微专题7 导数与函数的零点-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

微专题7导数与函数的零点 热点分类·考向探究… 真题演练·体验高考 例1解：令f(x)=e+1=0, x 解：由f(x)=ax -(a+1)In x 则er=一 1 x (x>0),得f(x)=a十 1 a+1 当x>0时，e>0,-1<0. (aE-1)z=D(a>0). 所以x>0时，函数f(x)无零点： 由图可知，当a<-5或a>0时，函 4 当a=0时，f(x)=1- 当x<0时，由e=一 ,得a 数h(x)的图象与直线y=a只有一个 x2, 当x∈(0,1)时，f'(x)>0, 1n(-),所以a= In(-x) 公共点， x 因此，实数a的取值范围是 当x∈(1，+o∞)时，f'(x)<0, 则x<0时，函数f(x)零点的个数即 -∞，- 4)U(0,十∞). 所以f(x)mmx=f(1)=-1<0, 37 所以f(x)不存在零点. 为函数y=a,y= ln(一x》图象交点 x 例2 解：1)g()=e-1-lnx+1 当a0时， 的个数， a(x-1)(x-1) a 令h(x)= ln(-x2(x<0), x2e+ln2(x>0), 22 f'(x) x 则'(x)=ln-x)-1 令a(x)=x2e+lnx(x>0), 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调 则'(x)=(x2+2x)e+1 递增， 当x<-e时，h'(x)>0,当-e<x<0 当x∈(1，十∞)时，f'(x)<0,f(x)单 由x>0,得'(x)=(x2十2x)e+ 时，h'(x)0, 调递诚， 所以函数h(x)在（一∞，一e)上单调递 >0恒成立， 所以f(x)mx=f(1)=a-1<0, 增，在（一e,0)上单调递减， 所以f(x)不存在零点 故μ(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a>0时， 以h(x)=h(-。)= 义a(白)=e+h=e e a(-1）x-1 又当x→-o∞时，h(x)>0且h(x)→ 1 f'(x) 0,当x→0时，h(x)→一∞， e*-e2 1= <0,(1)=e+ln1=e>0, 如图，作出函数h(x)的大致图象 当a=1时，f'(x)≥0且不恒为0， f(x)在(0，十∞)上单调递增，因为 故存在，∈（日小，使，）=0，即 f(1)=a-1=0, y=h(x) xic+In zo=0, 所以函数f(x)恰有一个零点，即a=1 即中(x)在(0，x。)上单调递减，在 满足条件； (x。,十∞)上单调递增， 当a>1时，0<上<1，故f(x)在 y=a 故g(x)≥p(x0), a 又a<-e,由图可知，函数y=a, 由x8e0+lnxo=0, (0,日)，1，+∞)上单调递增，在 ln-2的图象只有1个 则，e=-h=ln 1, h(x)= ·e xo (日，1)上单调递诚， 交点， 令w(x)=f(x)+1=xe(x>0), 因为f(1)=a-1>0, 即当x<0时，函数∫(x)只有1个 则有wx,)=(加) 所以f日)>f1>0,当一0时。 零点. 综上所述，若a<一e,则函数f(x)有1 w'(x)=f(x)=(x十1)e,当x>0 时，w(x)>0恒成立， f(x)→-∞ 个零点 故ω(x)在(0，十o∞)上单调递增，故 由零点存在定理可知∫(x)在 跟踪训练1解：G(x)=f(x)十g(x) xo=n1,即1nx=-x, (0,）上必有-个零点，即a>1满足 3 -x3-x2十ax-a,令G(x)=ax,可 条件； 当0Ka<1时，>1，放f(x)在60， 得a=3x-x, 1 -1=1+1- -=1, 1D,(合，+)上单调递增，在(1，) 令h(x)=3x-x, 即(x)的最小值为1. 因为函数G(x)=f(x)十g(x)的图象 (2)4h(x)=f(z)-g(z)=xe- 上单调递减， 与直线y=ax有且只有一个交点， 1-lnx十mx=0(x>0), 因为f(1)=a-1<0, 所以函数h(x)的图象与直线y=a只 即有-m=elnx1 =(x), 所以/（日）<f1<0. 有一个公共点， h'(x)=x2-2x,令h'(x)>0,解得 即函数h(x)的零点个数为方程g(x)= 当x→十o∞时，f(x)→十∞， x<0或x>2,令h'(x)<0,解得0 一m的实数根的个数， 由零点存在定理可知F红)在（日 x<2, 由(1)知，(x)在(0，xo)上单调递减，在 所以h(x)在（一∞，0），(2，十∞)上单 (x0,十o∞)上单调递增，且(xo)=1, 调递增，在(0,2)上单调递减， 又当x→0时，9(x)→十∞， 十o∞)上必有一个零点，即0<a<1满 当x→十∞时，p(x)→+∞， 则h(x)的极大值为h(0)=0,极小值 故当-m=1,即m=-1时， 足条件 为8)=号-4=台 (x)=一m有唯一实数根， 综上，若f(x)恰有一个零点，则a的 当-m>1,即m<-1时，p(x)=-m 取值范围为(0，十∞). h(x)的图象如图所示. 