专题 5.7 实际问题与一元一次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.7 实际问题与一元一次方程 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1 【题型1】配套问题 2 【小结归纳】 2 【题型2】工程问题 2 【小结归纳】 3 【题型3】销售盈亏问题 3 【小结归纳】 3 【题型4】比赛积分问题 4 【小结归纳】 5 【题型5】方案选择问题 5 【小结归纳】 6 【题型6】行程问题 6 【小结归纳】 6 【题型7】数字问题 6 【小结归纳】 7 【题型8】古代问题 7 【小结归纳】 7 【题型9】数轴上的动点问题 8 【小结归纳】 8 【题型10】生活中的阶梯计价问题 8 【小结归纳】 9 二．同步练习​ 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 12 一．知识梳理与题型分类精析 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 即： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 【题型1】配套问题 【例题1】（人教版七上133页例题改编）（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）乐业镇准备在敬老院开展重阳节活动，主办方计划为每位参与者分发糕点礼盒．已知制作1块大、小糕点分别要用面粉．现共用面粉制作糕点，其中大糕点数量是小糕点数量的一半．若每位参与者获得2个糕点礼盒，每个礼盒装有5块大糕点和8块小糕点，则这批糕点装成的礼盒够发给多少人？ 【小结归纳】 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据，按“1配n”比例建立数量关系，如：一个盒身配两个盒底得到等量关系：盒底数量=2倍盒身数量 【题型2】工程问题 【例题2】（人教版七上133页例题改编）（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． （1）甲、乙两公司合作需要多少天完成？ （2）若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． （1）甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ （2）甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ （3）如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型3】销售盈亏问题 【例题3】（人教版七上135页例题改编）（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． （1）国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． （2）若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） （1）商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ （2）商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【小结归纳】 常见等量关系：利润=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型4】比赛积分问题 【例题4】（人教版七上137页探究2改编）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了4个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 92 C 15 5 60 D 14． 6 52 根据表中的信息解答下列问题： （1）参赛者E得68分，求他答对了几道题？ （2）参赛者F说他答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，你认为可能吗？请你利用所学的一元一次方程知识来说明你的理由． 【变式1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． （1）设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 （2）求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 【变式2】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． （1）必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； （2）若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【小结归纳】 经常用到的等量关系：总积分=胜场积分+负场积分=胜场数×单场胜分+负场数×单场负分 【题型5】方案选择问题 【例题5】（人教版七上139页练习2改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；第二种售价300元，每月包含20次．两种月票超出每月包含次数后，都需要另外购票，票价为25元/次．某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． （1）若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ （2）现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： （1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？ （2）用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【小结归纳】 常用的等量关系：方案A费用=方案B费用；再根据题的条件比较大小从而进行方案的选择； 还有等量关系：各方案费用=固定费+变量费×数量等等 【题型6】行程问题 【例题6】（人教版七上131页综合运用改编）（23-24七年级上·吉林·期中）张华和李明登一座山，张华每分钟登高米，并且先出发分钟，李明每分钟登高米，两人同时登上山顶．求山高． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业），两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． （1）若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ （2）若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． （1）求船在静水中的平均速度． （2）求甲、乙两码头之间的距离． 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型7】数字问题 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 【变式1】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． （1）请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； （2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【变式2】（24-25七年级上·河南焦作·期中）有一列数，按一定的规律排列：，其中某三个相邻的数的和是，这三个数分别是多少？ 【小结归纳】 常见的等量关系：（1）两位数 十位数字个位数字；（2）新数（数字调换）-原数=差值. 【题型8】古代问题 【例题8】（24-25七年级上·全国·期末）（我国古代问题）1跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？ 这道题选自我国元代数学家朱世杰所著的算学启蒙（年）．原题是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”题中的“里”是我国古代长度单位． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【小结归纳】 首先翻译古汉语为数学关系，比如：鸡兔同笼：鸡头+兔头=总头数，2×鸡数+4×兔数=总脚数；用一个等量关系设未知数，另一个等量关系列方程即可. 【题型9】数轴上的动点问题 【例题9】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）数轴上点 A、B、C、D 对应的数为，其中： 是最大的负整数； 满足 ，且 （1）求 的值； （2）点A 以每秒 3 单位向左运动，点 C 以每秒 5 单位向左运动，求当 A、C 距离为 11 时，运动时间； 【变式1】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． （1）数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； （2）经过几秒，点M，N的距离为5？ （3）经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 【变式2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． （1）直接写出线段___________， ___________； （2）设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 【小结归纳】 数量关系：两点之间的距离等于两点间表示的数之差的绝对值： 等量关系：（1）动点坐标=初始坐标+速度×时间；（2）相遇时两动点坐标相等. 【题型10】生活中的阶梯计价问题 【例题10】（24-25七年级上·北京大兴·期末）居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准（按照年用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三个阶梯，户内人口不超过5人）． 收费方式 年用水量 费用/（元） 第一阶梯 含 5 第二阶梯 含 7 第三阶梯 260以上 9 已知小兴家1月份至11月份（含11月份）累计用水量为． （1）若12月份用水量为，则小兴家12月份应缴水费 元； （2）若小兴家这一年的水费为970元，求小兴家12月份的用水量是多少？ 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． （1）求，的值； （2）如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【小结归纳】 基本等量关系：总费用=各阶梯费用之和；比如：分档的电费：总费=第一档单价×限额+第二档单价×（用量-限额）；超量部分单独计价. 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（10-11七年级上·甘肃白银·期末）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进价是（    ）． A．95元 B．90元 C．85元 D．80元 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作3个大花瓶或8个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，可得方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 4．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）在数轴上，点A从表示的点出发，速度为每秒3个单位长度，B从表示7的点出发，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，相向运动，当A，B两点相距4个单位长度时运动的时间为（   ） A．2秒或4秒 B．3秒或4秒 C．2秒或5秒 D．3秒或5秒 6．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有 天是晴天． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字与十位数字之和为15，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是 ． 9．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年，之后从小学到读完大学花了我年龄一半的时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台上．谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄是 岁． 11．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 12．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 14．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 15．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 （1）小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ （2）一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 16．（22-23七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 （1）若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； （2）若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； （3）若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； （4）若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 2．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米．那么原来长方形的面积是（   ）平方厘米． A．126 B．224 C．350 D．560 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑，则可早到；若每小时骑，则将迟到．小明家到学校的路程是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·广东深圳·开学考试）鸡兔同笼， 有个头，条腿， 兔的只数是（    ） A． B． C． D． 5．（13-14七年级上·安徽·期末）我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25六年级下·重庆渝北·开学考试）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 8．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在2025年江苏省城市足球联赛（“苏超”）中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛． 10．（15-16七年级下·江苏·期末）有人问某儿童，有几个兄弟、几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹．”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍．”聪明的同学，你知道他有几个兄弟、几个姐妹？答：有 个兄弟， 个姐妹． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”大意如下：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗谷子，羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半．”马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半．”按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人 斗谷子． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． （1）经过多少分钟摩托车追上自行车？ （2）两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 15．（12-13七年级上·安徽·期末）小华同学在A、B两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是352元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元． （1）求小华看中的随身听和书包的单价各是多少元？ （2）小华元旦那天上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但她只带了300元钱，她只想在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明她可以选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 16．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如下优惠计费规则（设乘车里程为a公里）： 计 费 项 目 起步费 里程费 高速路费 含起步里 程3公里 的部分 的部分 的部分 （超过3公里的部分一个价） 按照实际产生计入 费用 5元 1.2元/公里 1元/公里 0.8元/公里 0.9元/公里 打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元，如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：元．小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：元． （1）若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元． ①当时，小黄应付车费_____元；（用含a，b的式子表示并化简） ②当时，小黄应付车费_____元． （2）甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.7 实际问题与一元一次方程 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1 【题型1】配套问题 2 【小结归纳】 3 【题型2】工程问题 3 【小结归纳】 6 【题型3】销售盈亏问题 6 【小结归纳】 8 【题型4】比赛积分问题 8 【小结归纳】 11 【题型5】方案选择问题 11 【小结归纳】 13 【题型6】行程问题 14 【小结归纳】 15 【题型7】数字问题 15 【小结归纳】 17 【题型8】古代问题 17 【小结归纳】 18 【题型9】数轴上的动点问题 18 【小结归纳】 21 【题型10】生活中的阶梯计价问题 21 【小结归纳】 24 二．同步练习​ 24 【基础巩固（16题）】 24 【能力提升（16题）】 33 一．知识梳理与题型分类精析 知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 即： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 【题型1】配套问题 【例题1】（人教版七上133页例题改编）（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键． 设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得： 解得： 答：需要安排名工人生产桌面． 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）乐业镇准备在敬老院开展重阳节活动，主办方计划为每位参与者分发糕点礼盒．已知制作1块大、小糕点分别要用面粉．现共用面粉制作糕点，其中大糕点数量是小糕点数量的一半．若每位参与者获得2个糕点礼盒，每个礼盒装有5块大糕点和8块小糕点，则这批糕点装成的礼盒够发给多少人？ 【答案】这批糕点装成的礼盒够发给320人． 【分析】设大糕点用面粉，先根据“制作块大、小糕点分别要用面粉”表示出大糕点和小糕点的数量，然后根据“大糕点数量是小糕点数量的一半”列一元一次方程求解，再根据每个礼盒装块大糕点和块小糕点，得出可装礼盒盒，最后由每位参与者可获得个糕点礼盒，即可得出结果． 解：设面粉制作大糕点用了面粉，则制作小糕点用了面粉． 根据题意，得， 解得， 则． 故制作大糕点用了面粉，制作小糕点用了面粉． （盒），（盒）， 所以这批糕点可装640盒． （人）． 故这批糕点装成的礼盒够发给320人． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 【小结归纳】 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据，按“1配n”比例建立数量关系，如：一个盒身配两个盒底得到等量关系：盒底数量=2倍盒身数量 【题型2】工程问题 【例题2】（人教版七上133页例题改编）（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． （1）甲、乙两公司合作需要多少天完成？ （2）若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】（1）12；（2）5 【分析】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据“甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用天”列出方程，求出的值，即可求出两公司合作的天数； （2）设乙公司还需要天可以完成此工程，利用“甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量=工程总量”，可列出关于的一元一次方程，求出天数即可. 解：（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． （1）甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ （2）甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ （3）如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】（1）30天；（2）60天；（3）先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 解：（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型3】销售盈亏问题 【例题3】（人教版七上135页例题改编）（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案． 首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上． 解：设赚了的衣服的进价是元， 则：， 解得：， 设赔了的衣服的进价是元， 则， 解得：， 总进价：元， 总售价：元 元， 所以亏了元， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． （1）国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． （2）若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 【答案】（1）七；（2）剩余的商品应打九折． 【分析】本题涉及商品的进价、标价、折扣以及利润的计算，需要根据这些量之间的关系，通过设未知数建立方程来求解折扣． 解：（1）解：设国庆假期期间打x折 商品进价为每件80元，提高后的标价为元 打x折后的售价为元 已知有90件商品以每件赚4元的价格售出，根据售价-进价=利润， 可得： 化简方程： 移项：，即 解得，所以打7折． （2）解：设剩余的商品应打x折． 由题意，得， 解得． 故剩余的商品应打九折． 【点拨】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，掌握根据商品销售中的进价、标价、折扣、利润之间的关系，建立方程求解折扣是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） （1）商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ （2）商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】（1）商品A最后应卖元；（2）商品B的成本是850元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用售价成本价利润率折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用售价成本价利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：根据题意得：（元）， 答：商品A最后应卖元； （2）解：设商品B的成本是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品B的成本是850元． 【小结归纳】 常见等量关系：利润=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型4】比赛积分问题 【例题4】（人教版七上137页探究2改编）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了4个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 92 C 15 5 60 D 14． 6 52 根据表中的信息解答下列问题： （1）参赛者E得68分，求他答对了几道题？ （2）参赛者F说他答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，你认为可能吗？请你利用所学的一元一次方程知识来说明你的理由． 【答案】（1）16道；（2）不可能，见分析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由参赛者，的得分情况，可得出答对一题得5分，答错一题扣3分，设参赛者答对了道题，则答错了道题，利用得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）假设参赛者答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，设他答对了道题，则答错了道题，根据答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合答对题目数需为整数，可得出舍去，进而可得出假设不成立，即参赛者答对的题所得的分数不可能是答错题所扣分数的4倍． 解：（1）解：答对一题得（分， 答错一题扣（分． 设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：参赛者答对了16道题； （2）解：参赛者答对的题所得的分数不可能是答错题所扣分数的4倍，理由如下： 假设参赛者答对的题所得的分数是答错题所扣分数的4倍，设他答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：， 又答对题目数需为整数， 舍去， 假设不成立， 即参赛者答对的题所得的分数不可能是答错题所扣分数的4倍． 【变式1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． （1）设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 （2）求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 【答案】（1）填表见分析；（2）胜15场，平7场，负3场 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）根据胜的场数是负的场数的5倍，得到胜场数，再用总数减去胜场数减去负场数，得到平场数，再根据胜一场得3分，平一场得1分，求出胜场积分和平场积分即可； （2）根据A队在前25场比赛中共积52分，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：由题意，填表如下： A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 平 负 0 总计 25 52 （2）解：根据题意，得 解这个方程，得 ，． 因此，A队胜15场，平7场，负3场． 【变式2】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． （1）必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； （2）若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】（1）该队必答环节后的总分数为210分；（2）该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 解：（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 【小结归纳】 经常用到的等量关系：总积分=胜场积分+负场积分=胜场数×单场胜分+负场数×单场负分 【题型5】方案选择问题 【例题5】（人教版七上139页练习2改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；第二种售价300元，每月包含20次．两种月票超出每月包含次数后，都需要另外购票，票价为25元/次．某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用？ 【答案】当某人每月乘坐地铁机场线超过10次低于14次时，第一种购票比较节省费用；当某人每月乘坐地铁机场线等于14次时，两种购票费用相同；当某人每月乘坐地铁机场线超过14次时，第二种购票比较节省费用． 【分析】设某人每月乘坐地铁机场线次，列一元一次方程分别计算出两种地铁机场线购票的钱数，再比较大小即可求解．本题考查了一元一次方程的应用，有理数的大小比较，关键是求出两种方式需要的钱数． 解：设某人每月乘坐地铁机场线次，其中， 第一种购票的钱数： 元； 第二种购票的钱数： 当时，需要300元； 当时，需要元； ， 解得， 答：当某人每月乘坐地铁机场线超过10次低于14次时，第一种购票比较节省费用；当某人每月乘坐地铁机场线等于14次时，两种购票费用相同；当某人每月乘坐地铁机场线超过14次时，第二种购票比较节省费用． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． （1）若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ （2）现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】（1）用钢材做部件，用钢材做部件；（2）当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解； （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； （1）解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： （1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？ （2）用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】（1）小明他们一共去了8个成人，4个学生；（2）购买团体票的方式买票更省钱，见分析，能节省35元钱． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 解：（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 【小结归纳】 常用的等量关系：方案A费用=方案B费用；再根据题的条件比较大小从而进行方案的选择； 还有等量关系：各方案费用=固定费+变量费×数量等等 【题型6】行程问题 【例题6】（人教版七上131页综合运用改编）（23-24七年级上·吉林·期中）张华和李明登一座山，张华每分钟登高米，并且先出发分钟，李明每分钟登高米，两人同时登上山顶．求山高． 【答案】山高为米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，根据两人同时登上山顶，列方程求解． 解：设山高为米， 根据题意得 解方程得，． 答：山高为米． 故答案为：山高为米． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业），两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． （1）若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ （2）若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【答案】（1）出发小时后相遇；（2）出发小时后快车能追上慢车． 【分析】（1）设出发小时后相遇，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，两车走的距离之和为千米，由此列出方程，求出的值即可． （2）设出发小时后快车追上慢车，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，快车追上慢车，则快车比慢车多走了千米，由此列出方程，求出的值即可． 解：（1）解：设出发小时后相遇， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，相向而行，出发后小时相遇． （2）解：设出发小时后快车能追上慢车， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发小时后快车能追上慢车． 【点拨】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是根据两车行驶距离的关系列出方程． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． （1）求船在静水中的平均速度． （2）求甲、乙两码头之间的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设船在静水中的平均速度为，根据顺水而行、逆水而行的距离保持不变建立方程，解方程即可得； （2）根据路程速度时间求解即可得． 解：（1）解：设船在静水中的平均速度为， 由题意得：， 解得， 答：船在静水中的平均速度为． （2）解：由（1）已得：船在静水中的平均速度为， 则甲、乙两码头之间的距离为， 答：甲、乙两码头之间的距离为． 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型7】数字问题 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 【答案】245 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设百位上的数字为x，则十位上的数字为，个位上的数字为，根据“位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的” 列出关于x的一元一次方程，解之即可． 解：设百位上的数字为x，则十位上的数字为， ∵各数位上的数的和为11， 所以，个位上的数字为， 根据题意得，， 解得：， ∴百位上的数字为2， 十位上的数字为， 个位上的数字为， 所以，这个三位数为245． 【变式1】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． （1）请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； （2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 解：（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 【变式2】（24-25七年级上·河南焦作·期中）有一列数，按一定的规律排列：，其中某三个相邻的数的和是，这三个数分别是多少？ 【答案】，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这三个数中的第一个数是，则其后面的两个数分别是，，根据题意列出方程即可求解，找出数列的排列规律是解题的关键． 解：设这三个数中的第一个数是，则其后面的两个数分别是，， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：这三个数分别是，，． 【小结归纳】 常见的等量关系：（1）两位数 十位数字个位数字；（2）新数（数字调换）-原数=差值. 【题型8】古代问题 【例题8】（24-25七年级上·全国·期末）（我国古代问题）1跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？ 这道题选自我国元代数学家朱世杰所著的算学启蒙（年）．原题是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”题中的“里”是我国古代长度单位． 【答案】快马天可以追上慢马． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 设快马天可以追上慢马，相等关系为慢马走的路程快马走的路程，由此相等关系即可列出方程． 解：设快马天可以追上慢马， 根据题意，得， 解得． 答：快马天可以追上慢马． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【答案】壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点拨】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 【小结归纳】 首先翻译古汉语为数学关系，比如：鸡兔同笼：鸡头+兔头=总头数，2×鸡数+4×兔数=总脚数；用一个等量关系设未知数，另一个等量关系列方程即可. 【题型9】数轴上的动点问题 【例题9】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）数轴上点 A、B、C、D 对应的数为，其中： 是最大的负整数； 满足 ，且 （1）求 的值； （2）点A 以每秒 3 单位向左运动，点 C 以每秒 5 单位向左运动，求当 A、C 距离为 11 时，运动时间； 【答案】（1）；（2）10秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题． （1）根据题意结合平方绝对值的非负性可求出a、b、c，进而可求出d； （2）运动t秒后点A表示的数为，点C表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可． 解：（1）解：∵ 是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又， ∴； （2）解：运动秒后：A表示的数为，C表示的数为， 根据题意，得， 即或， 解得 或（舍）， 故运动时间10秒． 【变式1】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． （1）数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； （2）经过几秒，点M，N的距离为5？ （3）经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 【答案】（1）30，40；（2）15秒或5秒；（3）14秒或10秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设数轴上点B对应的数是x，根据点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N的距离为5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N分别到点B的距离相等，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：设数轴上点B对应的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴， 数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是 故答案为：30，40； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过15秒或5秒，点M，N的距离为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过14秒或10秒，点M、N分别到点B的距离相等． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． （1）直接写出线段___________， ___________； （2）设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 【答案】（1）8，12；（2）或 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，一元一次方程应用，化简绝对值等知识． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； 解：（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． 【小结归纳】 数量关系：两点之间的距离等于两点间表示的数之差的绝对值： 等量关系：（1）动点坐标=初始坐标+速度×时间；（2）相遇时两动点坐标相等. 【题型10】生活中的阶梯计价问题 【例题10】（24-25七年级上·北京大兴·期末）居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准（按照年用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三个阶梯，户内人口不超过5人）． 收费方式 年用水量 费用/（元） 第一阶梯 含 5 第二阶梯 含 7 第三阶梯 260以上 9 已知小兴家1月份至11月份（含11月份）累计用水量为． （1）若12月份用水量为，则小兴家12月份应缴水费 元； （2）若小兴家这一年的水费为970元，求小兴家12月份的用水量是多少？ 【答案】（1）85；（2）小兴家12月份的用水量是 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算即可； （2）设小兴家12月份的用水量是，根据小兴家这一年的水费为970元，列出方程，解方程即可． 解：（1）解： （元）； （2）解：设小兴家12月份的用水量是， ∵（元） （元）， 又∵， ∴， 则：， 解得：， 答：小兴家12月份的用水量是． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． （1）求，的值； （2）如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】（1），（2）吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用（求阶梯水价单价）与分段计费问题（求用水量），解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费（自来水单价污水处理单价）用水量”． （1）用7月吨吨）的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 解：（1）解：  ∵水费（自来水单价污水处理单价）用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：（元），   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 【小结归纳】 基本等量关系：总费用=各阶梯费用之和；比如：分档的电费：总费=第一档单价×限额+第二档单价×（用量-限额）；超量部分单独计价. 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（10-11七年级上·甘肃白银·期末）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进价是（    ）． A．95元 B．90元 C．85元 D．80元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据：售价成本利润率成本，列方程求解即可． 解：设该商品的进价为元，由题意得 ， 解得， 所以该商品的进价为元， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作3个大花瓶或8个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设要安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得出关于的一元一次方程，找出等量关系，正确列出一元一次方程式是解题的关键． 解：根据题意得，， 故选：D． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是，根据“从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人”，可列出关于的一元一次方程，解方程即可． 解：设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是， 根据题意得，， 解得， 即甲队原有工人数是22， 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个列车的长是x米，利用速度=路程÷时间，结合这个列车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设这个列车的长是x米，根据题意得： ， 解得：； ∴这个列车的长是72米． 故选：A． 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）在数轴上，点A从表示的点出发，速度为每秒3个单位长度，B从表示7的点出发，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，相向运动，当A，B两点相距4个单位长度时运动的时间为（   ） A．2秒或4秒 B．3秒或4秒 C．2秒或5秒 D．3秒或5秒 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，设秒后，A，B两点相距4个单位长度，相遇前：；相遇后，；据此即可求解 解：设秒后，A，B两点相距4个单位长度， 相遇前：，解得：； 相遇后，，解得：； 故选：D 6．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题意可得，，，，，再由所有的数的和为，得到关于b的方程，即可求解． 解：如图， 根据题意得：， ， ， ∴，，，， ∴，， ∵所有的数的和为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有 天是晴天． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设晴天有天，则雨天有天．晴天钓鱼总数为条，雨天钓鱼总数为 条．总钓鱼条数为条列方程求解即可． 解：设晴天有天，则雨天有天， 列方程： 解得． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字与十位数字之和为15，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是 ． 【答案】78 【分析】本题考查了用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设十位数字为，那么个位数字为，根据个位数字与十位数字之和为，列出方程解答即可． 解：设十位数字为，那么个位数字为． 由题意得：， 解得：， 则这个两位数是， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程组即可． 解：设胜场数为，则平了场，依题意得， 解得： 故答案为4． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年，之后从小学到读完大学花了我年龄一半的时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台上．谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 不妨设老师现在的年龄为岁，童年的时光+从小学到大学的时间+当老师的时间=现在的年龄； 根据上述等量关系式先列出方程，进而解方程即可． 解：设老师现在的年龄是岁， 由题意可得， 解得 故答案为：． 11．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查数轴、数轴上两点间的距离公式，设点对应的数为，则、两点间的距离为，根据“2 倍的距离”列出方程，求解即可； 解：∵一只蚂蚁从点出发沿着数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即沿原路原速返回点，共用去 11 秒， ∴蚂蚁爬行的路程为（个单位长度）， 设点对应的数为， 则、两点间的距离为， 由题意得：， 解得：或， ∵沿数轴的正方向运动， ∴点对应的数为8． 故答案为：8． 12．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 【答案】甲离开B地小时后才能追上乙 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设甲离开B地x小时后才能追上乙，根据题意列出方程，再解方程即可． 解：设甲离开B地x小时后才能追上乙，依题意，得 ， 解得 答：甲离开B地小时后才能追上乙． 14．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 【答案】先安排2人工作4小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 设先安排x人工作，把这份工作看作“1”，由题意易知一个人完成这份工作的工作效率为，然后根据题意可列方程求解即可． 解：设先安排x人工作，把这份工作看作单位“1”，由题意得： ， 解得：. 答：先安排2人工作4小时． 15．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 （1）小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ （2）一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 【答案】（1）A玩具城；（2）125元 【分析】本题主要考查最优化问题，关键是明确两家玩具城的优惠政策； （1）根据两家玩具城的优惠政策，分别计算所需钱数；然后比较两家玩具城所需钱数，即可得出结论． （2）一个一百多的玩具熊，在玩具城只能优惠25元，设这个玩具熊的标价是元，根据促销后的优惠价也相同列方程解答即可． 解：（1）解：玩具城： （元） 玩具城： （组） （元） （元） 答：在玩具城买便宜． （2）解：设这个玩具熊的标价是元． 答：这个玩具熊的标价是125元． 16．（22-23七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 （1）若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； （2）若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； （3）若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； （4）若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 【答案】（1）20；（2）44；（3）；（4）或元 【分析】本题主要考查根据实际问题列出代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出不同情况下的代数式是解题关键． （1）根据题意，的用水应该分两部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （2）根据题意，的用水应该分三部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （3）根据题意可得该户居民4月用水超出，设该户居民4月用水，根据题意，列出方程，即可求解； （4）根据题意，分两种情况：按照相应的收费标准列出代数式即可． 解：（1）解：该户居民2月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：20 （2）解：该户居民3月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：44 （3）解：∵用水，则应交水费∶元元， ∴该户居民4月用水超出， 设该户居民4月用水，根据题意得： ， 解得：， 即该户居民4月用水； 故答案为：； （4）解：该户居民5月份用水， 当时，则5月份应交元； 当时，则5月份应交元； 综上所述，5月份应交水费元或元． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可． 解：设该队胜了场，故平了场， ， 解得． 故一共胜了场． 故选：D． 2．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米．那么原来长方形的面积是（   ）平方厘米． A．126 B．224 C．350 D．560 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原来长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意画出变化前后的示意图，可知增加的面积为两个长方形的面积之差，则可建立方程求解． 解：设原来长方形的长为厘米，宽为厘米， 由题意得，， 解得， 所以， 所以原来长方形的面积为平方厘米， 故选；C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑，则可早到；若每小时骑，则将迟到．小明家到学校的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据小明到校的规定时间不变建立方程是关键． 设小明家到学校的路程是千米，根据小明到校的固定时间不变建立方程求出其解即可． 解：设小明家到学校的路程是千米， 由题意得：， 解得：． 答：小明家到学校的路程是千米． 故选：C． 4．（23-24七年级上·广东深圳·开学考试）鸡兔同笼， 有个头，条腿， 兔的只数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设兔有只，则鸡有只，根据“有条腿”列出一元一次方程，求解即可．正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 解：设兔有只，则鸡有只， 依题意，得：， 解得：， 则兔的只数是只． 故选：D． 5．（13-14七年级上·安徽·期末）我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设原有树苗x棵，由栽树问题栽树的棵数分得的段数，可以表示出路的长度，由路的长度相等建立方程即可． 解：设原有树苗x棵，则路的长度为米， 由题意，得， 故选：B． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木桶中水的深度是，则两根铁棒的长度分别是，，根据两根铁棒长度之和为，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设木桶中水的深度是，则两根铁棒的长度分别是，， 根据题意得：， 解得：， ∴木桶中水的深度是， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25六年级下·重庆渝北·开学考试）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了天，则乙做了天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可． 解：设甲做了天，则乙做了天． 由题意得， 答：甲做了18天． 8．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这个一位数为x，则这个两位数为，根据前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78建立方程求解即可． 解：设这个一位数为x，则这个两位数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个两位数是11， 故答案为：11． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在2025年江苏省城市足球联赛（“苏超”）中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛． 【答案】85 【分析】本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次． 解：设总比赛场次为场 第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减（不与自己比赛），支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次． （场） 第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军， 因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次， （场）， 故答案为：． 10．（15-16七年级下·江苏·期末）有人问某儿童，有几个兄弟、几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹．”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍．”聪明的同学，你知道他有几个兄弟、几个姐妹？答：有 个兄弟， 个姐妹． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据“有几个兄弟，就有几个姐妹”如果设该儿童有x个兄弟，那么也应该有x个姐妹，根据“再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍”，那么可得出方程为：，求解即可． 解：设该儿童有x个兄弟，那么也应该有x个姐妹． 根据题意得：， 解得：， ， ∴有4个兄弟，3个姐妹． 故答案为：4，3． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 【答案】12 【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论． 解：根据题意得：2斗升， 设可以换得的粝米为x升， 则， 解得：， 故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升． 故选：12． 【点拨】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”大意如下：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗谷子，羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半．”马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半．”按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人 斗谷子． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程，正确的运算是解题的关键． 解：设羊的主人应当赔偿给禾苗的主人斗谷子． 则可列方程为：， 解得：， 故答案为： ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 【答案】分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解． 解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得：       答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． （1）经过多少分钟摩托车追上自行车？ （2）两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】（1）经过4min摩托车追上自行车；（2）两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【分析】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 解：（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题关键是根据路程关系建立方程，注意相距问题要分情况讨论． 15．（12-13七年级上·安徽·期末）小华同学在A、B两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是352元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元． （1）求小华看中的随身听和书包的单价各是多少元？ （2）小华元旦那天上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但她只带了300元钱，她只想在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明她可以选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】（1）随身听和书包的单价分别为280元、72元；（2）两家都可以选择，在超市A购买更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设书包的单价为x元，则随身听的单价为元，根据“随身听和书包单价之和是352元”列方程求解即可； （2）分别求出两家费用，可知两家都可以选择，进而比较大小即可． 解：（1）解：设书包的单价为x元，则随身听的单价为元， 依题意得：， 解得 （元） 答：随身听和书包的单价分别为280元、72元； （2）解：在超市A购买随身听与书包需花费现金：（元）， 因为，所以可以选择在超市A购买． 在超市B可先花费280元购买随身听，再利用得到的60元返还券，加上12元现金购买书包，总计共花费现金（元）， 因为，所以也可以选择在超市B购买． 因为，所以在超市A购买更省钱． 16．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如下优惠计费规则（设乘车里程为a公里）： 计 费 项 目 起步费 里程费 高速路费 含起步里 程3公里 的部分 的部分 的部分 （超过3公里的部分一个价） 按照实际产生计入 费用 5元 1.2元/公里 1元/公里 0.8元/公里 0.9元/公里 打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元，如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：元．小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：元． （1）若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元． ①当时，小黄应付车费_____元；（用含a，b的式子表示并化简） ②当时，小黄应付车费_____元． （2）甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？ 【答案】（1）①；②33.4；（2）48 【分析】本题考查列代数式、列一元一次方程解应用题： （1）①由题可知车费为：，化简即可得到答案；②将代入①中求出的式子求解即可； （2）设甲的里程为x公里，乙的里程为公里，分、、三种情况讨论即可． 解：（1）解：①当时，小黄应付车费为（元）； 故答案为：； ②时， 小黄应付车费（元）， 故答案为：33.4； （2）解：若乘车里程数a：， 则前30公里费用为（元）． 设甲的里程为x公里，则乙的里程为公里， 当时， ， 该方程无解； 当时， ， 解得； 当时， ， 方程无解； 综上，甲的乘车里程是48公里． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $