微专题1 函数的图象与性质-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

专题一函数、导数、不等式 微专题1函数的图象与性质 考情分析 1.高考对此部分内容的考查多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分 段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别.难度中档及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题 真题演练 体验高考 1.(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(e- A.I(x)=e-z' B.f(x)=cosx十x2 ex)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 x2+1 x2+1 C.f(x)=e'-z x+1 D.f(x)=sin 2+4x 3.(2024·新课标I卷)已知函数f（x)= |-x2-2ax-a,x<0 在R上单调递增，则a e+ln(x+1),x≥0 的取值范围是 A.(-∞，0] B.[-1,0] 001 产八 C.[-1,1] D.[0,+) 4.(2022·全国乙卷理)已知函数f(x),g(x)的 定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于 2.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 直线x=2对称，g(2)=4,则f(k)=() ( A.-21 B.-22 C.-23D.-24 热点分类 考向探究 考向1函数的概念与表示 【例1】(1)已知定义在R上的奇函数f(x)= 14-2x+ 核心提炼 则f(giog)的值为 1.复合函数的定义域 g(x),x<0, (1)若f(x)的定义域为[m,n],则y=f(g(x) 中，由m≤g(x)≤n解得的x的范围即为 A.-2 B.2 C.-4 D.4 f(g(x)的定义域. (2)已知函数f(x+1)的定义域为[1,7]，则 (2)若f(g(x)的定义域为[m,n],则由m≤x≤ 函数h(x)=f(2x)+√9一x2的定义域为 n得到的g(x)的范围即为f(x)的定义域. () 2.对于分段函数的求值或解不等式问题，必须依据 A.[4,16] 条件准确地找出利用哪一段求解. B.(-∞，1]U[3,+∞) 专题一函数、导数、不等式一闭 C.[1,3] 考向2函数的图象 D.[3,4] 核心提炼 (3)(2024·四川绵阳三模)已知函数 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图 lg(-x+1),x≤0， f(x)= 若存在x。使得 象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、 -ax,x>0, 对称变换。 f(xo)<0,则实数a的取值范围是 ( 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作 A.(-∞，-1] B.(-c∞，0) 图时要准确描述图象的特点· C.[0,+∞) D.(0,+∞) 角度1函数图象的识别 听课记录 【例2】(1)(2024·天津和平区一模)函数 f(x)=z十2的图象大致是 反思感悟) 1.形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后 002 外的原则. 2.分段函数的注意事项：①注意分段求解不等 式时自变量的取值范围的大前提；②利用函数性质 转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将 所求问题简单化： (2)(2024·陕西西安二 模)已知函数f(x)的图 【跟踪训练1】 (1)(2024·北京西城区一模)已 象如图所示，则函数 x2+x,-2<x<0, 知函数f(x)= 若f(x) f(x)的解析式可能为 √x,0≤x<c, A.f(x)=cos 2x.(e*-e * 存在最小值，则c的最大值为 x2+1 A后 B B.f(x)=sin2x·ln 1 C.f(c)=e'te D.2 2 (2)(2024·河南新乡二模)函数f(x)=[x] D.f)=1 ·l x2+1 被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表 马听课记录 示不大于实数x的最大整数.若Hm∈ 0,+o∞)，满足[x]+[x]≤m+ ,则x的 取值范围是 A.[-1,2] B.(-1,2) C.[-2,2) D.(-2,2] ☑一红④勾讲与练·高三二轮数学 角度2函数图象的应用 考向3函数的图象与性质 【例3】函数f(x)的定义域为R,满足f(x) 核心提炼 2f(x-1),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(1 1.函数的奇偶性 x).若对任意x∈（一∞，m],都有f(x)≤ (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 25,则m的最大值是 1 f(x)是偶函数台f(一x)=f(x)=f(x|): f(.x)是奇函数台f(-x)=一f(x). 听课记录 (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法 (如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x十 2a)=f(x),则函数y=f(x)的周期为2al. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a十x)十f(a一 x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b) 对称. 反思感悟0 (2)若函数f(x)满足关系式f(a十x)=f(b 1.确定函数图象的主要方法是排除法，即利用 函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性以及一些特 x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a十b 2 殊点，排除不符合要求的图象。 对称。 2.函数图象的应用主要体现为数形结合思想， 003 角度1函数的奇偶性与单调性 借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式 恒成立、最值、交点、方程的根等问题， 【例4】(2024·内蒙古呼和浩特一模)已知定 义在R上的函数f(x)=e1一e-x+(x 【跟踪训练2】(1)（多选）(2024·安徽合肥 一 1)3+x,满足不等式f(2x一4)+f(2一 模)函数f(x)=x3_m(m∈R)的图象可能 3x)≥2，则x的取值范围是 A.（-∞，-4] B.(-∞，2) 是 c(, 听课记录 (2)若函数f(x)图象上存在不同两点M,N 关于原点对称，则称点对[M,N]是函数 f(x)的一对“和谐点对”（点对[M,N]与 [N,M]看作同一对“和谐点对”)，已知函数 角度2函数的周期性与对称性 一1g(一x),x0, 则此函数的“和 【例5】（多选）(2024·湖南邵阳一模)已知函 f(x)= sin x,>0, 数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R, 谐点对”有 且f(x)一x与g(1一2x)均为偶函数，则下 A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 列说法一定正确的有 ( 专题一 函数、导数、不等式一闭 A.f(x)的图象关于直线x=1对称 【跟踪训练3】(1)（多选）(2024·江苏南通二 B.f的图象关于点(0,1)对称 模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R, f(x)的图象关于点(2,0)对称，g(0)= C.g(x+2)+g(x)=2 g(2)=1,g(x+y)+g（x-y)=g(x)· D.f(0)=1 f(y),则 () 听课记录 A.f(x)为偶函数 B.g(x)为偶函数 C.g(-1-x)=-g(-1十x) D.g(1-x)=g(1+x) (2)(多选)(2024·浙江绍兴二模)已知定义 在R上的函数f(x)在区间[一1,0]上单调 递增，且满足f(4一x)=f(x),f(2一 反思感悟) x)=一f(x),则 ( 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称台 f(x)=f(2a-x)台f(a-x)=f(a十x);若函数 A2f)=0 y=f(x)满足f(a十x)=f(b-x),则y=f(x)的 B.f(0.9)+f(1.2)<0 图象关于直线x=a十b 2对称. C.f(2.5)>f(log280) 2.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称曰 D.f(si 1) 004 f(a+x)+f(a-x)=26626-f(x)=f(2a- x);若函数y=f(x)满足f(a十x)+f(b-x)=c, 则y=f)的图套关千点（士中，）对称。 学习至此，请完成课时作业1 微专题2基本初等函数、函数与方程 考情分析 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现. 真题演练 体验高考 1.(2024·天津卷)若a=4.2.3,b=4.2.3,c= 治理前后的生物种类数S没有变化，生物个 log.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( 体总数由V1变为N2,生物丰富度指数由 A.a>b>c B.b>a>c 2.1提高到3.15，则 ( ) C.c>a>b D.b>c>a A.3N2=2N1 B.2N2=3N 2.(2024·北京卷)生物丰高度指数d入是 C.N2=N D.N=N 河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表 3.(2024·全国甲卷)已知a>1且10ga 示河流中的生物种类数与生物个体总数.生 1 5 物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流 ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学讲义手册 专题一函数、导数、 -1,f(4)=f(0)=1,所以登f(k)= []+[r]sm+ 可得[x]+[x] 不等式 6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6× 2→([x]+2)([x]-1)≤0，所以-2 (-1)+6×(-3)+5×(-1)+5× 微专题1函数的图象与性质 [x]≤1，故一2x<2.故选C. 1= 24.故选D. 例2(1)Bf(x)的定义域为R, 真题演练·体验高考 热点分类·考向探究 (一x) f(-x)= 3 x+2--x+2 1.Bf(-x)=-x2+(e-e)· 4 例1(10C由于1og:5<0,所以 一f(x),·f(x)为定义在R上的奇函 sin(-x)=-x2+(e'-e)sin x= 数，图象关于坐标原，点对称，C错误；当 f(x),又函数定义域为「一2.8,2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A,C,又 g(og）=f(lo),由于f) x>0时，f(x)= x+2f'(x)= f)=-1+(e-)m1>-1+ 为奇画数，所以f(og) 3.x2(x+2)-x32.x2(x+3) (x+2)2 -f(-1g号)-f(og) 、(x+2)2>0, (e-)sim晋=号-1-> 1 1 ∴.f(x)在(0，十∞)上单调递增，A,D 错误，B正确.故选B. 20>0,故可排除D.故选B. f(og:号）=4-2”=1-4X (2)B对于A,函数f(x)=cos2x· (e一e)的定义域为R,而题中函数 2.B对于A,f(x)=e2 x2+1 ,函数定义 2=4-4× =一1，所以 图象在自变量为0时无意义，不符合题 意，排除；对于C,当x>0时，f(x)= 城为R,f(-1)=e-1. 2=,f(1) g(log）=f(log) e+e ->0,与题中函数图象不符，排 e-1 ,则f(-1)≠f(1),f(x)不是偶 f(og)-1f(s(log号) 除：对于D,当x>0时，f(x)= x 函数，故A错误；对于B,f(x)= f(1)=4-23=-4.故选C. In 2 cos x+x2 (2)C函数f(x+1)的定义域为[1， =1[nx2-ln(x2+1)]<0, 十1，函数定义城为R,且 x2+1x 7],则2x十1≤8，因此在f(2x)中 与题中函数图象不符，排除.故选B. f(-x)=os(-x)+(-x)2 2≤2x8,函数h(x)=f(2x)十 (-x)2+1 V9-x有意义，必有≤2S8,解 11 例3 l9-x2≥0. cos x+x2 得1x≤3，所以函数h(x)的定义域 解析：因为f(x)=2f(x一1)，且当 x2+1 =f(x),则f(x)为偶函数， 为[1,3].故选C. x∈(0,1时，f(x)=x(1一x),所以当 x∈(1,2]时，x一1∈(0,1]，则f(x) 故B正确：对于C,f(c)=e一， (3)Dx3-a.x=x(x2一a),当a0 x十1，函数 时，若x>0,则x(x2一a)>0,f(.x)的 2f(x-1)=2(x-1)(2-x)= 图象如图， 。17 定义域为{x|x≠一1}，不关于原点对 称，则f(x)不是偶函数，故C错误；对 (-1,0]时，x+1∈(0,1]，则f(x)= 于D,f(x)=sinx+4 ,函数定义域为 1 1 2(x+ <工> R,f(1)= sin 1+4 2,f(-1) 112 e -sin 1-4 ,则f(1)≠f(一1)，f(x)不 此时f(x)≥0恒成立，不满足题意 x-1∈(1,2]，则f(x)=2f(.x-1)= e 是偶函数，故D错误.故选B. 当a>0时，x(x2一a)=(x十√a)· x·(x一√a),f(x)的图象如图， 2[-2-)+]=-4(x 3.B因为f(x)在R上单调递增，且 x≥0时，f(.x)=e+ln(x+1)单调递 2）+1[o所以当f)-8 -2a 增，则需满足{厂2X(二≥0，解得 时-4(e-号)广+1=解得x -ae°+ln1, a 一1≤a≤0，即a的取值范围是[一1， 昌或工-，作曲高教fx)的大或图 0].故选B. 当0<x。<Wa时，f(xo)<0.故实数a 象，如图所示 4.D由y=g(x)的图象关于直线x=2 的取值范围是(0，十∞).故选D. 对称，可得g(2十x)=g(2-x).又 跟踪训练1（1)A当一2<x<0时， f(.x)十g(2-x)=5,所以f(-x)+ 4,故当 25 g(2+x)=5,所以f(-x)=f(x).由 g(x)-f(x-4)=7得g(2+x) 0 211143x f(x-2)=7,又f(x)+g(2-x)=5, x=一 2时，f(x)有最小值-子：当 55 即f(x)+g(2+x)=5,所以f(x)+ 由图可知，若对任意x∈（一∞，m],都 0≤x<c时，f(x)=一√x单调递减， f(x-2)=-2.由f(x)+f(x 2)=-2得f(x-2)十f(x-4)= 所以一√<f(.x)≤0，由题意知f(x) 有f(x)≤6. 25,则必有m≤ 5,所以m 一2，所以f(x一4)=f(.x),所以函数 存在最小值，则一≥一 f(x)是以4为周期的周期函数.由 4,解得0 的最大位 f(x)+g(2-x)=5可得f(0)十 g(2)=5,又g(2)=4,所以可得 ,1,即c的最大值为6.故选A 跟踪训练2(1)ABD由题意可知，函数 f(x)的定义域为（一∞，0）U(0, f(0)=1,又f(x)+f(x+2)=-2, 十∞)，若m>0,则f'(x)=3.x2+ 所以f(0)十f(2)=-2,f(一1)十 (2)CYm∈(0，+∞)，m+1 =m十 f(1)=-2,得f(2)=-3,f(1)= 上≥2，当且仅当m=1时取等号，由 ”>0,f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上 f(-1)=-1,又f(3)=f(-1)= 单调递增，故B正确；若m=0,则 -257- 参考答案一业 f(x)=x3,f'(x)=3x2>0,所以 g(-2)+g(0)=g(-1)f(-1)=0, (logsa)2-5log2a-6=0=logza=-1 f(x)在（一∞，0），(0，十∞)上单调递 令x=y=1,得g(2)十g(0)=g(1)· 或log2a=6,又a>1,所以log2a=6 增，故D正确：若m<0,则当x>0时， f(1)=2,故g(1),f(1)≠0，从而 10g22i,故a=2i=64. f(x)=x3- m>0,当x<0时， f(-1)≠0，故g(-1)=0,令x=-1, 4.①②④ 得g(-1十y)十g(一1-y)=0,化简 解析：令f(x)=lgx|一k.x一2=0，可 f(x)=x-”<0,故A正确，C错 得g(一1一y)=一g(-1十y),故C正 转化成两个函数y1=1gx,y:= 确；令y=2,得g(x十2)十g(x一2)= kx十2的图象的交，点个数问题.对于 误.故选ABD. 0,所以g((1一x)十2)十g((1-x) 2)=0,即g(3-x)=-g(-1-x) ①，当k=0时，y2=2与y1=lgx的 (2)D因为f(x)= -lg(-x),x<0 g(-1十x),g(3-(2十x))=g(-1十 图象有2个交点，①正确；对于②，存在 sin x>0, k<0,使y2=kx+2与y1=1gx|的 所以x>0时，f(x)=sinx,其关于原 (2十x)),即g(1-x)=g(1+x),故 D正确.故选ACD. 图象相切，②正确；对于③，若k<0,则 点对称的函数为y=sinx(x<0),所 (2)BCD对于函数f(.x)有f(4 y1=lgx与y2=kx十2的图象最多有 以函数∫(x)的“和谐点对”的对数可 x)=f(x),则函数f(x)的图象关于 2个交点，③错误；对于④，当k>0时， 转化为函数y=sinx(x<0)与y 直线x=2对称，由f(2一x)=一f(x》 过点(0,2)存在函数y1=lgx(x≥ 一1g(一x)(x<0)的图象的交点的个 得函数f(x)的图象关于点(1,0)对 1)图象的切线，此时共有2个交点，当 数，作出y=sinx(x<0)与y 称，所以f(4一x)=一f(2一x),所以 直线斜率稍微小于相切时的斜率时， 一lg(-x)(x<0)的图象如图， f(2一x)=一f(一x),则f(4一x)= 就会有3个交点，故④正确. f(一x),故函数f(x)的周期为4，且 y=sin x(x<0) f(一x)=∫(x),故函数∫(x)为偶函 热点分类·考向探究 -4m/-2π/-10 -3氏 数，因为函数∫(x)在区间[一1,0]上 例1(1)B由log2a=log.sb得a>0, 单调递增，则函数∫(x)的大致图象 =-lg(-x) 如图， b>0,logza logo.36=-log2b= 由图可得两个图象的交，点有3个，即此 log:方，即ab=1,进而得a>1,0<b< 函数的“和谐点对”有3对.故选D. 1或b>1,0<a<1.当a>1,0<b<1 例4A令x-1=t,则x=t+1,t∈R, 时，两个函数都为增函数；当b>1, 原函数化为f(t十1)=e'-e‘十t3十 2∠10 12/3456 0<a1时，两个函数都为减函数.故 t+1,令g(t)=f(t+1)-1=e 选B. et+t3+1,显然g(-t)=e'-e- t3一t=一g(t),即函数g(t)是奇函 由对称性可得f(1)+f(2)+∫(3)+ (2Da=1og:8=log:(2×2）=1+ 数，又函数y=e,y= -e:y=1341 f(4)=0,所以2f(k)=[f(1)+ 3 1 都是R上的增函数，因此函数g(1)是 f(2)+f(3)+f(4)]×2+f(9)+ 10g2 =1十 R上的增函数，不等式f(2x一4)十 log3 26=log,12- f(10)=0+f(1)+f(2)=f(2)≠0 f(2-3x)≥2台f(2.x-4)-1+f(2 故A不正确；因为f(0.9)十f(1.1)= 1og(8×2）=1+og号=1+ 3 3x)-1≥0，则g(2x-5)+g(1 0,f(1.1)>f(1.2),所以f(0.9)+ 3x)≥0台g(2x-5)≥-g(1-3x) f(1.2)<0,故B正确；又f(log280)= 1 g(3.x-1),于是2x-5≥3.x-1,解得 f(log2 16+l0g2 5)=f(4+log2 5)= x≤一4，所以x的取值范围是（一∞. log 8-Ig15-log (10x)=1+ 4.故选A. f(1og25),2 =10g222=10g2√32> 3 1 例5BC对于A,因为g(1一2x)为偶函 log25>2,所以f(2.5)>f(1og280),故 log log 10g 数，所以g(x)的图象关于直线x=1 对称.若f(x)的图象关于直线x= C正确；f(ln2》 =f(-n2)=f(ln2), log38<log310,.a>b>c,故选D. 对称，则其导函数g(x)的图象关于点 跟踪训练1(1)C因为y=log.9x在 (1,0)对称，这与g(x)的图象关于直 且01n2≤0.7，因为321> ,所 (0,十○)上单调递减，所以a= 线x=1对称矛盾，所以A错误；对于 B,因为∫(x)一x为偶函数，所以 loga.1.1<log.g1=0.因为y=0.8 f(x)一x=f(-x)+x,即f(x) 以sin3 >sin1>sin4=乞>0.7， 是R上的单调递减函数，所以O<b= f(-x)=2x,所以fx）_f(-x 故1>sin1>ln2>0,所以f(sin1) 0.82<0.8°=1.因为y=1.2是R 1 上的单调递增函数，所以1=1.2”< (x)+f(一2=2，所以B正确；对于 f(n2)故D正确.故选BCD. 1.20.1=c,所以c>b>a.故选C. 微专题2基本初等函数 (2)D作出函数y=z2与y=log.(x C,因为f(x)一x为偶函数，所以 1)的图象如图， 函数与方程 f'(x)一x'=g(x)一1为奇函数，所以 y=log (x+1) g(x)一1的图象关于点(0,0)对称，所 真题演练·体验高考 以g(x)的图象关于点(0,1)对称，所 以g(x)十g(x)=2,又g(x)的图象 1.B 因为y=4.2在R上递增，且 关于直线x=1对称，所以g(1十(x十 一0.3<0<0.3，所以04.23 1))=g(1一(x十1))，所以g(x十2) 4.2°<4.2.3，所以0<4.20.3<1< g(1+(x+1)=g(1-(x+1)= 4.23,即0<a<1<b,因为y= g(一x)=2-g(x),所以g(x十2)十 log.2x在(0，十∞)上递增，且0< g(x)=2,所以C正确；对于D,由 0.2<1,所以1og4.20.2<1og4.21=0,即 C知，g(x)的图象关于点(0,1)对称， c<0,所以b>a>c.故选B. 要使当x∈(0,1)时，不等式x2< g(0)=1,但∫(0)=1无法确定是否成 -1 log。(x十1)恒成立，则a>1且 立，所以D错误.故选BC. 2.D由题意，得S In N =2.1. W,-3.15. log(1+1)=log.2≥1，解得1<a≤2， 跟踪训练3(1)ACD。令y 一y,则 若S不变，则2.1lnN,=3.15lnN2, .a的取值范围为(1,2.故选D. g(-y)+g(x+y)=g(x)f(-y), 即2lnN1=3lnN2,所以N=N.故 例2D函数f(x),g(x)的零点个数转 注意到g(x)不恒为0，故f(y)= 选D. 化为y=22一1，y=x2一4|x+2的 f(一y),故A正确；因为f(x)的图象 3.64 图象与y=a的图象的公共，点的个数， 关于点(2,0)对称，所以f(2)=0,令 1 作出y=2-1|,y=x2-4|x十2的 x=0,y=2,得g(2)十g(一2) 解析：由题意得1oga log。4 大致图象，如图所示，由图可知，当 g(0)·f(2)=0,故g(-2)=一1≠ 3 2l0g2a=- 2,整理得 0 g(2),故B错误；令x=y=一1，得 g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只 logza 有1个零，点：当g(x)有3个零点时， 一红因勾讲与练·高三二轮数学 -258-