有两实数根， -265- 参考答案一具 当-m<1,即m>-1时，9(x)=-m 无实数根， 可转化为方程二=1(x>0)有两个不 f(x-2),f(x+1)=[f(x-1) f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2), 即当m=一1时，函数h(x)有一个 所以f(x)=-f(x一3)=f(x一6)， 零点， 同的解，即方程n二=血0有两个不同 x 则f(x)的周期为6，故C正确；由于 当m<一1时，函数h(x)有两个零点 的解 f(x)为偶函数且周期为6，故f(3 当m>-1时，函数h(x)无零点. x)=f(x-3)=f(3十x),故B正确， 跟踪训练2解：(1)函数f(x)=e 设g(x) ln工(x>0), 故选ABC. sinx-1,当x>0时，f'(x)=e 跟踪训练1(1)A令x=y=0,得f(1)· cosx>1-c0sx≥0， 则g'(x)= 1-lnx(x>0): f(1)=f(0)-f(0)=0,即f(1)=0, 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. 令g(x)=1-h工-0，得x=e, 令x=0,得f(1)·f(y十1)=f(y) (2)证明：由(1)知，f'(x)=e一cosx, 22 f(-y)=0,得f(-y)=f(y),.函 当x(x,]时，f(x)>0,函 π 当0<x<e时，g'(x)>0,函数g(x) 数f(x)为偶函数，令x=y=1,得 单调递增， Lf(2)]=f(2)-f(0),令x=y= 数f)在(-，-]上单调遥增， 当x>e时，g'(x)<0,函数g(x)单调 -1,得[f(0]=f(-2)-f(0)= 递减， f(2)-f(0),.[f(2)]=[f0)], f(-π)=eπ- 1<0,f(-) ∴.f(2)=f(0)或f(2)=-f(0),若 故g(x)max=g(e)= 。,且当x>e时 f(2)=f(0),解得f(0)=0与已知 f(0)≠0矛盾，.f(2)=一f(0),即 e立>0，因此函数f(x）在（-π， R(0,） [f(2)]2=2f(2),解得f(2)=2, 】上有唯-零点： 又g(1)=0,所以0<na<1 f(0)=-2,令y=1,得f(x十1)· ,所以 f(2)=f(x+1)-f(x-1),∴.2f(x a 1)=f(x十1)-f(x-1),.f(x十 当x∈（0]时，令）=d a>1且a≠e, 即a的取值范围为(1，e)U(e,十∞). 1)=-f(x-1),.f(x+2)=-f(x) 跟踪训练3解：由题意可知，F(x)= .f(x十4)=f(x),.函数f(x)的周期 cosx,求导得g'(x)=e十sinx, 为4..f(2024)=f(0)=-2.故选A g(x)在(-乏，0]上单调递增， e xlnx十(t-1)(x-t)- ,则 (2)AB因为f(x)(x∈R)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x),又f(x十2)= g()=e-1<0g'0)=1> e F'(z)=In z+t- =lnx十t-e', f(-x),所以f(x十2)=-f(x),所 以f(x十4)=-f(x十2)=f(x),所 因为F(x)有两个不同的极值点，所以 0,则存在,∈（0小，使得 以函数f(x)是周期为4的周期函数， 函数F'(x)有两个不同的变号零点， 所以f(2025)=f(506×4十1)= g'(xo)=0, 可知方程lnx十t=e-有两个不等 f(1)=2,故选项A正确：f(x十4) 实根， 当xe(-2)时g'()<0, f(x),所以f'(x十4)=f'(x),所 此方程可变形为lnx十x=e'十x 以f'(x)的一个周期是4，故选项B正 函数g(x),即f'(x)单调递减， t,即emx十lnx=e-十(x-t). 确；因为f(一x)=一f(x),所以 当x∈(x0,0]时，g'(x)>0, 设函数g(x)=e十x,则g(lnx) [f(一x)]'=[一f(x)]丫，所以 函数g(x),即f'(x)单调递增 g(x-t), -f(-x)=-f(x),所以f(一x)= 又f(）-。>0,)< 又因为y=e,y=x在R上单调递增， 则g(x)在R上单调递增， f'(x),所以f'(x)是偶函数，故选项C 可得lnx=x-t,即t=x-nx, 错误；例如f(x)=2sin受x,满足 f'0)=0,则存在x1∈(-乏z）使 设h(x)=x-lnx,则直线y=t与曲 线y=h(x)有两个不同的交点， f(x)(x∈R)是奇函数且f(x+2)= 得f'(x1)=0, 可知h(x)的定义域为(0，十∞)，且 f(-x)且f(1)=2,所以f(x)= 当x∈(-三x)时，f(x)>0,函数 h'(x)=1 1=x-1 πc0s2x,可得f(1)=0≠1，故选项D f(x)单调递增，当x∈(x1,0]时， 在(0,1)上，h'(x)<0,h(x)单调递减： 错误（或根据f(x+十2）=f(一x)得 f'(x)≤0，函数(x)单调递减， f(x)的图象关于直线x=1对称，因而 在(1，十o)上，h'(x)>0,h(x)单调 而() =e7>0,f(0)=0,因此 递增， 在x=1处有极值，所以f'(1)=0或 不存在，故选项D错误).故选AB. 则h(x)in=h(1)=1,当x→0时， 函数f)在（三0]上有唯一零点。 h(x)→十o∞，当x→十o∞时，h(x)→ 例2(1)C函数y=[f(x)]-3f(x) 2=[f(x)-1][f(x)-2]的零点，即 十00， 若直线y=t与曲线y=h(x)有两个 方程f(x)=1和f(x)=2的根，函数 综上，函数(x)在区间（一π，0]上有 不同的交点，则t>1, lg(-x)+1,x<0, 且仅有两个零点， 故t的取值范围为(1，十∞). f(x) 1)+1,x≥0 的图象 例3解：1)当a=2时，f(x)= 2(x 培优课1抽象函数与嵌套函数 如图所示」 0),f'(x)= (2-zln2(z>0, 热点分类·考向探究 令f'(x)>0,则0<x<n2,此时函数 例1ABC由f(x十y)+f(x一y)= f(x)f(y),令x=1,y=0,则f(1)+ f(x)单调递增， f(1)=f(1)f(0),可得f(0)=2,故A 2 令f(x)<0,则x>n2此时函数 正确；令x=0,则f(y)十f(一y)= f(0)f(y)=2f(y),则f(y)=f(-y), f(x)单调递减， 所以函数f(x)的单调递增区间为 函数f(x)是偶函数，而f(x)=2sin61 由图可得方程f(x)=1和f(x)=2的 根共有4个，即函数y=[f(x)]一 (品)单满递减区间为（品）。 为奇函数，故D错误；f(1)=1,令y= 3f(x)十2有4个零点.故选C 1,则f(x十1)+f(x-1)=f(x)· (2)C函数f(x)= 2sinx,0≤≤元，的 (2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅 f(1)=f(x),所以f(x十1)=f(x) x”,x<0 有两个交点， f(x-1),则f(x)=f(x-1)- 图象如图所示 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 -266-微专题7导数与函数的零点 考情分析 导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型：①判断、证明或讨论函数零点的个数；②已知零点存 在情况求参数范围；③函数零点性质的研究。 真题演练 体验高考 (2022·全国乙卷文节选)已知函数f(x)= 1 ax- 一(a+1)lnx.若f(x)恰有一个零 点，求a的取值范围， 热点分类 考向探究 018 考向1数形结合法研究函数的零点 【跟踪训练1】 已知西数f)-音+a, 【例1】 (2024·北京房山区一模节选)已知函 g(x)=-x2-a(a∈R),若函数G(x)= 数f(x)=e十若a<一e,求函数f(z） f(x)+g(x)的图象与直线y=a.x有且只 的零点个数. 有一个交点，求a的取值范围. 听课记录 考向2利用函数的性质研究函数的零点 反思感悟9 【例2】 (2024·山东聊城一模节选)已知函数 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个 f(x)=xe"-1,g(x)=In x-mx,o(x)= 数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示 参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参 e、 xx 数的取值范围. (1)求p(x)的最小值； ☑一红网勾讲与练·高三二轮数学 (2)设h(x)=f(x)一g(x),讨论函数h(x) (1)当a=2时，求f(x)的单调区间； 的零点个数. (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有 听课记录 两个交点，求a的取值范围. 听课记录 w....................................................................... 反思感悟0 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函 反思感悟0 数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点 涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导 的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合 数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的 的方法确定函数存在零点的条件. 个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函 019 【跟踪训练2】(2024·山东淄博一模)已知函 数值与0的关系，从而求得参数的取值范围. 数f(x)=e-sinx-l. 【跟踪训练3】已知函数f(x)=xlnx+(t (1)讨论函数f(x)在区间(0，+∞)上的单 调性； 1x-)eR,若F(x)=f)-号有两 (2)求证：函数f(x)在区间（一元，0]上有且 个不同的极值点，求t的取值范围. 仅有两个零点. 考向3构造法研究函数的零点 【例3】已知a>0且a≠1，函数f()= 学习至此，请完成课时作业7 (x>0). 练 专题一 函数、导数、不等式一闭