专题26.4 二次函数的解析式的确定 【精英班课程】 2025-2026学年 沪教版（上海）九年级数学第一学期同步培优讲义

上海初中九年级数学第26章二次函数（暑假班预修课程） 专题18 二次函数解析式的确定 1.一般式。当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值； 2.顶点式。 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 3.交点式。已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 4.平移变换型。将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变． 题型1：一般式y = ax2 + bx + c ( a≠0 ) 【例】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值． 【例】已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）． （1）求该抛物线的解析式； （2） 当x为何值时，？ 【例】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、 B两点． （1）试确定该二次函数的解析式； （2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由； （3）求的面积． 【跟踪训练】 1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式． 2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上， 且AB＝OC，求二次函数的表达式． 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标 分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 5．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点， （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积； （3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标． 题型2：设顶点式y = a ( x + m )2 + k ( a≠0 ) 【例】抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______． 【例】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式． 【例】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x = 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式． 【例】已知二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1）且图像与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式． 【例】已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式． 【跟踪训练】 1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式． 3．（上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 题型3：设交点式y = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( a≠0 ) 【例】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式． 【例】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，）三点，求这个二次函数的解析式． 【例】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【例】已知抛物线，当x = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式． 【例】抛物线经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式． 【例】已知二次函数的图像与x轴交于点A（，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且，求二次函数的解析式． 【跟踪训练】 1.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式； 3.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 4．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标： （2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 题型4：二次函数的平移确定解析式 【例】把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式． 【例】怎样平移抛物线，才能使它经过点M（，2）和N（1，）两点？ 【例】已知二次函数的图象的顶点坐标为A（1，），且经过点（2，）． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并 求平移后图象对应的二次函数的解析式． 【例】如图，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． （1）求点A的坐标，并判断的形状（不要求说明理由）； （2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并求出它们的长度（可 用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设的面积为S，求S关于m的关系式． O A P x y C D 【跟踪训练】 1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式． 2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标． 3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式． 4．（上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式 5.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移个单位，求平移后的解析式． 6．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 题型5：二次函数的对称确定解析式 【例】如果二次函数的图象与已知二次函数的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 【例】已知一个二次函数的图象经过点A（1，4）． （2） 求b的值； （2）求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式． 【例】函数与的图象关于______轴对称，也可以认为是函数的图象绕______旋转______得到的． 【例】二次函数的图象关于原点O对称的图象的解析式是__________． 【跟踪训练】 1．二次函数的图象关于轴对称，则的值为（ ） A． 0 B．3 C．1 D．0或3 2． 已知二次函数与的图象关于轴对称，求的值． 3． 抛物线的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________． 4．二次函数的图象关于点A（2，0）对称的图象的解析式是_________． 题型6：二次函数的综合 【例】如图，平行四边形ABCD中，AB = 4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点 的抛物线经过x轴上的点A、B． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． x y A B C D O 【例】（2020虹口二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上． （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点P的坐标； （3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标． 【例】（2023长宁二模）已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且. （1）求抛物线的表达式. （2）如图1，点是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点的坐标； （3）如图2，点坐标为，在抛物线上存在点，满足，请直接写出直线的表达式. （图1） （图2） 一、单选题 1．（2021·上海九年级专题练习）已知二次函数，那么该二次函数图像的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴． 【详解】解：∵二次函数的顶点式是， ∴函数图象的对称轴是直线． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法． 2．（2021·上海九年级专题练习）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 3．（2021·上海九年级专题练习）把二次函数的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到二次函数，则的值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将新抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到原抛物线的顶点式解析式，再化为一般式即可得出结论． 【详解】解：∵将新二次函数向上平移2个单位，再向右平移1个单位， 得到的解析式为=， 则a，b，c的值分别为a=2，b=-1，c=2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y＝x2+6x+1图象的对称轴是（ ） A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝﹣3 D．x＝42 【答案】C 【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的对称轴． 【详解】解：∵y=x2+6x+1=（x+3）2-8， ∴该函数图象的对称轴是直线x=-3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是熟练运用配方法把二次函数解析式化为顶点式． 5．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线的顶点坐标是（ ） A．(-1，8) B．(1，-8) C．(-1，-3) D．(1，3) 【答案】B 【分析】根据题意可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得抛物线的对称轴，然后代入抛物线解析式即可得顶点坐标． 【详解】 抛物线的图像与x轴的交点是、 对称轴是直线x=1， 当x=1时，y=-8，顶点坐标是． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，关键是根据题意得到抛物线的对称轴，然后由对称轴得到抛物线的顶点坐标． 6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数的对称轴是 （ ） A．直线x=-2 B．直线x=-4 C．直线x=1 D．直线x=-1 【答案】C 【分析】先根据抛物线的解析式求出此抛物线与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出其对称轴． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x＋2）（x−4）， ∴此抛物线与x轴的交点为，（−2，0），（4，0） ∴其对称轴为：直线x＝＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的两交点坐标关于对称轴对称是解答此题的关键． 二、填空题 7．（2021·上海九年级一模）已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________． 【答案】x=5 【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论． 【详解】解：∵二次函数图像经过点和， ∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5 故答案为：x=5． 【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键． 8．（2021·上海九年级专题练习）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在轴左侧的部分，图像上升，在轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在轴左侧部分是上升的，在轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为轴，即，，再把代入，得出符合条件的函数解析式即可． 【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：， ∵二次函数的图象在轴左侧部分是上升的，在轴右侧部分是下降的， ∴该函数图象的开口向下，对称轴为轴，即，， ∵函数图象经过， ∴， ∴符合条件的二次函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一． 9．（2021·上海九年级专题练习）二次函数图像的对称轴是直线__________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴的公式可直接求解出结果． 【详解】二次函数的对称轴为直线， ， 对称轴为直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，属于基础题，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解题的关键． 10．（2020·上海九年级专题练习）抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____． 【答案】 【分析】沿直线y=x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y=ax2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式． 【详解】解:∵抛物线沿直线向上平移，平移距离为，相当于抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位， ∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是． 故答案为:． 【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 11．（2021·上海九年级二模）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线_____． 【答案】 【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝，可以得出结论． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝， ∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝． 即对称轴是x＝ ． 故答案为：x＝． 【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键． 12．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y＝x2－4x＋1图象的对称轴是直线______________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴公式可求出对称轴方程． 【详解】解：由抛物线的解析式可得对称轴为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的对称轴为直线是解题的关键． 13．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】先求抛物线：向右平移（＞）个单位的函数解析式，再把代入平移后的解析式，求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线：向右平移（＞）个单位可得： ： 把代入 或 或 经检验：不合题意，取 故答案为： 【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 14．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式． 【详解】解：由题意，得 解这个方程组，得 ∴所求二次函数的解析式是． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式．解答该题的方程组时，采用了“加 减消元法”来解方程组． 15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）P点坐标为（2，－1） 【分析】（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A、B的坐标，进而抛物线解析式可求； （2）连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，则有PA＋PC＝PB＋PC＝BC，所以此时PA＋PC最小，然后求出直线BC的解析式，进而问题可求． 【详解】解：（1）设点A的坐标为，点B的坐标为， ， ∴， 把点A的坐标（1，0）代入得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，如图所示： ∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC，∴此时PA＋PC最小， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 把C（0，－3），B（3，0）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x－3，当x＝2时，y＝x－3＝2－3＝－1， ∴P点坐标为（2，－1）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数是二次函数． （1）求m的值； （2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）-3；（2），开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5） 【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值； （2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴m≠3 ∴ （2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为 ∵a=-6＜0 ∴开口方向向下 ∴对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键． 17．（2018·上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式 【答案】 【分析】把这个二次函数的图象上、下平移，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的横坐标不变，即可求得函数解析式． 【详解】∵， ∴顶点坐标为(-2，-1) ∵这个二次函数的图象只上、下平移，且顶点恰好落在正比例函数的图象上， 即顶点的横纵坐标互为相反数， ∴顶点的横坐标不变为-2，纵坐标为2， ∴顶点坐标为(-2，2)， ∴函数解析式是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=-x的图象上点的坐标特征． 18．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA． （1）求点A坐标； （2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标． 【答案】（1）点A的坐标为（﹣1，0）；（2）y＝+4，顶点坐标是（1，）． 【分析】（1）根据B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA，可以求得OA的长，从而可以得到点A的坐标； （2）根据点A和点B的坐标可以设出该抛物线的解析式，然后根据抛物线经过点C可以求得该抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标． 【详解】解：（1）∵B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA， ∴OC＝4， ∴OA＝1， ∴点A的坐标为（﹣1，0）； （2）设这条抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵点C（0，4）在此抛物线上， ∴4＝a（0+1）（0﹣3）， 解得，a＝﹣， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝+4＝﹣， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，）， 即这条抛物线的解析式为y＝+4，它的顶点坐标是（1，）． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 【答案】（1），顶点坐标；（2）①，②当时，点的坐标为或. 【分析】（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)即可求出m，得出顶点坐标 ，连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为，得,HB=1，P’B=2 求出, 得,故可得的度数 ②根据题意作出图形，根据旋转的性质与，解得三角形的高；故设或分别代入即可求出N的坐标. 【详解】（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入得 解得 ∴抛物线的关系式为：，得y=-(x-1)2+2； ∴顶点坐标为. （2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)得， -1=-(m-1)2+2解得，（舍去）； ∴，得顶点 连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为， 得,HB=1，P’B==2 ∵, ∴, ∴. ②∵,即, ∴; ∵线段以点为旋转中心顺时针旋转，点落在点处; ∴, ∴轴，; 设在边上的高为，得：，解得； ∴设或分别代入得 解得：或 ∴或， 方程无实数根舍去， ∴综上所述：当时，点的坐标为或. 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海初中九年级数学第26章二次函数（暑假班预修课程） 专题18 二次函数解析式的确定 1.一般式。当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值； 2.顶点式。 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 3.交点式。已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 4.平移变换型。将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变． 题型1：一般式y = ax2 + bx + c ( a≠0 ) 【例】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值． 【例】已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）． （1）求该抛物线的解析式； （2） 当x为何值时，？ 【例】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、 B两点． （1）试确定该二次函数的解析式； （2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由； （3）求的面积． 【跟踪训练】 1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式． 2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上， 且AB＝OC，求二次函数的表达式． 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标 分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 5．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点， （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积； （3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标． 题型2：设顶点式y = a ( x + m )2 + k ( a≠0 ) 【例】抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______． 【例】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式． 【例】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x = 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式． 【例】已知二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1）且图像与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式． 【例】已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式． 【跟踪训练】 1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式． 3．（上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 题型3：设交点式y = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( a≠0 ) 【例】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式． 【例】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，）三点，求这个二次函数的解析式． 【例】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【例】已知抛物线，当x = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式． 【例】抛物线经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式． 【例】已知二次函数的图像与x轴交于点A（，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且，求二次函数的解析式． 【跟踪训练】 1.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式； 3.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 4．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标： （2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 题型4：二次函数的平移确定解析式 【例】把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式． 【例】怎样平移抛物线，才能使它经过点M（，2）和N（1，）两点？ 【例】已知二次函数的图象的顶点坐标为A（1，），且经过点（2，）． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并 求平移后图象对应的二次函数的解析式． 【例】如图，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． （1）求点A的坐标，并判断的形状（不要求说明理由）； （2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并求出它们的长度（可 用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设的面积为S，求S关于m的关系式． O A P x y C D 【跟踪训练】 1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式． 2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标． 3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式． 4．（上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式 5.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移个单位，求平移后的解析式． 6．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 题型5：二次函数的对称确定解析式 【例】如果二次函数的图象与已知二次函数的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 【例】已知一个二次函数的图象经过点A（1，4）． （2） 求b的值； （2）求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式． 【例】函数与的图象关于______轴对称，也可以认为是函数的图象绕______旋转______得到的． 【例】二次函数的图象关于原点O对称的图象的解析式是__________． 【跟踪训练】 1．二次函数的图象关于轴对称，则的值为（ ） A． 0 B．3 C．1 D．0或3 2． 已知二次函数与的图象关于轴对称，求的值． 3． 抛物线的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________． 4．二次函数的图象关于点A（2，0）对称的图象的解析式是_________． 题型6：二次函数的综合 【例】如图，平行四边形ABCD中，AB = 4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点 的抛物线经过x轴上的点A、B． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． x y A B C D O 【例】（2020虹口二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上． （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点P的坐标； （3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标． 【例】（2023长宁二模）已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且. （1）求抛物线的表达式. （2）如图1，点是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点的坐标； （3）如图2，点坐标为，在抛物线上存在点，满足，请直接写出直线的表达式. （图1） （图2） 一、单选题 1．（2021·上海九年级专题练习）已知二次函数，那么该二次函数图像的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·上海九年级专题练习）把二次函数的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到二次函数，则的值分别为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y＝x2+6x+1图象的对称轴是（ ） A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝﹣3 D．x＝42 5．（2020·上海市静安区实验中学）抛物线的顶点坐标是（ ） A．(-1，8) B．(1，-8) C．(-1，-3) D．(1，3) 6．（2020·上海市静安区实验中学）二次函数的对称轴是（ ） A．直线x=-2 B．直线x=-4 C．直线x=1 D．直线x=-1 二、填空题 7．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________． 8．（2021·上海九年级专题练习）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在轴左侧的部分，图像上升，在轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______． 9．（2021·上海九年级专题练习）二次函数图像的对称轴是直线__________． 10．（2020·上海九年级专题练习）抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____． 11．（2021·上海九年级二模）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线_____． 12．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y＝x2－4x＋1图象的对称轴是直线____ 13．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______． 三、解答题 14．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．求这个二次函数的解析式． 15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标． 16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数是二次函数． （1）求m的值； （2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．（2018·上海格致中学九年级月考）把二次函数这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求平移后二次函数的解析式 18．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA． （1）求点A坐标； （2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标． 19．（2020·上海）已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 20.如图，把抛物线（虚线部分）向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于y轴对称．点A、O、B分别是抛物线、与x轴的交点，D、C分别是抛物线、的顶点，线段CD交y轴于点E． （1）分别写出抛物线与的解析式； （2）设P是抛物线上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称 点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由． （3）在抛物线上是否存在点M，使得 ，如果存在，求出M点的坐B x y A O C D E l1 l2 标；如果不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $