微专题2 基本初等函数、函数与方程-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

A.f(x)的图象关于直线x=1对称 【跟踪训练3】(1)（多选）(2024·江苏南通二 B.f的图象关于点(0,1)对称 模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R, f(x)的图象关于点(2,0)对称，g(0)= C.g(x+2)+g(x)=2 g(2)=1,g(x+y)+g（x-y)=g(x)· D.f(0)=1 f(y),则 () 听课记录 A.f(x)为偶函数 B.g(x)为偶函数 C.g(-1-x)=-g(-1十x) D.g(1-x)=g(1+x) (2)(多选)(2024·浙江绍兴二模)已知定义 在R上的函数f(x)在区间[一1,0]上单调 递增，且满足f(4一x)=f(x),f(2一 反思感悟) x)=一f(x),则 ( 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称台 f(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a十x);若函数 A2f)=0 y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x),则y=f(x)的 B.f(0.9)+f(1.2)<0 图象关于直线x=a十b 2对称. C.f(2.5)>f(log280) 2.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称曰 D.f(si 1) 004 f(a+x)+f(a-x)=26626-f(x)=f(2a- x);若函数y=f(x)满足f(a十x)+f(b-x)=c, 则y=f)的图套关千点（士中，）对称。 学习至此，请完成课时作业1 微专题2基本初等函数、函数与方程 考情分析 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现. 真题演练 体验高考 1.(2024·天津卷)若a=4.2.3,b=4.2.3,c= 治理前后的生物种类数S没有变化，生物个 log.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( 体总数由V1变为N2,生物丰富度指数由 A.a>b>c B.b>a>c 2.1提高到3.15，则 ( ) C.c>a>b D.b>c>a A.3N2=2N1 B.2N2=3N 2.(2024·北京卷)生物丰高度指数d入是 C.N2=N D.N=N 河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表 3.(2024·全国甲卷)已知a>1且10ga 示河流中的生物种类数与生物个体总数.生 1 5 物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 4.(2021·北京卷)已知f(x)=1gx|-kx- ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点； 2,给出下列四个结论： ④存在正数，使得f(x)恰有3个零点. ①当k=0时，f(x)恰有2个零点； 其中所有正确结论的序号是 ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点； 热点分类 考向探究 考向1基本初等函数的图象和性质 反思感悟0 核心提炼 1.指数函数、对数函数的图象与性质受底数a 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y= 的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时， l1og。x(a>0,且a≠1)互为反函数，其图象关于直 首先要看底数a的取值范围， 2.比较指数式、对数式的大小的方法是①能化 线y=x对称，它们的图象和性质分0<a<1,a> 1两种情况，着重关注两种函数图象的异同. 成同底数的先化成同底数的指数式或对数式，再利 用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入 【例1】(1)已知a,b满足log2a-loga.5b,则函 “1”或“0”等中间量比较大小 数y=a2与函数y=一logx在同一平面直 【跟踪训练1】(1)(2024·陕西西安二模)已知 角坐标系中的图象可能是 a=log0.91.1,b=0.8.2,c=1.2.1,则( A.c>a>b B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 005 (2)当x∈(0,1)时，不等式x2<1og。(x+1) (其中a>0且a≠1)恒成立，则a的取值范 围为 ( A.(,》 s分 C.(1,2) D.(1,2] 考向2函数的零点 C D 核心提炼 (2)(2024·安徽阜阳一模)设a=1og23,b 判断函数零点个数的方法 log12,c=lg15,则a,b,c的大小关系为 (1)利用函数零点存在定理判断 ( (2)代数法：求方程f(x)=0的实数根. A.a<b<c B.a<c<b (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数 C.b<a<c D.c<b<a y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出 马听课记录 零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函 数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. 角度1函数零点的判断 【例2】 (2024·广东湛江二模)已知函数 f(x)=|2-1|-a,g(x)=x2-4|x|+ 2一a,则 () 专题一 函数、导数、不等式一闭 A.当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个 听课记录 零点 B.当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 听课记录 反思感悟) 利用函数零点的情况求参数值（或取值范围）的 三种方法 利用函数零点存在定理构建不等式确 直接法 定参数的取值范围 角度2根据函数的零点求参数 将参数分离，转化成求函数的值域 分离参数法 问题 【例3】 (2024·陕西榆林二模)已知函数 先对解析式变形，在同一平面直角 f(x)=(x2-4x十m)(4-m-1)恰有3 数形结合法 坐标系中作出函数的图象，然后数 个零点，则整数m的取值个数是 ( 形结合求解 006 A.1 B.2 【跟踪训练2】(1)用二分法求方程1og4x一 C.3 D.4 1 听课记录 2x =0的近似解时，所取的第一个区间可 以是 () A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) (2)设方程3·log3x|=1的两根为x1, x2(x1<x2),则 () A.0Kx1<1z>3B.1>1 C.0<x1x2<1 D.x1+x2>4 角度3函数零点的代数式问题 (3)(2024·四川巴中一模)若函数f(x) 【例4】已知函数f(x)=log2|x1I,x∈(-1， 2ax2+3x-1在区间(-1,1)内恰有一个零 0)U(0,4],若关于x的方程f(x)=a有3 点，则实数a的取值集合为 () 个实数解x1xx,且x1<g<r,则6 A.{a|-1<a<2} 1 1 B.a-- 8或-1<a<2 一的最小值是 C.{a|-1≤a≤2) A.8 B.11 C.13 D.16 na=-8或-1a2 ☑一红④勾讲与练·高三二轮数学 考向3函数的实际应用 马听课记录 核心提炼 解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结 论，理清数量关系 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数 学模型. 反思感悟) (3)求模：求解数学模型，得出数学结论！ 构建函数模型解决实际问题的注意点 (4)还原：将得到的数学结论还原为实际问题的 (1)要正确选择相应变量得到函数模型. 意义. (2)注意根据题目条件构建恰当的函数模型 (3)不要忽视函数模型中变量的实际意义」 【例5】(1)(2024·河南新乡二模)某工厂产生 的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污 【跟踪训练3】(1)(2024·山西长治一模)研究 染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h) 人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x 之间的关系式为P=P。e“,其中P。,k是 (月)与肿瘤细胞含量f(x)的关系，其函数 正的常数，若在前5h消除了20%的污染 解析式为f(x)=ab',其中k>0,b>0,a 物，则常数k所在的区间为 为参数.经过测算，发现a=e(e为自然对数 ( 的底数).记x=1表示第一个月，若第二个 A偏 B结动 月的肿瘤细胞含量是第一个月的1，那么6 007 c.( 后) 的值为 (2)(多选)(2024·河南郑州一模)溶液酸碱 A.√5+1 B.W5-1 度是通过pH来计量的.pH的计算公式为 C.6+1 2 n6-1 pH=一lg[H门，其中[H门表示溶液中氢离 2 子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢 (2)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通 离子的浓度为10？摩尔/升，则纯净水的 过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进 pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH> 程中成指数级增加的靶标DNA实时监测， 7时，溶液呈碱性，当pH=7(例如：纯净水) 在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达 时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在 到阀初始数值时，DNA的数量X,与扩增次 6.5~8.5之间，则下列选项正确的是() 数n满足lgX,=nlg(1+p)+lgX。,其中 (参考数据：lg2≈0.3) X。为DNA的初始数量，p为扩增效率.已 A.若苏打水的pH是8，则苏打水中氢离子 知某被测标本DNA扩增16次后，数量变为 的浓度为108摩尔/升 原来的10000倍，则扩增效率p约为( B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×102摩 (参考数据：1025≈1.778,10025≈0.562) 尔/升，则胃酸的pH是1.6 A.22.2% B.43.8% C.若海水中氢离子的浓度是纯净水的101.6 C.56.2% D.77.8% 倍，则海水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩 学习至此，请完成课时作业2 尔/升，则该种水适合饮用 练 专题一函数、导数、不等式一闭f(x)=x3,f'(x)=3x2>0,所以 g(-2)+g(0)=g(-1)f(-1)=0, (logsa)2-5log2a-6=0=logza=-1 f(x)在（一∞，0），(0，十∞)上单调递 令x=y=1,得g(2)十g(0)=g(1)· 或log2a=6,又a>1,所以log2a=6 增，故D正确：若m<0,则当x>0时， f(1)=2,故g(1),f(1)≠0，从而 10g22i,故a=2i=64. f(x)=x3- m>0,当x<0时， f(-1)≠0，故g(-1)=0,令x=-1, 4.①②④ 得g(-1十y)十g(一1-y)=0,化简 解析：令f(x)=lgx|一k.x一2=0，可 f(x)=x-”<0,故A正确，C错 得g(一1一y)=一g(-1十y),故C正 转化成两个函数y1=1gx,y:= 确；令y=2,得g(x十2)十g(x一2)= kx十2的图象的交，点个数问题.对于 误.故选ABD. 0,所以g((1一x)十2)十g((1-x) 2)=0,即g(3-x)=-g(-1-x) ①，当k=0时，y2=2与y1=lgx的 (2)D因为f(x)= -lg(-x),x<0 g(-1十x),g(3-(2十x))=g(-1十 图象有2个交点，①正确；对于②，存在 sin x>0, k<0,使y2=kx+2与y1=1gx|的 所以x>0时，f(x)=sinx,其关于原 (2十x)),即g(1-x)=g(1+x),故 D正确.故选ACD. 图象相切，②正确；对于③，若k<0,则 点对称的函数为y=sinx(x<0),所 (2)BCD对于函数f(.x)有f(4 y1=lgx与y2=kx十2的图象最多有 以函数∫(x)的“和谐点对”的对数可 x)=f(x),则函数f(x)的图象关于 2个交点，③错误；对于④，当k>0时， 转化为函数y=sinx(x<0)与y 直线x=2对称，由f(2一x)=一f(x》 过点(0,2)存在函数y1=lgx(x≥ 一1g(一x)(x<0)的图象的交点的个 得函数f(x)的图象关于点(1,0)对 1)图象的切线，此时共有2个交点，当 数，作出y=sinx(x<0)与y 称，所以f(4一x)=一f(2一x),所以 直线斜率稍微小于相切时的斜率时， 一lg(-x)(x<0)的图象如图， f(2一x)=一f(一x),则f(4一x)= 就会有3个交点，故④正确. f(一x),故函数f(x)的周期为4，且 y=sin x(x<0) f(一x)=∫(x),故函数∫(x)为偶函 热点分类·考向探究 -4m/-2π/-10 -3氏 数，因为函数∫(x)在区间[一1,0]上 例1(1)B由log2a=log.sb得a>0, 单调递增，则函数∫(x)的大致图象 =-lg(-x) 如图， b>0,logza logo.36=-log2b= 由图可得两个图象的交，点有3个，即此 log:方，即ab=1,进而得a>1,0<b< 函数的“和谐点对”有3对.故选D. 1或b>1,0<a<1.当a>1,0<b<1 例4A令x-1=t,则x=t+1,t∈R, 时，两个函数都为增函数；当b>1, 原函数化为f(t十1)=e'-e‘十t3十 2∠10 12/3456 0<a1时，两个函数都为减函数.故 t+1,令g(t)=f(t+1)-1=e 选B. et+t3+1,显然g(-t)=e'-e- t3一t=一g(t),即函数g(t)是奇函 由对称性可得f(1)+f(2)+∫(3)+ (2Da=1og:8=log:(2×2）=1+ 数，又函数y=e,y= -e:y=1341 f(4)=0,所以2f(k)=[f(1)+ 3 1 都是R上的增函数，因此函数g(1)是 f(2)+f(3)+f(4)]×2+f(9)+ 10g2 =1十 R上的增函数，不等式f(2x一4)十 log3 26=log,12- f(10)=0+f(1)+f(2)=f(2)≠0 f(2-3x)≥2台f(2.x-4)-1+f(2 故A不正确；因为f(0.9)十f(1.1)= 1og(8×2）=1+og号=1+ 3 3x)-1≥0，则g(2x-5)+g(1 0,f(1.1)>f(1.2),所以f(0.9)+ 3x)≥0台g(2x-5)≥-g(1-3x) f(1.2)<0,故B正确；又f(log280)= 1 g(3.x-1),于是2x-5≥3.x-1,解得 f(log2 16+l0g2 5)=f(4+log2 5)= x≤一4，所以x的取值范围是（一∞. log 8-Ig15-log (10x)=1+ 4.