微专题8 三角恒等变换-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

专题二三角函数与平面向量 微专题8三角恒等变换 考情分析 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系式、诱导公式是解决计算问题 的工具 2.三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式）进 行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心. 真题演练 体验高考 1.(2024·新课标I卷)已知cos(a十B)=m, A.25+1 B.2√5-1 tan atan B=2,cos(a-B)= C③ D.1-3 A.-3m B.、m 2 3 C. 3.(2023·会国乙卷文)若0∈0，引，1an0 D.3m 2.(2024·全国甲卷)已知c0s0=5,则 2,则sin0-cos0= cos a-sin a 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知a为第一象限角，3 031 tanla+)- 为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan阝 √2+1，则sin(a+B)= 热点分类 考向探究 考向1三角函数式的化简 马听课记录 核心提炼 由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同 的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角 函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角 函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手， 找出待化简（证明）的式子的特点，然后选择适 当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与 证明. 【例1】(1)计算： √1-2sin100°cos280° 反思感悟) c0s370°-√1-c0s2170 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看 角，二看名，三看式子结构与特征。 2aosz-2msx+号 2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间 (2)化简： 的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角 2an-x小sim(+z 函数公式之间的联系点. 专题二 三角函数与平面向量一闭 【跟踪训练1】(1)化简： 2sin(-a)+sin 2a 【跟踪训练2】(1)(2024·山东泰安一模)若 os号 eos后+2a)-4sina=-2,则tan2a- () (2)计算 cos10°-√3c0s100 A.-2 √1-c0s80 考向2给值求值 C.2 D 核心提炼 给值求值，即给出某些角的三角函数式的值，求另 (2)(202t·广东茂名-模)若ac(匠，)。 外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结 合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个 (于-a）-5os2a,则 过程中要注意角的范围， sin 2a- 【例2】(1)(2024·广东佛山二模)已知角0满 A结 C.6 D. 2 3 4 5 sin20tan0十e0s0=0,则cos20= 考向3给值求角 ( 核心提炼 B.- 9 c D. 9 给值求角，本质上还是给值求值，即要先求出角的 某个三角函数值，然后结合函数的单调性、特殊角 2已知a∈匠x,eo,》,若sine十 的三角函数等确定角，必要时还要讨论角的范围. 032 【例3】 1 (1)(2024·江西九江二模)已知a,3∈ 3)=1 3,cos B= 号，则cos2a 1 B.一3 c D.- 23 6,iana·tanB=4,则 27 a十B= () 听课记录 C. (2)已知a,B,y∈(o,》,若sina+simy= sin B,cos B+cos Y=cos a,a-B= A- 反思感悟) L.给值求值问题求解的关键在于“变角”，使其 C.一6 n 角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转 听课记录 化方法. 2.解决给值求值问题的一般步骤 (1)化简条件式子或待求式子 (2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名 称及角入手. (3)将已知条件代入所求式子，化简求值. ☑一红网勾讲与练·高三二轮数学 反思感悟0 A-买 C.r 4 D.3π 4 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角 (2)设a∈ π3π 函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围 来确定，当所求角的范围是(0，x)或（π，2π）时，选取求 cosa=√2cos3,则 余孩值，当所求角的花图是（匠）或(-受）时。 Ae+g-号 B.a-月-开 选取求正弦值， Cat8-号 D.e一月=-牙 【跟踪训练3】(1)已知tan(3-a)= 2,tan a= 、 a,8∈(0，π)，则2B-a的值是( 学习至此，请完成课时作业13 微专题9 三角函数的图象与性质 考情分析 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： ()三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查. (2)利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以选择题、填空题或作为解 答题其中一问的形式考查。 033 真题演练 体验高考 1.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin3x的 A.、3 2 图象，只要把函数y=2sin3x+)图象上所 C.0 有的点 A.向左平移号个单位长度 3.(2024·新课标I卷)当x∈[0,2π]时，曲线 y=sinx与y=2sim3x-若)的交点个数为 B向右平移智个单位长度 ( C.向左平移若个单位长度 A.3 B.4 C.6 D.8 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已 D.向右平移G个单位长度 知函数f(x)=sin(wx十 9),如图，A,B是直线 2.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin3(wx+ 与曲线y=f(zx)的两个交 )的最小正周期为x,则f(x)在[-·剖 的最小值为 IAB1=否，则f(x) 专题二三角函数与平面向量一闭(2)因为(sinx)'=cosx,(cosx)y'= 5 sin x, 3. 5 (2)c0s2x 由该公式可得 解析：原式= sin x=x- 3!5!7月+…， 解析：因为9∈(0，)，所以sin9>0, 24c0s'x-4cos'x+1)） 1 cos0>0,又因为tan8= sin 0 1 故sin乞=2一48十.≈0.48. c0s=2，所 (3)证法一由泰勒展开e=1十x 以cos0=2sin0,且cos0+sin20= 2· x2,x3 2，中、十41十51大““大 n十， 4sin0十sin0=5sin0=1,解得sin0 es(-) () 22 sin9= 5 (舍去)，所以sin0 (2cos2x-1) 易知当x≥0时，e≥1十x十 2, 5 4sn(臣-zjos(任-z 所以e一 2-sinx-cosx≥1+x+ cos 0=sin 0-2sin 0--sin 5 5 (2c0s2x-1)2=cos2x=1 2c0s2=20s2x. x2x2 22-sin x -cos z=1+x 4. 22 2sn(受-2z】 3 跟踪训练1(1)4sina sinx-cosx≥x-sinx, 解析：方法一 由题意得tan(a十B)= 令f(x)=x-sinx,则f'(x)=1 解析：2sin(-a)十sin2e C0sx≥0， tan a+tan B 4 =-22. 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增，故 1-tan atan B 1-(2+1) cos号 f(x)≥f(0)=0, )9e(2mx+ 2sin a+2sin acos a 即证得e一x 因为a∈(2kπ，2kπ十 -sinx-cosx≥0. 2(1+cos a) 2 3 元，2mx+2),k,m∈Z,所以a十B∈ 2sin a(1+cos a) x 证法二 令G(x)=e-2-mx =4sin a. ((2m十2k)π十元，(2m十2k)π十2π)，k, 2(1十cosa) cs ,G()=e--oos(), m∈Z,又因为tan(a十3)=-2√2<0， (2)2 易知当x0,3）时w=-y 所以a+Be(2m+2x+受，(2m+ 解析：c0s10°5c0s100 √/1-c0s80° -Ee0s(e十子)均为增函数， 2k)元十2π，k,m∈Z,则sin(a十B)< cos10°+√3sin10° 所以G(e)=e-x-Ecos(x+) 0,则sina士B) √/2sin40 =-2√2，联立sin2(a十 cos(a8) 2 2os10+ 1 单调递增，所以G'(x)≥G(0)=0, 2sin10】 3)+cos2(a十B)=1,解得sin(a+ 所以当x∈[0，)时，G(x)单润递 增，所以G(x)≥G(0)=0, B)=22 √2sin40 31 2sim(30'+102=2. √2sin40 当xe[+)时，G(x)=e 方法二因为a为第一象限角，B为第 2 3 4 三象限角，所以c0sa>0,c0sB<0, 例2(1)C 由 x sin29 tan cos 2-sinx-cosx≥e 22, cos a 1 2 3cos 0 4 2 cos a= x w√sina+cosa √I+tan'a sin 20 sin a cos 0=sin 20+ 令F(x)=e -2,则F'(x)= cos B -1 6cos'0 8sin 0 6cos'0+8sin 0+2 cos B= ,则 e-x≥0，则F(x)=e- sin 20 sin 20 sin 20 2一2单调 √/sinB+cosB√/1+tanB 6-6sin8+8sin8+2 sin(a+B)=sin acos B+cos asin B= 递增， sin 20 cos acos B(tan a+tan B)= -2(3sin0-4sin0-4) 则F(x)=e -2≥F(2)=e2 -4 sin 26 =0,得3sin0 4cos acos B= 2≥0. √1十tan'a√/1+tan'B 4sin0-4=(3sin0+2)(sin0-2)=0,则 综上，原不等式得证 -4 sin 0=- 2 专题二三角函数 或sn0=2,由sin9∈[-1， (tan a+tan B)+(tan atan B-1) 与平面向量 22 1],得sinB=- -4 ,则c0s20=1 2 微专题8三角恒等变换 √/42+2 3 2m0=12x(号）广-该C 真题演练·体验高考 热点分类·考向探究 (2)D 由于a∈(x9e(o, 1.A因为cos(a+8)=m,所以cosa· 例1(1)1 cos B-sin asin B=m,tan atan B= 解析：原式= 则e+B∈（受），而sma+A) 2,所以sin asin B=2 cos a cos B,故cosa· c0s3-2 cos acos3=m,即cosa· √/1-2sin(90+10)cos(270°+10) 日，故a+ge(货小，cos(a+ cosB=-m,从而sin asin B=-2m, c0s(360°+10)-√/1-c0s170 故cos(a-B)=-3m.故选A. √/1-2cos10°sin10 B)=-、 1-sin (aB) cos a 1 2.B周为ossin a5,所以1-ama cos10°-sin1709 √(cos10°-sin10) cos B- 誓9∈(6，受》可得血- ,解得tana=1-3,所以ana = cos10°-sin10° 子)"5-1k德B c0s10°-sin10 cos10°-sin10=1, 剥cos&=cos[(a+8)-们 3 cos(a十B)cos3+sin(a十B)sinB ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 -272- 2×5+1×6- 故 tan tan[(B- a)十a]=3.C因为函数y=sinx的最小正周期 3 3 3 3 9 1 为2x,函数y=2sim(3x-)的最小 cas2a=2osa-1=2×(-g）】 2 7 ∈(0,1)，可知 1-x(←) 正用期为答，所以在[0,2]上高数 1=器D ae(受，e(o,）,则2p-a∈ y=2sin(x-晋)有三个周期的图象， 跟踪训练2(1)C 由os(+2a) 画出两函数图象，如图所示， (-π，0)，又因为tan23= 2tan B 4sina=-2,-sin 2a-4sin'a= 1-tan =2sin(3xr-g） -2,即2 sin+4sing=2,即 2X3 sina十cosd 4,可得an(28-a) =1n1 2ana十4an&=2,所以2ana十 1-( tan'a1 4tana=2tan2a+2,所以tana=1 ￥-(》 2 tan 28-tan a 2tan a tana,则tan2a= =2.故 1-tan'a 1+tan23·tana 1+×() 由图可知，两函数图象有6个交点，故 选C 选C π 1,所以23-a= (2)C 令t= +a,te(受，得 3r,故选D, 3 4. 2 4 解析：对比正弦函数y=sinx的图象 ，则6lan1十4cos(经-) (2)B 因为sina十cosa=√2sina十 a=t一 多知，点（侣0）为“五点（画因）法”中 5cos(2-)6tan +4sin 牙)=厄cosg,所以sim(a+） 的第王点，片以号。9=2D.由题 5sin2t=10 sin tcos t,整理得(5cost十 osA=sin(径-.周为a∈[受， 3)(cost-1)=0,且cost<0,那么 知AB=a-1=吾， cos t 行，则sin2a=sin(2: ]e[引所以a+ 4 [受-9e所以a Γ3π7 ara十9一言'两式相减，得au6 5π ）=-c0s24=1-2os4=品故 7 wzB十9=6' 4π 4 选C 子十受-月=，则a一月=至故造B ,解得w=4.代 5 例3(1)A 因为cos(a一B)=6, 微专题9三角函数的图象与性质 入0，得9= 等所以1) 1 tana·tanB= ，所以 真题演练·体验高考… (k》=-m等-号 cos acos B+sin asin B 5 6 1.D因为y=2sim(3x+号）= 热点分类·考向探究 sin asin B 1 cos acos B 4' 2[3(x十)门，所以要得到品数 例1(1)A f()=sin [2(+). 2 cos acos B= y=2sin3x的图象，只要把函数y 解得 3 gx)=ms(2+）=sm(2z+) 1 所以cos(a十 2sin3x十)图象上所有的点向右平 sin asin B-6 移个单位长度即可，故选D, [2(+】晋品=骨所以 B)-cos acos B-sin asin B 函数g(x)的图象向右平移个单位 2.A f)-sin 3)-sin(3u 长度得到f(x)的图象.故选A. B∈(0，)小所以a+B∈(0，x),所以 2π (2)A 画数fx)=2c0s(2红-）的 &十月=子，故选A )=一nax,由T==元得w= (2)A sin a+sin y=sin B,cos B 即f(x)=-sin2a,当x∈ 121 图泉向左平移后个单位长度，得到画 cos y=cos a,sin a-sin B=-sin Y, 数g(x)的图象，g(x)=2cos2x cos a-cos B=cos ,.(sin a-sin B)2+ (cos a-cos B)2=(-sin Y)2+cos2y=1, 一sin2x的图象，如图，由图可知， 晋-）=os(2x-后) p2-2sin asin B-2cos acos B=1,..2- f(x)=-sin2.x在 匹，π上单调 2cos(a-B)=1,解得cos(a一B)=2 126」 令2os(2x-石)=5，即os(2x- 递减，所以当x= 6时，f(x)n 又a,ye(o,受）ina-smB )=则2x吾=2k+音 -sin <0,.'sin a<sin B,.0a< sin 3 B,故选A k∈7成2x-吾-2x-后k:∈ Z,即x=x叶吾：∈么，成x=k:元 一子故选A :五.可得x=音g1g 跟踪训练3(1)D因为tan(g-a)= 12 0,π，2π，…，所以相邻交点距离的最小 an=<0a,00.片以 值为日，故选A -273- 参考答案一