微专题10 解三角形-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

马听课记录 f(,)的图象向右平移个单位长度，所得图 象关于y轴对称，则ω的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.5 (2)(多选)(2024·湖南邵阳二模)已知函数 f(x)=sin3x+3cos3x+√2，则下列结论 正确的有 () 反思感悟) 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)= A于e)的最小周别为号 Asin(awx十p)十h的形式，然后结合正弦函数y sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种 Bfx)的图象关于点（吾0对称 是根据y=sinx的性质求出f(x)的性质，然后判 C.f(x)的图象关于直线x= 断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=wx十9 对称 的值或范围，然后由y=sint的性质判断各选项. D.f(x)在区间 元7 618 上单调递减 【跟踪训练3】(1)(2024·陕西西安一模)记函 数fu)=sim(ar+p知>0，-<p<》 学习至此，请完成课时作业14 将 练 的最小正周期为T,且f(T)= 036 微专题10 解三角形 考情分析 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算， 真题演练 体验高考 1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,6c,若B=行，6-9。 则sinA+sinC= 2图 3√13 D 13 2.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ √3cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,2 bsin C=csin2B,求△ABC的 周长 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 热点分类 考向探究 考向1利用正、余弦定理求边、角 反思感悟0 利用正、余弦定理解三角形时，若涉及边与角的 核心提炼 三角函数的积，常用正弦定理将边化为角；若涉及边 1.正弦定理：在△ABC中，sinA a b sin B sin C 的平方，一般用余弦定理；若涉及边a,b,c的齐次 2R(R为△ABC的外接圆半径). 式，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公 变形：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 式进行变形. smA=0mB-杂mC=须4bc C 【跟踪训练1】如图，在△ABC中，记边BC, sinA:sinB:sinC等. AC,AB分别为a,b,c,AB=6,AC=2√5， 2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2-2 bc cos A, BC=2√6，点D在边BC上，且∠ADC=60°. b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+62-2abcos C. (I)求sinB的值； 推论：0osA=2+c2-a2 (2)求线段AD的长. 2bc 2,cosB=c2十a2-62 2ca cos C=at62-c2 2ab 变形：b2+c2-a2=2 bccos A,c2+a2-b2= 2ca cos B,a2+62-c2=2abcos C. 【例1】(2024·天津和平区一模)在△ABC中， 037 内角A,B,C所对的边分别a,b,c,其中a b+2,c=√2b,且sinA=√2sinC. (1)求c的值； (2)求tanA的值； (3)求cos2A+)的值. 听课记录 考向2与三角形面积有关的问题 核心提炼 三角形的面积公式 1 (1)S=2absin C= 2 acsin B= 2bcsin A. 1 (2)S=2ah.=2bh。=2ch. 【例2】(2024·河南新乡二模)已知△ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, cos C cos A 4b-a (1)求sinC的值； 专题二 三角函数与平面向量一闭 (2)若△ABC的面积为 2,且a+6 26 考向3解三角形的应用举例 3 C 核心提炼 求△ABC的周长， 解三角形实际问题的步骤 听课记录 分析一理解题意，分析已知与未知，画出示意图 根据已知条件与求解目标，把已知量与 建模 求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解三角形的模型 利用正、余弦定理解三角形，求得数学 求解 模型的解 检验上述所求出的解是否具有实际意 检验 义，从而得出实际问题的解 【例3】(1)(2024·山东临沂一模)在同一平面 上有相距14千米的A,B两座炮台，A在B 的正东方向.某次演习时，A向北偏西-日 方向发射炮弹，B则向北偏东子-日方向发 反思感悟) 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转 射炮弹，其中日为锐角，观测回报两炮弹皆 命中离各自18千米的同一目标，接着A改 038 化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想 在解题中的应用， 向向北偏西5-号方向发射炮弹，弹者点为 2-3 【跟踪训练2】 (2024·陕西商洛三模)在 18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 距离为 () b,c,且满足Ba A.7千米 B.8千米 2cos24 sin C. C.9千米 D.10千米 2 (2)塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形 (1)求A; 式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某 (2)若a=5,c-6=5- 3,求△ABC的 塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平 2 面内的两个测量基点C与D,现测得 面积. ∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=20米，在 点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高 度为 () 60°--B c0°452D A.(30+105)米 B.(105+10)米 C.(203-20)米 D.(60-203)米 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 马听课记录 45o A.√2-1 B.5-1 C.52-5 D.53-5 4 4 (2)如图，位于某海域 北 A处的甲船获悉，在 反思感悟0 其北偏东60°方向C 90. 解三角形应用问题的要点 处有一艘渔船遇险后 A (1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高 抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位 度等条件，作为某个三角形的元素. 于甲船北偏东15°，且与甲船相距，√2 n mile (2)利用正、余弦定理解三角形，得到实际问题 的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东 的解 方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航 【跟踪训练3】(1)某校学生参加课外实践活动 行的距离为 ( ) “测量一土坡的倾斜程度”，如图，在坡脚A A.√2 n mile B.2 n mile 处测得∠PAC=15°，沿土坡向坡顶前进 C.2√2 n mile D.3√2 n mile 25m后到达D处，测得∠PDC=45°.已知 旗杆CP=10m,PB⊥AB,土坡对于地平面 039 的坡角为0，则cos0= ( 学习至此，请完成课时作业15 练 微专题11 平面向量 考情分析 1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档， 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档. 真题演练 体验高考 1.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边 3.(2023·全国甲卷文)已知向量a=(3,1),b= AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则 (2,2),则cos(a+b,a-b〉= () CB= ) 1 A.3m-2n B.-2m+3n A.1 罗 C.3m+2n D.2m+3n 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 C. 5 D.25 |a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a一 b= () b=3,|a+b|=12a-b|,则|b|= A号 2 c D.1 专题二 三角函数与平面向量一闭对于B,f(）=2sin（-号十 方法四利用向量的数量积公式求解 AB a=(13),b=(sin A,cos A), sin∠ADB可得， ）十巨=区，故B错误：对于C, 由题意，得a·b=sinA十√3cosA=2, 根据向量的数量积公式，得 ABsin B 6+③ 3 AD- =4. f(赁)=2（倍+）+巨=2+E. a·b=|a||bcos(a,b〉=2cos(a,b〉， sin∠ADB 3 则2cos(a,b〉=2台cos(a,b)=1, 2 为函数最大值，故C正确；对于D,x∈ 此时(a,b)=0,即a,b同向共线， [语阅则+晋[ ,故 根据向量共线条件， 例2解：(1)因为c0sC=cosA 所以由 4b-a f)在区间[吾，阅上单润道减，故 1·cosA=5·sinA台anA= cos A 3· 正弦定理得osC sin C 4sin B-sin A' 所以4 sin Bcos C-sin Acos C= D正确.故选ACD. 又A∈0，m).放A=吾 cos Asin C, 微专题10 解三角形 (2)由题设条件和正弦定理得 4sin Bcos C sin Acos C+ √2 bsin C=csin2B台√2 sin Bsin C= cos Asin C=sin(A+C)=sin B, 真题演练·体验高考 2sin Csin Bcos B, 由B∈(0，π)得sinB>0,所以4cosC= 又B,C∈(0，x),则sin Bsin C≠0，进 1.C为B=6= 4ac,所以由正 1,即cosC= 而cosB=2 4 ,得到B= 4 4 W/15 弦定理得sin Asin C= -9 sin B-3 所以sinC=√1-cosC= 于是C=一A-B- 4 由余弦定理可得b2=a2十c2一ac (2)由(1)知sinC= sin C=sin(-A-B)=sin(A+B)= 4, 4ac,即a2+c2= 4ac,根据正弦定理 13 sin Acos B+sin BcosA 4 因为△ABC的面积为 2 sin'A+sin'C-sin A sin C2. b 所以(sinA+sinC)2=sinA十 由正弦定理可得，snA=imB 所以2 bin C= √15 2 7 sinC,即 2 b sinC+2 sin Asin C-=年，因为A,C为 7π 即bx压- -,解得ab=4, 4 2 三角形内角，则sinA十sinC>0,则 2N6 sin A+sin C 解得b=2√2，c=√6+√2， 又a十b= 故选C 3c, 2 故△ABC的周长为2+√6+3√2， 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abeos C= 2.解：(1)方法一 常规方法（辅助角公式） 热点分类·考向探究 由sinA十W3cosA=2可得2sinA十 （a+b)2-2ab-2ah× 4 =(a+b)2 例1解：(1)，sinA=√2sinC, 5 2612 1a=b十2， 3c -10 √3 osA=1.即sn(A+）=1. a=4, ∴a=√2c,∴.c=2b,解得b=2, 整理得c2=6,解得c=√6，所以a十 由A∈0x)得A+音∈（管，智），故 a=2c, c=2w2, .c=2V2 -2×5-4 A+-，即A= (2)由(1)及余弦定理可得cosA= 所以△ABC的周长为Q+b十c= 3 b+c2-a2= 2 4+6. 方法二常规方法（同角三角函数的 ,又0A<π， 2bc 4 跟踪训练2解：(1)在△ABC中， 基本关系) √3a C 由sinA+W3cosA=2,sin2A十 .'sin A=v1-cosA= V14 4 sinC,由正弦定理得 cos2A=1,消去sinA得到 4c0s2A-4V3c0sA+3=0台 tan A=sin A 2cos?A 2 =一7」 cos A 3 sin A sin C (20sA-5)2=0,解得cosA= 3 =1, 1+cos A sin C 2 (3):c0s2A=2c0s2A-1= 4 即√3sinA=1+cosA,即√3sinA 又A∈0，，故A=云 7 sin 2A=2sin Acos A=- 4 ewA=1.即n(A-名）=之 方法三利用极值点求解 设f(.x)=sinx+V3cosx(0<x<π)， ∴cos(2A+）=cos2Acos开 因为A∈(0，元)，所以A-答∈ 则f)=2sin(e+晋)0<<. sin 2Asin4 √14-3W2 8 (石）所以A-=，即 显然x=晋时，f(x)=2注意到 跟踪训练1解：(1)根据题意得 f (A)=sin A+3 cos A=2= cos B=+c2-b2 (2)在△ABC中，Q=3,c-b= 2sim(A+）, (2W6)+6-(25)2√6 2X2/6X6 3 55A= 2 f(x)x=f(A),在开区间(0，π)上取 到最大值，于是x=A必定是极值点， 又0<B<π， 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 即f'(A)=cosA-√3sinA=0, 所以sinB=V个-cosB= 3 即3=(c-b)2+,所以x=1+压 2 即mA- (2)因为∠ADC=60°， 所以∠ADB=120°， 所以Sa4=2 esin A-25+35 8 又A∈(0，x).放A=吾 AD 在△ABD中，由正弦定理 例3(1)D依題意设炮弹第一次的弹着 sin B= 点为C,如图，则AB=14,AC=BC -275- 参考答案一业 AM=18,∠CBA=∠CAB=0, a+2b=2,所以1十4a·b+4b2 (2)B 由题意得E苹=E式+C= ∠MAB=名在△ABC中，BC +662=4,从而b=号 .故选B. 成+号市-（成-） AC2+AB2-2AC·ABcos0,即182= 3.B由题意知a十b=(5,3),a一b= 182+142-2×18×14cos0,解得 (1,-1),所以cosa十b,a-b〉 0sa7,所以cos0=2c0s2一1 (a+b)·(a-b)5×1+3×(-1) la+bl a-bl 2A)-应-2A市-日，又因 7 05 V34×√2 8又0为锐角，解得c0s2=6（负 w17 17.故选B, 为成-店+市所以A=一言， 值舍去)，在△ABM中，BM=AM+ 1 4.5 = AB-2AM·ABcos2=18+14° 解析：由a-b=√3，得a2-2a·b+ 2X18×14×音-=10，片以BM=10, b2=3,即2a·b=a2+b2-3①.由 3故选B. a+b|=2a-b1,得a2+2a·b+ 例2(1)ACD对于A,因为b在a上的 即B炮台与弹着，点M的距离为10千 b2=4a2-4a·b十b2,整理得3a 米.故选D. 6a·b=0,结合①，得3a2一3(a2+ 投影向量为a,即a:b.Q aTa=a,所以 b2一3)=0，整理得b2=3,所以 a·b b|=√3 。2=1,即二1十2A=1,解得入=3. (√5)2 热点分类·考向探究… 故A正确；对于B,a=（-1,2),b= (1,3),所以(-1)×3-2×1≠0，故B 例1(1)C如图， 错误；对于C,a·(b-a)=（-1,2)· (2,1)=一2+2=0，所以a⊥(b-a), (2)D在△BCD中，∠BCD=30° 故C正确；对于D,cos(a,b)= ∠BDC=45°，则∠DBC=180° a·b=-1+6_√2 ∠BCD-∠BDC=105°，sin105°= ab5X0-2,所以a与b sin(60°+45°)=sin60°·cos45°+ 的夹角为45°，故D正确.故选ACD. c0s60°sin45°= W6十√2 ,由正弦定理 (2)B连接EB,EC,如图，可知EF 4 由题意B,E,V三点共线，所以存在 CD BC 20 是（成+武）=名（耐+A)十 sin∠DBC sin∠BDC,即 A∈R,使得AE=1AB+(1-1)AN in105° sim45,所以BC=205-20,在直角 B A应+号心.同理CE,M三点共 (Ei+D]-2④i+D心. 线，所以存在u∈R,使得AE=uAC+ △ABC中，∠ACB=60°，则AB= BCtan∠ACB=(20w3-20)×√3= (1-)A立=A衣+1，严A店，由平面 2 (60-20√3)（米）.故选D. A=I-r 跟踪训练3(1)D在△ADP中，由正弦 2 定理可得AP-ADsin135 向量基本定理可得 解得 =25√2，在 1-入 3 则.A店=号(A+A店.D心 sin30° Rt△ABP中，易知AB=25√2cos(0+ 2 4,即2+号弦D心=4，可得店. 15°)，PB=25√2sin(0+15),则tan0= 5 1 所以A正= 2 1 b.故 即g-25Em0+1510 5a+ BC =5 D元=4.所以E?-E-(A店+ cos 0 25√2cos(0+15°) 选C. 心)=(A应+2a店·成+ 整理可得cos0=52、 2sin15°-5② (2)D AF-AC+2AB-AB+AD+ 2 2AB=3AB+AD,.AE-AB+BE- 6-厄_53-5.故选D. 成)=科所以序1=故 AB+2ED=AB+2(AD-AE). 4 4 选B. (2)B由题意知，AB=√2， 正-号+号脑床=萨 (3)C圆C:x2十y2一6x十8=0，即 (x一3)2+y2=1,圆心为C(3,0),半 ∠BAC=45°，∠BCA=30°，由正弦定 径r=1,直线1：x=my+3,令y=0, AB BC 正=3店+市-号市-号店 理得， sin∠BCA= sin∠BAC,所以 则x=3,即直线l恒过点C(3,0),即 号店+吉，：序=+市， 直线（恒过圆心，又直线l与圆C相交 BC= ABsin∠BAC 2sin 45 于A,B两点，所以CA=一CB,所以 sin∠BCA sin30° =2.故 OA·Oi=(O元+CA)·(OC+ 乙船前往营救遇险渔船时需要航行的 CB)=(OC+CA).(OC-CA)= 距离为2 n mile.故选B. 跟踪训练1(1)C如图， O元C2-C2=32-12=8.故选C. 微专题11平面向量 跟踪训练2(1)Da⊥(b+c),∴.a· (b+c)=a·b+a·c=0.∴.ab· 真题演练·体验高考 D cosa,b)+a|ccos(a,c〉=0，又 1.B因为BD=2DA,所以AB=3AD |b=3c|,a,b〉=60°，.3a· 所以CB=CA+AB=CA+3AD 市=+A市-C+专A=C+ |c×2+(a,c)=0,由a, CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD= b,c均为非零向量，得cos〈a,c) -2m+3n.故选B. 专(AC+)=Ci+专(-Ci+ 2.B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)· g且(a:c)∈[0，，故(a,c) b=0,即b=2a·b,又因为a|=1, C)=Ci+C.故选C 150°.故选D. 一红团勾讲与练·高三二轮数学 -276-