故选A. f(1og25),2 =10g222=10g2√32> 3 1 例5BC对于A,因为g(1一2x)为偶函 log25>2,所以f(2.5)>f(1og280),故 log log 10g 数，所以g(x)的图象关于直线x=1 对称.若f(x)的图象关于直线x= C正确；f(ln2》 =f(-n2)=f(ln2), log38<log310,.a>b>c,故选D. 对称，则其导函数g(x)的图象关于点 跟踪训练1(1)C因为y=log.9x在 (1,0)对称，这与g(x)的图象关于直 且01n2≤0.7，因为321> ,所 (0,十○)上单调递减，所以a= 线x=1对称矛盾，所以A错误；对于 B,因为∫(x)一x为偶函数，所以 loga.1.1<log.g1=0.因为y=0.8 f(x)一x=f(-x)+x,即f(x) 以sin3 >sin1>sin4=乞>0.7， 是R上的单调递减函数，所以O<b= f(-x)=2x,所以fx）_f(-x 故1>sin1>ln2>0,所以f(sin1) 0.82<0.8°=1.因为y=1.2是R 1 上的单调递增函数，所以1=1.2”< (x)+f(一2=2，所以B正确；对于 f(n2)故D正确.故选BCD. 1.20.1=c,所以c>b>a.故选C. 微专题2基本初等函数 (2)D作出函数y=z2与y=log.(x C,因为f(x)一x为偶函数，所以 1)的图象如图， 函数与方程 f'(x)一x'=g(x)一1为奇函数，所以 y=log (x+1) g(x)一1的图象关于点(0,0)对称，所 真题演练·体验高考 以g(x)的图象关于点(0,1)对称，所 以g(x)十g(x)=2,又g(x)的图象 1.B 因为y=4.2在R上递增，且 关于直线x=1对称，所以g(1十(x十 一0.3<0<0.3，所以04.23 1))=g(1一(x十1))，所以g(x十2) 4.2°<4.2.3，所以0<4.20.3<1< g(1+(x+1)=g(1-(x+1)= 4.23,即0<a<1<b,因为y= g(一x)=2-g(x),所以g(x十2)十 log.2x在(0，十∞)上递增，且0< g(x)=2,所以C正确；对于D,由 0.2<1,所以1og4.20.2<1og4.21=0,即 C知，g(x)的图象关于点(0,1)对称， c<0,所以b>a>c.故选B. 要使当x∈(0,1)时，不等式x2< g(0)=1,但∫(0)=1无法确定是否成 -1 log。(x十1)恒成立，则a>1且 立，所以D错误.故选BC. 2.D由题意，得S In N =2.1. W,-3.15. log(1+1)=log.2≥1，解得1<a≤2， 跟踪训练3(1)ACD。令y 一y,则 若S不变，则2.1lnN,=3.15lnN2, .a的取值范围为(1,2.故选D. g(-y)+g(x+y)=g(x)f(-y), 即2lnN1=3lnN2,所以N=N.故 例2D函数f(x),g(x)的零点个数转 注意到g(x)不恒为0，故f(y)= 选D. 化为y=22一1，y=x2一4|x+2的 f(一y),故A正确；因为f(x)的图象 3.64 图象与y=a的图象的公共，点的个数， 关于点(2,0)对称，所以f(2)=0,令 1 作出y=2-1|,y=x2-4|x十2的 x=0,y=2,得g(2)十g(一2) 解析：由题意得1oga log。4 大致图象，如图所示，由图可知，当 g(0)·f(2)=0,故g(-2)=一1≠ 3 2l0g2a=- 2,整理得 0 g(2),故B错误；令x=y=一1，得 g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只 logza 有1个零，点：当g(x)有3个零点时， 一红因勾讲与练·高三二轮数学 -258- f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零 ,点时，g(x)有4个零点.故选D. 以用二分法求方程10g1一2元 1 10一8，即苏打水中氢离子的浓度为 =0的 108摩尔/升，所以A正确；对于B,若 =x2-4lx+2 y个 y=2x-11 近似解时，所取的第一个区间可以是 胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩 (1,2).故选B. 尔/升，则pH=-lg(2.5×102)= (2)C由3·|logx=1可得 -lg2.5-lg102=2-(1g10-lg4)= 1g==(侵)广，在同-辛面直 1+21g2≈1.6，所以B正确；对于C,若 海水中氢离子的浓度是纯净水的101 角坐标系中画出函数y=|logx|和 倍，则海水中氢离子浓度是1018· 例3B令f(x)=(x2-4x十m)(43 的图象，如图所示」 107=1086,因此pH=-1g1086 y= m-1)=0,得m=一x2十4.x或m 8.6,即海水的pH是8.6，所以C正 确；对于D,若某种水中氢离子的浓度 4音-1.作出g(x)=-x+4虹， 为4×107摩尔/升，则pH=一1g(4× h(x)=43一1的大致图象，如图所示， 101)=-lg4-lg107=7-2lg2≈ y↑ y=log 6.4,而6.4不在6.5~8.5范围内，即 可得该种水不适合饮用，所以D错误」 4 y=h(x) 故选ABC. 0 跟踪训练3(1)D依题意， y=g(x) 图为log1<(）广=，lg2 [f(1)=ke- f(2)=e6而f(2)=f1,则 34x 1og32> (）-由图象可知，0< e62+611 ,即b2-b1-1=0, e y=-i7 x1<1<x2<2,所以1<x1十x2<3, 这两个函数的图象的交点为(0,0)， 故A,D错误；log3（x1x2)=logx1十 又b>0,解得61=5，所以6 2 (3,3),因为g(x)mx=4,h(.x)>-1, 所以由图可知m的取值范围是（一1， =- ()+(). 因为 0)U(0,3)U(3,4).故整数m=1或 成选D m=2,个数为2.故选B. <所以（号广>（） ,所以 (2)D由题意知，lg(10000X。)= 例4C由函数f(x)=log2|x,x∈ (-1,0)U(0,4],作出函数f(x)的大 log(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,即 16lg(1+p)+lgX,即lg10十 1gX。=16lg(1+p)+1gX。,即4= 致图象，如图所示，由图可知xg∈(1， ,故B错误，C正确.故选C 4],x2x3=1,x1=一x2,则x1x2x3= x 16lg1+p),所以1g1+p)= 1 1x2十x (3)D由函数f(x)=2ax2+3.x一1， x1,因为 0.25,则1+p=1025≈1.778，解得 TIT3 T1T2 I1T23 若a=0,可得f(x)=3.x一1，令 p≈0.778=77.8%.故选D. 十=-+=-1- 1 f(x)=0,即3x一1=0，解得x= 3 微专题3不等式 -1-x,所以16 1 1 符合题意；若a≠0，令f(x)=0,即 2ax2十3.x-1=0,可得△=9十8a,当 真题演练·体验高考 1+x+16 △=0时，9十8a=0,解得a= 8此 1.C因为N={x|x2-x-6≥0} 设函数g(x)=1十x2十 (-∞，-2]U[3,+o∞)，M={-2, 161<x≤4，则g'(x)=2x 16 9 时f(x)=一 x+3x-1,解得x -1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故 选C. 2x3-16 2 9 当1<x<2时，g’(x)<0: 且 2.C对于A,y=x2+2.x十4=(x+ 3 ,符合题意：当△>0时，a>一 x 1)十3≥3，当且仅当x=一1时取等 当2<x4时，g(x)>0,所以 a≠0，则满足f(-1)·f(1)=(2u一 号，所以其最小值为3，A不符合题意 g(x)mim=g(2)=1+4+8=13,即 4)(2a十2)0，解得-1≤a≤2且a≠ 对于B,因为0sinx1,y=|sinx|+ 161 】的最小值是13，故 0,若a=-1,可得f(.x)=一2.x2+ 3x-1,令f(x)=0,即2x2-3x+1 simx≥2Wf=4,当且仅当sinx= 选C. 1 2时取等号，等号取不到，所以其最小 0,解得x=1或x=2,其中x=2∈ 值不为4，B不符合题意；对于C,因为 (一1,1)，符合题意；若a=2,可得 函数定义域为R,而2>0，y=2十 )=x) f(x)=4x3+3x-1,令f(x)=0,即 22-=2+ =2 4x2+3x-1=0,解得x=-1或x= 2≥24=4，当且仅当 ,其中x=1 1 ∈(-11)，符合题意 2=2,即x=1时取等号，所以其最小 值为4，C符合题意；对于D,y=lnx十 1Ox21 4 综上可得，实数a的取值范围为 nz函数定义城为(0，DU(1,十o∞)， 4 跟踪训练2（1)B令f(x)=log1x aa=号或-1a<2小故选D 而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=一1 例5(1)B由条件可知，当t=0时，P= 时y=一5，D不符合题意.故选C. 27,因为函数y=10gx,y=一27在 (0,十∞)上都是增函数，所以函数 P,由题意可知，号P,=P,e,得 3.BC方法一 由x2十y2-xy=1变形 1 5k=In- ,即=1 5 5 可得+)-1=3≤3（空）， f(x)=logx- 在(0，十∞)上是增 2x ln，因为 解得-2≤x十y≤2，当且仅当x=y= 函数，f(1)=一 1 -1时，x+y=-2,当且仅当x=y= 2 <0,f(2)=l0g12 >e,所以 1时，x十y=2,所以A错误，B正确； 111 >0,所以函数f(x)= 5 1 n<4,所以25<k<20故选B. 由x2+y2-xy=1变形可得(x2十 4244 1og1x22在区间(1,2)上有唯一零点，所 (2)ABC对于A,若苏打水的pH是 十义，解得2+y≤ y2)-1=xy≤2 8,即pH=-lg[H+]=8,所以[H+]= 2,当且仅当x=y=士1时取等号，所 -259- 参考答案一业