b2=4a2-4a·b十b2,整理得3a2- 米.故选D. 6a·b=0,结合①，得3a2-3(a十 投影向量为a,即b,a aTa=a,所以 b2一3)=0，整理得b2=3,所以 a=1,即二1+2 a· (5)2 =1,解得入=3， b=5. 故A正确；对于B,a=(-1,2),b= 热点分类·考向探究 (1,3),所以（一1）×3一2×1≠0，故B 例1(1)C如图， 错误；对于C,a·(b-a)=(-1,2)· (2,1)=-2十2=0，所以a⊥(b-a), (2)D在△BCD中，∠BCD=30° 故C正确；对于D,cos〈a,b〉= ∠BDC=45°，则∠DBC=180° a·b-1+6√2 ∠BCD-∠BDC=105°，sin105°= ab5×v后=？，所以a与b sin(60°+45°)=sin60°·cos45°十 的夹角为45°，故D正确.故选ACD. c0os60°sin45°= 6+√2 ,由正弦定理 (2)B连接EB,EC,如图，可知E京= 4 由题意B,E,N三点共线，所以存在 BC 20 是（成+武）=合（威+）十 sin∠DBC sin.∠BD元，即s 得 CD 入∈R,使得AE=λAB+(1-A)AN sin 105 B λA店+AA元，同理C,E,M三点共 sin4行，所以BC=205-20,在直角 3 (市+D心]=2店+d. △ABC中，∠ACB=60°，则AB 线，所以存在u∈R,使得AE=uAC+ BCtan.∠ACB=(20W3-20)X√5= 1-A应=A元+1A店，由平面 2 (60-20√3)（米）.故选D. 跟踪训练3(1)D在△ADP中，由正弦 A=1 向量基本定理可得 2 定理可得AP=ADsin135 解得 =25√2，在 1-λ sin 30 = 3, 则成，A方=之(A方+A店.DC) Rt△ABP中，易知AB=25√2cos(0H 2 入= 4,即2+}访心=4，可得应、 15°)，PB=25√2sin(0+15°)，则tan0= 所以A正= 1 b.故 1 4万，即sin日25√2sin(8+15)-10 u=5 D心=4所以：==子(A十 cos 25√2c0s(0+15°) 选C. 心)：-}(A+2A·成+ 整理可得cos0=5V 2sin15=5v2 (2)D AF-AC+2AB=AB+AD+ 2 2AB=3AB+AD,AE=AB+BE 6-E_55-5.故选D. 成)=华所以成=医故 AB+2ED=AB+2(AD-AE), 选B. 4 4 (3)C圆C:x2+y2-6x+8=0,即 (2)B由题意知，AB=√2， 症-号花+成成-证 (x-3)2十y2=1,圆心为C(3,0),半 ∠BAC=45°，∠BCA=30°，由正弦定 A店=3防+A市-号A方-号成 径r=1,直线l:x=my十3，令y=0, AB BC 理得， sin/BAC,所以 则x=3,即直线l恒过点C(3,0),即 sin∠BCA 直线（恒过圆心，又直线！与圆C相交 BC= ABsin∠BAC√2sin45 号+号矿.：亦=+ 于A,B两点，所以CA=一CB,所以 sin∠BCA sin30° =2.故 l=- 8 1 乙船前往营救遇险渔船时需要航行的 3=3 =8.故选D. OA·OB=(OC+CA)·(OC+ C第)=(OC+CA)·(O元-CA)= 距离为2 n mile.故选B. 跟踪训练1(1)C如图， OC2-CA2=32-12=8.故选C. 微专题11平面向量 跟踪训练2(1)Da⊥（b十c),.a· (b+c)=a·b+a·c=0..ab· 真题演练·体验高考 ------ cosa,b〉十a|ccos(a,c〉=0，又 R 1.B因为BD=2DA,所以AB=3AD b=5c,(a,b)=60°，.5a· 所以C第=CA+AB=CA+3AD -忒+A市-Ci+号店-i+ c×2+a1 e lco)=0,由a, CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD= b,c均为非零向量，得c0s〈a,c〉= -2m十3n.故选B. 号(A花+C)=Ci+专(-C+ 2.B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)· 2,且(a,c)∈[0，π]，故(a,c)= b=0,即b2=2a·b,又因为a=1, C)=C+C.故选C 150°.故选D. ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 -276- (2)ABC因为|a+2b|=|a|,所以 sin C,sin(B-C)=sin C, |a+2b2=a12,即a2+4a·b 跟踪训练3解：(1)因为O成=子。 因为A,B,C∈(0，π)， 4b2=a2,整理可得a·b十b2=0,又 a·b十a2=0,且a=2,可得a2 O成-号O,扇形0AB所在圆的半径 所以B-C∈(-π，π)， 则B一C=C或B一C十C=π，即B b2=4,所以b=2,a·b=-4,A正 为3， 2C或B=π（舍）， a·b 所以W3sinB十2cos'C=V3sin2C+ 确，D错误c0sa,b>=ab=-1, 所以OM=1,ON1=2, MN:=(ON-OM)2=ON:-20N. 即向量a,b的夹角(a,b)=π，故向量 ecos2C+1=2sn(2c+日）+1， a,b共线且方向相反，所以a十b=0, OM+OM=22-2X2 X1X cos 2r十 A=π-(B+C)=π-3C, B正确；a-2b=√/(a-2b)2= 1=7, 因为△ABC是锐角三角形，所以 √/a2-4a·b+4b2=W4+16+16=6 所以M示=√7，又P是弧AB的中 0Kx-3c<受 C正确.故选ABC 点，所以∠BOP=∠AOP= 3 解得刀<C<π (3)C 由XA=A市-号A花可得 0<2c< 6 O币.Mi=O求.ON-OM)=O币. A市-访+号花，因为B,C,D三点 ON-O.0Mi=3×2×cos3 共线，所以入十号=1，即1= ,所以 3 1Xm号- <0+<管 A市-号应+记，以A为原点，以 所以cos〈Op,MN)= O市.Md 故m(2c+晋)e(停，小， O1M示 AB所在直线为x轴建立平面直角坐 2sim(2C+)+1e(5+1,3, 标系如图所示， 2 故5sinB+2cosC的取值范围是 3X√714 (W5+1,3) (2)设∠AOP=8,则∠BOP= 2π 1 3 跟踪训练1解：(1)f(x)= -sin w 2 9e,]) 岭 2 sin 2wr= 1 PM·Pi=(OM-Op)·(Od 2十2sin2ar-sin'ar= OP)=OM.ON+O币2-OM.Op 2sin 2uu-1-cos 2mx 15 因为AD=2√5，∠DAB= 6,所以 2 2 O币.ON=1X2Xcos +32-1× D3n5.由∠CAB=号可设B(m 3 sin 2 2cos2ar=sm(2ar+8）. 0).C(n.3n),AD=(3,3).AB 3Xecs5-0）-3x2Xcos0= T= 2π =4π，ω= 1 2w 4 (m,0),AC=(n,√3n),由AD= 8-6cos 8-3(2cos0+2sin /1 2 1 3=3m+3, 故fx)=sn(2+君) 3 令1，+π三π十kπ，k∈乙，解得x 62 3n, 8-35sina+晋）片 得数B80店=(3,0，所 2红+2kπ，k∈Z. 因为0∈ ,所以日十 以AB·AD=3X3+0=9.故选C. 故对称轴方程为x= 3 +2kπ，k∈Z. 例3解：(1)因为m⊥n,所以(sinC+ [后所以当9叶-即9日 (2)由(2a-c)cosB=b·cosC及正 sin B)(c-b)+(sin B-sin A)a=0. 弦定理得(2sinA一sinC)cosB= 由正弦定理得(c十b)(c一b)十(b 时，PM.PV的最小值为8-3√5. sin Bcos C, a)·a=0,即a2十b2-c2=ab, 培优课5三角函数中的 .'2sin Acos B=sin Bcos C-cos B. 由余弦定理得 sin C=sin(B+C)=sin A. cos C=atb-c1 最值、范围问题 A∈(0，π) 2ab 2 热点分类·考向探究 .sinA≠0，.cosB= 2,又：B∈ 因为0<C<π，所以C= 3· 例1解：I)在△ABC中，B=子，由余 0,xB=号 (2)Sam-2a6sinC=子×2Xb× 1 弦定理可得b2=a2十c2-2 ac cos B= 3 =25,解得=4 a2+c2-√2ac,又b2=c(a+c),故 =血（停+）0<A< a2-2ac=ac,由于a>0,故a= 因为AB=3DB,所以D为AB上靠近 W2+1Dc,得=巨-1. 点B的三等分点，则市=号+ (2)在△ABC中，由余弦定理可得 <sm(合+)<1 b2=a2十c2-2acc0sB, 又b2=c(a十c),故a2-2 accos B= “fA)的取值范围是(？1小： ac,又a>0,故a-2cc0sB=c, 例2解：(1).△ABC中，sinB= 所以CD1?= 9 ×16+9×4+2> 由正弦定理 sin A sin C' 2V3cos:A+C BB 2,即2sin2cos乞 ×号21×日-5所以 可得sinA-2 sin Ccos B=sinC, sinLπ-(B十C)]-2 sin Ccos B= 25os≥B-25in5,又0<B< 2 CD=43 sin C, 3 sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Ccos B= 2>0, -277 参考答案一具