5.3 一元一次方程的应用 同步基础练习 2025-2026学年人教版 数学七年级上册

5.3 一元一次方程的应用 一．选择题 1．我国古代问题：以绳测井，若将绳对折测之，绳多三尺；若将绳三折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳量井深，把绳对折来量，井外余绳三尺；把绳三折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A．2（x+3）＝3（x+1） B．2x+3＝3x+1 C．2（x﹣1）＝3（x﹣3） D．2x﹣3＝3x﹣1 2．古有一驿卒骑马送信，若按平常速度前行，行至目的地会比规定时间迟4个时辰；若速度每时辰增加5里，则可提前1个时辰到达，已知规定时间是12个时辰．设驿卒平常速度为x里/时辰，根据路程相等，可列方程为（　　） A．x（12+4）＝（x+5）（12+1） B．x（12﹣4）＝（x+5）（12+1） C．x（12+4）＝（x﹣5）（12﹣1） D．x（12+4）＝（x+5）（12﹣1） 3．某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套．为使每天加工的大、小齿轮刚好配套，设每天加工大齿轮的有x人，则下面所列方程正确的是（　　） A．2×16x＝10（84﹣x） B．16x＝2×10（84﹣x） C．2×16（84﹣x）＝10x D．16×（84﹣x）＝2×10x 4．一件上衣先按成本提高40%标价，再以8折出售，结果获利24元，若设这件上衣的成本价是x元，根据题意，可得到的方程是（　　） A．（1+40%）x×80%＝x﹣24 B．（1+40%）x×80%＝x+24 C．（1+40%x）×80%＝x﹣24 D．（1+40%x）×80%＝x+24 5．已知一个四位数，千位数字是个位数字的两倍，若交换千位和个位数字，得到的新四位数比原数小2997，则原数的个位数字是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 6．如图是2024年12月的月历表，用形如“十”字形框任意框出5个数，框出的这五个数的和不可能是（　　） A．45 B．85 C．115 D．125 7．王明从家去学校，若以每小时6千米的速度奔跑，则早到20分钟，若以每小时4千米的速度走路，则迟到15分钟．设规定时间为x小时，列出方程为（　　） A．6（x+20）＝4（x﹣15） B．6（x﹣20）＝4（x+15） C． D． 8．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．某车间有29名工人，平均每人每天生产A部件8个或B部件5个，为使仪器刚好配套，设生产A部件的工人有x人，则下列方程正确的是（　　） A．3×8（29﹣x）＝5x B．3×8x＝5（29﹣x） C．3×5（29﹣x）＝8x D．3×5x＝8（29﹣x） 9．我国古代名著《九章算术》中有﹣题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”设大雁与野鸭从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（　　） A． B．（9﹣7）x＝1 C．（）x＝1 D．（9+7）x＝1 10．小明步行从A地到B地，小美步行从B地到A地，两人同时都匀速前进，已知经过10分钟，两人相距600米，又经过10分钟，两人都没到终点且还相距600米．设A，B两地间的路程为x米．下列结论：①小明的速度可表示为米/分钟；②根据题意得；③A、B两地之间路程为1800米；④两人的速度之和为120米/分钟，其中正确的结论个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了60%；另一盒是库存坚果，只能亏本20%清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了　 　 元． 12．已知七年级某班50位学生种树127棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有x人，则可列方程为　 　 ． 13．如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30，则由此可知图1中小长方形较长的边为　 　 ． 14．如图，点O为原点，点A，B是数轴上两个动点．点A从﹣6开始以每秒1个单位的速度向右运动，每过3秒，速度都会变为当前速度的2倍；同时，点B从6开始以固定每秒2个单位的速度向右运动．设运动时间为t秒，当t＝　 　 时，A，B两点重合． 15．在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数﹣1，点C表示数3，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，运动时间t（t＞0）为　 　 秒时，A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点． 16．一水平放置的数轴上有A，B两点，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6．一点P从点A出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，到达点B后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动．设运动时间为t秒，当t＝ 　 　 时，点P到点A的距离为8． 三．解答题 17．某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 18．已知点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足|a﹣32|与（b+18）2互为相反数，O为原点，P、Q两个动点在数轴上运动，P点的速度为2个单位长度/秒，Q点的速度为3个单位长度/秒． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）P从原点出发，沿数轴来回移动，其移动方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位，又向右移动3个单位，再向左移动4个单位，又向右移动5个单位…14秒钟时，动点P在数轴对应的数是　 　 ． （3）若P、Q两个动点分别从A、B出发，P先出发5秒后，Q开始出发， ①当点P，Q之间的距离为5个单位长度时，若此时Q在数轴对应的数是　 　 ． ②点Q沿数轴向右运动，点P沿数轴在O、A两点之间往返运动，且每次返回的速度是前一次速度的两倍，设P运动时间为t秒．当点P，Q之间的距离为30个单位长度时，求t的值． 19．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图1框住的九个数的和与正中间数的关系为 　 　 ； （2）我们还可以用如图2所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“X”字型框架框住的五个数的和为：2+4+10+16+18＝50，5+7+13+19+21＝65；设“X”字型框架中正中间数为m，探究“X”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图2所示的“X”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 20．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠超过400元的部分给予8折优惠 （1）若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款　 　 元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款　 　 元； （2）若小亮在该超市一次购物x元，当x超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含x的代数式表示）？ （3）如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 21．2025年10月20日，我校八年级计划前往中国科学院国家授时中心进行研学活动．学校研学团队计划租用甲、乙两种不同类型的客车作为交通工具．已知租用了甲、乙两种车辆共15辆．假设1辆甲型车每公里的油耗成本为6元（每公里油耗固定），1辆乙型车每公里的油耗成本为5元．若此次行程为100公里，总油耗成本为8000元．请求出甲、乙两种类型车辆各租多少辆？ 22．已知数轴上的两点A，B所表示的数分别是a和b． （1）如图（1），点B在点A的右边，a＝﹣5，若AB＝20，AC＝BC，请直接写出点B点C表示的数． （2）如图（2），在（1）的条件下，点M在点A处以每秒2个单位长度向右运动，点N在点B处以每秒3个单位长度向左运动，点M、点N同时运动，请问当MN＝8时，求点M，点N运动了多少秒？ （3）拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车AB长为3个单位长度，乙车MN长为5个单位长度，甲车头B在数轴上表示的数是﹣8，乙车头M在数轴上表示的数是16．若甲车AB以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车MN以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点P位于AB中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有m秒钟，P到两车头B、M的距离和加上到两车尾A、N的距离和是一个不变的值（即PA+PB+PM+PN为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出m的值及PA+PB+PM+PN的定值；若不正确，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B B D D B C C 二．填空题 11．7.5． 12．3x+2（50﹣x）＝127． 13．5． 14．10.5． 15．或2或8． 16．4或12． 三．解答题 17．解：（1）设工作岗位有y名工人， 根据题意列式，2y+5＝3y﹣17， 解得y＝22， 礼品2×22+5＝49（件）， ∴某班同学一共带去了49件礼品； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为（22﹣a）人， 根据题意列式，2×1200×a＝2000×（22﹣a）， 解得a＝10， 22﹣a＝22﹣10＝12（人）， 答：应安排生产螺钉的工人10名，螺母的工人12名； （3）设x个销售商， ， 解得x＝25， [1200×10÷25×（25﹣5）]÷5÷480+10＝14（元）， 答：零件的售价是14元． 18．解：（1）∵|a﹣32|与（b+18）2互为相反数， ∴|a﹣32|+（b+18）2＝0， ∴a﹣32＝0，b+18＝0， 解得a＝32，b＝﹣18， 故答案为：32；﹣18． （2）∵P点的速度为2个单位长度/秒， ∴14秒钟时，其运动路程为2×14＝28， ∵1+2+3+4+5+6+7＝28， ∴动点P在数轴对应的数是1﹣2+3﹣4+5﹣6+7＝4， 故答案为：4． （3）①当P点沿数轴向右运动，Q沿数轴向右运动时， ∵P先出发5秒后，Q开始出发， 设Q开始出发m秒时，点P，Q之间的距离为5个单位长度， 即32+2×5+2m﹣（﹣18+3m）＝5或﹣18+3m﹣（32+2×5+2m）＝5， 解得m＝55或m＝65， ∴此时Q在数轴对应的数是﹣18+3×55＝147或﹣18+3×65＝177； 当P点沿数轴向左运动，Q沿数轴向右运动时， ∵P先出发5秒后，Q开始出发， 设Q开始出发m秒时，点P，Q之间的距离为5个单位长度， 即32﹣2×5﹣2m﹣（﹣18+3m）＝5或﹣18+3m﹣（32﹣2×5﹣2m）＝5． 解得m＝7或m＝9， ∴此时Q在数轴对应的数是﹣18+3×7＝3或﹣18+3×9＝9； 综上所述，此时Q在数轴对应的数是147或177或3或9； 故答案为：147或177或3或9； ②当P沿数轴向O运动时， 此时P在数轴对应的数是32﹣2t，Q在数轴对应的数是﹣18+3（t﹣5）， ∵点P，Q之间的距离为30个单位长度，32÷2＝16（秒）， ∴32﹣2t﹣[﹣18+3（t﹣5）]＝30或﹣18+3（t﹣5）﹣（32﹣2t）＝30， 解得t＝7或t＝19＞18（不合题意，舍去）； 当P沿数轴从O向A运动时，又每次返回的速度是前一次速度的两倍， 此时P在数轴对应的数是4（t﹣18），Q在数轴对应的数是﹣18+3（t﹣5）， ∵点P，Q之间的距离为30个单位长度，32÷4＝8（秒），8+18＝26（秒）， ∴﹣18+3（t﹣5）﹣4（t﹣18）＝30或4（t﹣18）﹣[﹣18+3（t﹣5）]＝30， 解得t＝9或t＝69（均不合题意，舍去）； 当P沿数轴从A向O运动时，又每次返回的速度是前一次速度的两倍， 此时P在数轴对应的数是8（t﹣26），Q在数轴对应的数是﹣18+3（t﹣5）， ∵点P，Q之间的距离为30个单位长度，32÷8＝4（秒），26+4＝30（秒）， ∴﹣18+3（t﹣5）﹣8（t﹣26）＝30， 解得t＝29； 当P沿数轴从O向A运动时，又每次返回的速度是前一次速度的两倍， 此时P在数轴对应的数是16（t﹣30），Q在数轴对应的数是﹣18+3（t﹣5）， ∵点P，Q之间的距离为30个单位长度，32÷16＝2（秒），30+2＝32（秒）， ∴﹣18+3（t﹣5）﹣16（t﹣30）＝30， 解得（不合题意，舍去）， ∵﹣18+3×（32﹣5）＝﹣18+81＝63，AQ＝63﹣32＝31＞30， ∴t＞32时，不存在点P，Q之间的距离为30个单位长度， 综上所述，t的值为7秒或29秒． 19．解：（1）设正中间的数为x， 则这9个数依次为x﹣8，x﹣7，x﹣6，x﹣1，x，x+1，x+6，x+7，x+8， ∴这9个数的和为 x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝9x， 所以，这九个数的和与是正中间数的9倍， 故答案为：这九个数的和与是正中间数的9倍； （2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由如下： 设“×”字型框架中正中间数为m，则这5个数依次为x﹣8，x﹣6，x，x+6，x+8， ∴这5个数的和为 x﹣8+x﹣6+x+x+6+x+8＝5x， 所以，这五个数的和是正中间数的5倍； （3）五个数之和不可以是120，理由如下： ∵120÷5＝24， ∴最大的数为24+8＝32＞31，不符合题意， 所以，五个数之和不可以是120． 20．解：（1）若小亮一次购买原价300元的商品，由题意可得： 200+（300﹣200）×0.9＝200+100×0.9＝200+90＝290（元）； ∵600＞400， ∴200+200×0.9+（600﹣200﹣200）×0.8＝200+180+160＝540（元）， 故答案为：290；540； （2）小亮在该超市一次购物x元，当x超过200元但不超过400元时， 当200＜x≤400时，实际付款为200+（x﹣200）×0.9＝0.9x+20（元）， 答：当x超过200元但不超过400元时，他实际付款（0.9x+20）元； （3）当原价为400元时，实际付款为200+200×0.9＝380（元）， ∵524＞380， ∴原价超过400元， 设原价为x元， 200+200×0.9+（x﹣400）×0.8＝524， 解得：x＝580， 答：他这次购买商品的原价是580元． 21．解：设甲种车租了x辆， 则乙种车租了（15﹣x）辆， 根据题意得， 100×6×x+100×5×（15﹣x）＝8000， 解得x＝5， 所以15﹣x＝10， 答：甲种车租了5辆，乙种车租了10辆． 22．解：（1）∵﹣5+20＝15， ∴点B表示的数为15； ∵AC＝BC， ∴C表示的数为5； （2）设点M，点N运动了t秒， 根据题意，M表示的数为﹣5+2t，N表示的数为15﹣3t， ∵MN＝8， ∴|﹣5+2t﹣（15﹣3t）|＝8， ∴5t﹣20＝8或5t﹣20＝﹣8， 解得t＝5.6或t＝2.4， ∴点M，点N运动了5.6秒或2.4秒； （3）小渝发现的正确， ∵PA+PB＝AB＝3， 又当点P在M，N之间时，PM+PN＝MN＝5， ∴PA+PB+PM+PN＝3+5＝8； 此时m＝5÷（2+1）； ∴m的值为，PA+PB+PM+PN的定值是8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/26 14:27:19；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $