精品解析：江苏省无锡市市北高级中学2025-2026学年高一上学期10月阶段检测数学试题

无锡市市北高级中学2025--2026学年第一学期 高一年级数学学科阶段检测卷 命题人：杨立灿审题人：李适君 校对人：杨立灿 时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 4. 已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数中，不是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值是2 B. 若，则的最小值为0.25 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数满足，则的最小值为8 8. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 集合的非空真子集个数为6 10. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 已知，则 C. 已知，则“”是“”的充要条件 D. 函数的值域为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卷横线上. 12. 不等式的解集是______． 13. 函数的定义域为______． 14. 已知为正实数，则的最小值为__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若函数，求的定义域； （3）若函数，求的值域． 17. （1）已知，求的解析式． （2）已知函数是二次函数，且，求的解析式． 18. 某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元． （1）求的解析式； （2）污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 19. 已知． （1）若命题为真命题，求的范围； （2）解关于的不等式， （3）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025--2026学年第一学期 高一年级数学学科阶段检测卷 命题人：杨立灿审题人：李适君 校对人：杨立灿 时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】命题， 则. 故选：A 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 则“”不能推出“”，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 4. 已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误. 【详解】解:由题知, 不妨取 则有, , 故选项A,B错误; 关于选项C, 不妨取 , 故选项C错误; 关于选项D, , , 故选项D正确. 故选:D 5. 下列各组函数中，不是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个函数的定义域与解析式是否一致，即可得解. 【详解】对于A：因为，又， 所以与为相同函数，故A错误； 对于B：因为，所以，， ，所以，又， 所以与为相同函数，故B错误； 对于C：因为，而， 两函数的定义域相同，但是解析式不一致，故不是相同函数，故C正确； 对于D：对于函数，则， 所以， 又，所以与为相同函数，故D错误； 故选：C 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值是2 B. 若，则的最小值为0.25 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数满足，则的最小值为8 【答案】D 【解析】 【分析】应用换元法结合基本不等式计算判断A，先化简再由基本不等式代入计算判断B，特殊值法计算判断C，应用常值代换，基本不等式计算最小值判断D. 【详解】令，则，所以又， 当且仅当，即时取等号，而不满足，A错误； 因为，当且仅当，即时取等号，故的最大值为，B错误； 因为，当，则，则的最小值不是2，C错误； 因为正实数满足，所以， 当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 故选：D. 8. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 集合的非空真子集个数为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用集合的交并补运算判断A、B、C；由集合中元素个数判断子集个数，结合非空真子集定义判断D. 【详解】由题设，，，A、C对，B错； 由共有3个元素，则的子集有个，去掉空集及本身，故非空真子集个数为个，D对. 故选：ACD 10. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法判断A、B，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组）并求解即可判断C，将两边平方，再解一元二次不等式，即可判断D. 【详解】对于A：不等式，即，即，解得， 所以的解集是，故A正确； 对于B：不等式，即，所以不等式的解集为空集，故B错误； 对于C：不等式，即，即，等价于，解得， 所以的解集是，故C正确； 对于D：由得，即， 则，即， 解得，故不等式的解集是，故D正确； 故选：ACD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 已知，则 C. 已知，则“”是“”的充要条件 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域判断A，利用基本不等式判断B，利用特殊值判断C，利用换元法及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为的定义域为， 对于函数，令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B：因为，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：取，，此时满足， 但是，故充分性不成立，故C错误； 对于D：令，则， ∴， ∴当时，， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卷横线上. 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】移项、通分，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】不等式，即，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 14. 已知为正实数，则的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为6. 故答案为：6 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出，再根据集合的运算法则计算可得； （2）依题意可得，分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 又，所以， 又全集，所以或， 所以； 【小问2详解】 因为是的充分条件， 所以， 又， 当，即时，满足； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为. 16. 已知，． （1）求的值； （2）若函数，求的定义域； （3）若函数，求的值域． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式计算可得； （2）首先求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则计算可得； （3）首先求出的解析式，再根据二次函数的性质及不等式的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，, 所以，，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以，所以，解得且， 所以的定义域为， 对于函数，令且，解得且， 所以函数的定义域为； 【小问3详解】 因为，， 所以，又， 所以，所以的值域为. 17. （1）已知，求的解析式． （2）已知函数是二次函数，且，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将换为得到方程组，解得即可； （2）设，根据求出，再由得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，解得； （2）设，因为，所以， 即， 所以， 又， 即， 即，所以，解得， 所以 18. 某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元． （1）求的解析式； （2）污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】（1）； （2）污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【解析】 【分析】（1）污水处理池长为米，可得其宽为米，由其长、宽都不超过米可求得的取值范围，根据题意可得出函数的表达式； （2）利用基本不等式可求得函数的最小值，利用等号成立的条件可求得水池的长与宽，进而得解. 【小问1详解】 依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 19. 已知． （1）若命题为真命题，求的范围； （2）解关于的不等式， （3）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得为真命题，分与两种情况讨论，当则，即可得解； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）结合（2）及不等式有且仅有2个整数解可得及此时不等式的解集，从而得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为命题为真命题， 即为真命题， 当时，恒成立； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为. 【小问2详解】 关于的不等式，即， 即； 当时，解得； 当时，解得； 当时，不等式，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为 【小问3详解】 因为关于的不等式有且仅有2个整数解， 由（2）可得，且此时不等式的解集为； 此时不等式的整数解应为和， 则，解得，即实数的取值范围为. 当时不等式的解集中含有无数个整数解，不符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $