微专题4 利用导数研究函数的性质-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

mm≤号），所以当m=子时，（十 f(g）=o受+（经+1）sn+ y=[-ln(-x=-子，则直线 1 1)(4+1)取得最小值 y=kx十b与曲线y=lnx的切线方程 16 故选D. 1=2+ (2)D由x2+2xy-1=0,得y (+1m+1=-f0)- 为yn之位)即 1-x 1nx1一1，直线y=kx十b与曲线 ,而x>0,y>0,则有0x<1 2x cos0十(0+1)sin0+1=2,f(2π) y=-ln(-x)的切线方程为y十 因光3x十2y=3x+二2 cos2π十(2π十1)sin2π十1=2，所以 1 =2x ln(-x2)= （x-x2),即y= x /2x.1 x=f(受)=2+，fa)= 1 =2√2，当且仅当 x十1-ln(-x2) x ) 1 1 2x1 玉时取”听以 2 4.ACD对于A,因为函数f(x)的定义 则x1 = 3x十2y的最小值为2√2.故选D. 域为R,而f'(x)=2(x-1)(x-4) lnx1-1=1-ln(-x2), (3)C由余弦定理可知c0sC (x-1)2=3(x-1)(x-3),易知当 解得0，故6=1=，b a2+b2- -cos A= x∈(1,3)时，f'(x)<0,当x∈(-o∞， x=-e. x1 e 一，由 1)或x∈(3，十oo)时，f(x)>0,函数 lnx1-1=0.故选A. 2ab 2bc f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)跟踪训练1(1)D,点P(1,4)在曲线 aosC=2c0sA可得，a.a+b-C 上单调递减，在(3，十∞)上单调递增， f(x)=a.x2+2+lnx上，∴.a+2=4, 2ab 故x=3是函数f(x)的极小值，点，正 解得a=2,由题意得，f'(x)=2ax十 2c.+a,化简可得a+6-c2 确：对于B,当0<x<1时，x一x 1 x(1一x)>0,所以1>x>x2>0,而由 =4红+在点P(1,4)处的切线 2b2+2c2-2a2,所以3a2=b2+3c2,即 a2=6+3c2 上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递 斜率k=5,把k=5,P(1,4)代入y= 3,即c 3bc =6+30 增，所以f(x)>f(x),错误；对于C, kx十b,得b=一1，.a十b十k=2 当1<x<2时，1<2x一1<3，而由上 1十5=6.故选D. 3 3 √3 可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减， (2)C对于函数y=e,y'=e,则 cb2/ b 3c ,当且仅当 所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即 y'=0=e°=1，当x=0时，y=e°=1， Nc b 一4<f(2x一1)<0，正确；对于D,当 所以曲线y=e在x=0处的切线方 -1<x<0时，f(2-x)-f(x) 程为y一1=x,即y=x十1，设直线 =,即b=3c时，等号成立，所以 (1-x)2·(-2-x)-(x-1)(x y=x十1与曲线y=lnx十b相切于点 纷装大位为厚成话心 4)=(x-1)(2-2x)>0,所以f(2 bc (t,lnt十b),对于函数y=lnx十b,其 x)>f(x),正确.故选ACD. 子数为y'=1 ，由导数的几何意义可 微专题4利用导数研究 热点分类·考向探究 函数的性质 例1(1)B方法一由f(x)=xe十1， 得 =1,得t=1,所以切点坐标为(1， 得f'(x)=(x十1)e.设切点坐标为 真题演练·体验高考 b),代入切线方程得b=1十1=2.故 (xo,xoe。十1)，则切线方程为y 选C 1.A由题意得，f'(x)= xe0-1=e0(x。十1)(x-xo),把 (e十2cosx)(1+x)-(e+2sinx)·2a (1十x2)2 (2,1)代入可得-xoe0=e0(x。十 例2解：函数f(x)=alh(x十2)-2x (a∈R)的定义域为(-2，十oo), 所以'(0)=3，所以曲线y=f(x)在 1)(2-x0),即x-2x0-2=0,因为 点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x △=12>0，所以该方程有2个不同的 -(x+1)2+a十1 且f(x) a 实数解，故切线有2条，故选B. x+2x= x十2 0),即3x一y十1=0，切线与两坐标轴 方法二由f(x)=xe”十1，得 当a≤-1时，f'(x)≤0恒成立，所以 的交点分别为0,1.(-号小所以 f'(x)=(x十1)e,令f'(x)=0,得 f(x)在（一2，十o)上单调递减： x=-1.当x≤一1时，f(x)<0,当 当-1<a<0时，令f'(x)=0 切线与两坐标轴所围成的三角形的面 x>-1时，f'(x)>0,故f(x)在 即-(x十1)2十a十1=0，解得 (-∞，一1)上单调递减，在(-1，十∞) x1=-/a十1-1，x2=a+1-1, 上单调递增，故∫(x)的极小值为 因为-1<a<0,所以0<a十1<1， 2.C因为函数f(x)=ae一lnx,所以 f)=ae-上因为画教f) f(-1)=1- -,且f(0)=1,则点 则-2<-√a+1-1<-1, 所以当x∈(-2，-√a十1一1)时 P(2,1)在曲线y=f(x)的下方，作出 ae-lnx在(1,2)上单调递增，所以 f'(x)<0, f(x)的大致图象如图所示， f'(x)≥0在(1,2)上恒成立，即ae y 当x∈(-Wa十1-1，√a十1-1)时 1 f(x)>0 ≥0在(1,2)上恒成立，易知a>0, 当x∈（√a+1-1,十o∞）时f'(x)<0, 则0<1 ≤xe在(1,2)上恒成立.设 所以f(x)在(-2，-√a+1-1)上单 g(x)=xe,则g'(x)=(x十1)e,当 调递减，在(-√a+I-1,√a+1-1) x∈(1,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递 上单调递增，在（√a+1-1,+∞）上 增，所以在(1,2)上，g(x)>g(1)=e, 单调递减； 所以长即≥ -=e1.故选C. 当a≥0时，-√a+1-1≤-2， 所以x∈(-2，√a+1-1)时f'(x)> 3.D f(x)=cos +(x+1)sin x+1, 数形结合可知，过点P可作曲线y x∈[0,2π]，则f'(x)=-sinx十 f(x)的2条切线.故选B. 0,当x∈（√a+I-1,十∞）时 sinx十(x十1)cosx=(x+1)cosx, (2)A设直线y=kx十b与曲线y= f'(x)<0, x∈[0,2π].令f'(x)=0,解得x=-1 lnx的切，点为(x1,lnx1)且x1>0,与 所以f(x)在（一2，√a十1一1）上单调 含去，=受或= 2因为 曲线y=一ln(一x)的切，点为(x2, 递增，在（√a十1一1，十∞）上单调 -ln(-x2)且x2<0,又y'=(lnx)'= 递减. -261- 参考答案一 综上可得，当a≤-1时，f(x)在 (一2，十∞)上单调递减： 当0<<时，fx)>0,fx)单调 零，点，由a≠0，所以方程ax2一4x 2b=0有两个不同的正实数根x1,x2, 当-1<a<0时，f(x)在(-2， 递增， 4=(-4)2-4a(-2b)>0, -√a+I-1),(Wa+1-1,+∞)上 当x>叵时，'(x)<0,f(x)单调 所以 x1十x2= 单调递减， a 在(-√a+1-1,√a+1-1)上单调 -2b 递减. x1x2= 0, 递增： 综上，当a0时，f(x)在(0，十∞)上 即ab>-2,a>0,b<0.故选B. 当a≥0时，f(x)在(-2，√a十1-1) 单调递增； 跟踪训练3(1)-4（答案不唯一，a∈ 上单调递增，在（√a十1一1，十∞）上 当a>0时，f(x)在(0，)上单调递 {a∈Z-10<a一3}中的任意整数 单调递减. 均可) 例3(1)C函教y=a一c0s工，求导得 塔，在（侣，+）上单调造减。 解析：由f(x)=3.x2-2lnx十（a- x 例4解：(1)当a=1时，f(x)=lnx 1)x+3可知，f'(x)=6x- 十a y=工sina十cos2,依题意，不等 2x-正x∈(0，+∞)， 1 6x2+(a-10x-2,又f(x)= 式xsin x-a十cosx>0在(0，π)上有 解，即a<xsin x十cosx在(0，π)上有 1 3x2-21nx+(a-1)x十3在(1,2)上 则f'(x)= 解，令f(x)=xsin x十cosx,x∈(0， x 有最小值，所以f'(x)在(1,2)上有变 π)，求导得f'(x)=xc0sx,当x∈ -2x2+x+1=-(2x+1)(x-1 号零点且在零，点两侧的函数值左负右 正，令h(x)=6x2十(a一1)x-2,则 (0,受)时，f'x)>0,函数f(x)单调 h(x)在(1,2)上有变号零点且在零点 当0<x<1时，f'(x)>0,函数f(x) 两侧的函数值左负右正，所以 递增，当x∈（受m)时f'(x)<0,画 单调递增， /△=(a-1)2十4×6×2>0， 当x>1时，f'(x)<0,函数f(x)单调 h(1)=6十a-1-2<0, 数f(x)单调递减，当工=2 时 递减， lh(2)=6×4+2(a-1)-2>0, 故函数f(x)的单调递增区间是(0， 解得-10a<-3,又因为a∈Z,所 fx)m=2,因此a< 1],单调递减区间是(1，十∞)， ,所以实数a 以a∈{a∈Z-10<a<-3}. 函数f(x)的极大值为f(1)=一3，没 故a可取-4（答案不唯一，a∈{a∈ 有极小值 的取值范周是(-∞，之)，故选C. Z一10<a<-3}中的任意整数均可). (2)由题意得f'(x)--2+g (2)2√2 (2)C因为f(x)=sin nx+er-3 解析：令t=√十1>0，则x=t2-1, e-x十3，所以f(x十1)=sin(元x 2x2-ax-a' (x-a)(2x十a） π)十e3x+3-3-e-r-3-x-1十3 故f)=二-1产+3-1)+2 t -sin n十e3r-e-x十2，设 若a≥1，当x∈(0,1]时，f'(x)≥0， g(x)=f(x十1)-2=-sinπx+ex f(x)在区间(0,1]上单调递增，此时 -t3+5t ,令h(t)=-t3+5t 2 er-x,显然定义域为R,g(红一1) f(x)的最大值为(1)=-2-a; f(x)-2,又g(-x)=-sin(-πx) 若0<a<1,当x∈(0，a)时，f(x)> 2>0).则)=-32+52 er-er十x=-(-sin+e 0,f(x)单调递增， e-x)=-g(x),所以g(x)为R上 当x∈(a,1]时，f'(x)<0,f(x)单调 -3t+5t2+2 t? 的奇函数，又g'(x)=一πC0sπx十 递减， 3er+3e-1≥-πcos元x十 此时f(x)的最大值为f(a)=alna (32+1Dt+D)(t-E),当t∈ t 2√3et·3er-1=5-πos元x>0, 3a; (0,√2)时，h'(t)>0,当t∈（√2，十o∞） 所以g(x)在R上单调递增，又 若-2<a≤0，则0<三21，当x9 f(x)十f(3-2x)<4,则[f(x) 时，h'(t)0,则h(t)在(0，√2)上单调 2]+[f(3-2x)-2]<0,所以g(x 1)十g(2-2x)0,即g(x-1)< (0,-)时，f(x)>0,f(x)单调 递增，在（√2，十∞）上单调递减，故 h(t)≤h(W2)=-(W2)3+5X√2 -g(2-2x)=g(2x-2),所以x 递增， 1<2x-2,解得x>1,则满足f(x) 当x∈(g1时f(x)<0f(z) 2 =22,即函数fx)=x+3x+2 √x+1 f(3一2x)<4的x的取值范围是 单调递减， 的最大值为2√2 (1,十∞).故选C. 跟踪训练2(1)D依题意得'(x) 此时f(x)的最大值为 微专题5不等式恒成立 1+ 4_a=2-ax+4≥0，即x2 f(-）=aln(-2）+3a: 或有解问题 真题演练·体验高考… ax十4≥0对任意x>0恒成立，即a≤ 若a≤-2，则-受1，当x(011 4 :十工恒成立，因为4 十x≥ 时，f(x)≥0，f(x)在区间(0,1]上单 解：f'(z)=-an(1+x)士十 调递增， 2/X4三4（当且仅当x=2时取 此时f(x)的最大值为f(1)=-2-a 1=-alna十x)-a+1Dz,x≥0. 1+x 综上可得， “=”),所以a≤4.故选D. 设s(x)=-aln(1十x)- (a+1)x -2-a2,a≥1或a≤-2， (2)解：f'(x)=2-2ax=21-ax) 1十x f(x)mu aln a-3a,0<a<1, -aa十1 ain(g）+a,-2a<o. ≥0，则（x)=千1+) (x>0), 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在 a(x十1)+a+1__ax+2a+] 例5B函数f(x)的定义域为(0，十o), (0,十∞)上单调递增， (1十x)2 (1十x)2 4 2b ax-4x-2b 当a>0时，令f'(x)=0,则x= f'(a)=a x 若a≤- 2,则s'（x)≥0，故s(x)在 1 va 又函数f(x)既有极大值也有极小值， [0,十∞)上为增函数，故s(x)≥ Va a 所以函数f'(x)在(0，十∞)上有两个 s(0)=0,即f(x)≥0， ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 -262-(2)(2024·河南南阳一模)已知正实数x,y【跟踪训练3】(1)(2024·黑龙江齐齐哈尔二 满足上+1=1，则4y一3x的最小值为 模)早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已 经知道算术中项、几何中项以及调和中项， ( 毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》 A.8 B.9 C.10 D.11 中定义了上述三类中项，其中算术中项和 ab+bc (3)若a,b,c均为正实数，则 +262+c的 几何中项的定义与今天大致相同.若2“十 最大值为 2=1,则(4“+1)(4十1)的最小值为 ( ( A日 C 2 A. 5 c 25 D.16 今听课记录 (2)已知x>0,y>0,满足x2+2xy-1=0, 则3x+2y的最小值是 () A.√2 B.√3 C.23 D.2√2 (3)(2024·浙江台州二模)在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos C= 2cc0sA,则C的最大值为 反思感悟) 1.前提：“一正、二定、三相等” A.5 B. 3 2 C③ D.3 2.要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为 2 010 常数的形式，再利用基本不等式. 3.条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑 法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法； 学习至此，请完成课时作业3 练 三是消元法. 微专题4利用导数研究函数的性质 考情分析 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小 2.利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形 式出现，难度中档偏上，属综合性问题. 真题演练 体验高考 1.（2024·全国甲卷)设函数f（x)=2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae e+2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值 1+x2 为 () 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A.e2 B.e ( C.e D.e2 A日 1 B.3 3.(2022·全国乙卷文)函数f(x)=cosx+ c n号 (x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最 大值分别为 () ☑一红网勾讲与练·高三二轮数学 A月 B.-3元x A.x=3是f(x)的极小值点 2’2 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) D. 3元正十2 C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 2’2 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 4.(多选)(2024·新课标I卷)设函数f(x) (x一1)(x-4),则 热点分类 考向探究 考向1导数的几何意义 2.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲 核心提炼 线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰， 导数的几何意义 一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线 ()函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的 与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与 斜率. 抛物线相切可用判别式法. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. 【跟踪训练1】(1)(2024·陕西西安二模)已知 (3)切点既在切线上，又在曲线上」 直线y=kx十b与曲线f(x)=a.x2+2+lnx 【例1】(1)已知函数f(x)=xe十1，过点 相切于点P(1,4),则a十b+k= () P(2,1)可作曲线y=f(x)的切线条数为 A.3 B.4 C.5 D.6 (2)若曲线y=e在x=0处的切线，也是曲 A.1 B.2 C.3 D.4 线y=lnx十b的切线，则b= 011 (2)已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx A.-1 B.1 C.2 D.e 的切线，也是曲线y=一ln(一x)的切线，则 考向2利用导数研究函数的单调性 ( A.k=1b=0 核心提炼 B.k=1,b=0 利用导数研究函数单调性的步骤 C.k=1b=-1 (1)求函数y=f(x)的定义域. D.k=1,b=-1 e (2)求f(x)的导数f'(x). 听课记录 (3)求出f'(x)的零点，划分单调区间. (4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号，确定单 调性. 角度1求函数的单调区间 【例2】 (2024·浙江杭州二模节选)已知函数 fx)=aln(x+2)-x2(a∈R,讨论函数 1 f(x)的单调性. 反思感悟Q 听课记录 1.求曲线的切线方程要注意“过点P的切线” 与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点 P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而 在点P处的切线，必以点P为切点 专题一 函数、导数、不等式一闭 反思感悟Q 1.根据函数的单调性求参数的类型及方法 (1)函数f(x)在区间D上单调递增（或递减）， 可转化为f'(x)≥0（或f'(x)≤0）在x∈D上恒成 立（需验证f'(x)在D的任意子区间上不恒为0）. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调，则 转化为f'(x)=0在(a,b)上有解（需验证解的两侧 导数是否异号). (3)函数f(x)在区间D上存在单调递增（或递 减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈ 反思感悟0 D上有解. 1.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行 2.利用导数比较大小或解不等式的策略 的，千万不要忽视了定义域的限制. 利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新 2.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解 函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导 集的情况，大多数情况下，这类问题可以归结为对一 数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解 个含参数的一元二次不等式的解集的讨论.当能通 不等式 过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的 大小进行分类讨论；当不能通过因式分解求出不等 【跟踪训练2】 (1)(2024·黑龙江齐齐哈尔一 式对应方程的根时，根据方程的判别式进行分类讨论 模)若函数f(x)=x一 x 一alnx单调递增， 4 012 角度2函数的单调性的应用 则实数a的取值范围为 ) 【例3】(1)(2024·内蒙古呼和浩特一模)在区 A.(-∞，0] B.(-∞，-4] 间(0，x)上，函数y=a一c0s工存在单调递增 C.[-4,4] D.(-∞，4] (2)已知函数f(x)=2lnx-a(x2-1),讨 区间，则实数a的取值范围是 论f(x)的单调性， A.(-∞，1) -∞2 B. c(o,) D.(-∞，1] (2)(2024·辽宁大连一模)设函数f(x)= sin元x十e3r3-e3-x-x十3，则满足f(x)+ f(3一2x)<4的x的取值范围是 A.(3,+∞) B.(-o∞，3) C.(1,+∞) D.(-∞，1) 听课记录 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 考向3利用导数研究函数的极值、最值 角度2根据函数的极值、最值求参数 核心提炼 【例5】 (2024·广东佛山二模)若函数f(x)= 1.由导函数的图象判断函数y=f(x)的极值点，要 抓住两点 alnz十1士6(a≠0)既有极大值也有极小 x (1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数 值，则下列结论一定正确的是 y=f(x)的可能极值点. A.a<0 B.b<0 (2)由y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的函 C.ab>-1 D.a+6>0 数值的正负，从而可得到函数y=f(x)的单调性， 听课记录 进而确定极值点 2.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数f(z)在(a,b)内的极值. (2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 角度1利用导数研究函数的极值、最值 【例4】(2024·山西吕梁二模)已知函数 f(r)=alnx-2z-a（a≠0). 反思感悟0 x 已知函数的极值求参数的方法 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值； (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解 (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值 题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值 013 听课记录 为0，极值点两侧附近的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的 条件 (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函 数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转 化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的 问题，此时需注意不等式中的等号是否成立， 【跟踪训练3】(1)(2024·河南南阳一模)已知 函数f(x)=3x2-2lnx+(a-1)x十3在区 间(1,2)上有最小值，则整数a的一个取值 可以是 反思感悟0 (2)(2024·浙江杭州二模)函数f(x)= 利用导数研究函数的极值、最值的注意点 (1)不要忽略函数的定义域」 一x2十3z+2的最大值为 √x+1 (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是 最值，要通过比较大小才能下结论： (3)求函数无穷区间（或开区间）上的最值，不仅 学习至此，请完成课时作业4 练 要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值 情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值. 专题一 函数、导数、不等式一闭