专题03 二次函数与几何综合（6大题型）（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题03二次函与几何综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数与线段有关问题【常考点】 1 题型二、二次函数与面积有关的计算 4 题型三、二次函数与特殊三角形【高频考点】 7 题型四、二次函数与角度有关的问题 10 题型五、二次函数与特殊四边形 12 题型六、二次函数与相似三角形【难点】 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数与线段有关问题【常考点】 1．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ． 3．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 5．已知二次函数的图象经过点，顶点为是的中点． (1)求该二次函数的表达式； (2)在点左侧的轴上取一点，使得，延长交于点，求线段的长； (3)若点是线段上一动点，满足，在轴上取一点（点不与点重合），使得，延长交于点，试探究的值（用含的式子表示）． 6．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 7．已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 题型二、二次函数与面积有关计算 9．在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，如果点Ｍ在y轴右侧的抛物线上，，那么点Ｍ的坐标是 ． 10．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为 （面积单位）．   11．抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 12．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 13．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 14．已知二次函数顶点坐标为，这条抛物线与轴的两个交点，设点在这条抛物线上，且，求点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．点是直线上方的抛物线上的动点． (1)若时，点正好位于抛物线顶点，求的长． (2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）； (3)若的面积的最大值为，求的值； 16．已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 18．已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 19．已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 题型三、二次函数与特殊三角形【高频考点】 20．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ． 21．已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 23．已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． (1)当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 24．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 25．已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 26．如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作 轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 28．已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 题型四、二次函数与角度有关的问题 29．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 30．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一点，联结、，点在抛物线上运动． (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 31．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，如图，已知点A的坐标是与y轴相交于点 (1)求抛物线解析式及对称轴； (2)当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； (3)连接，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点点B除外，过点P作轴，垂足为作，射线交y轴于点Q，连接若，求点P的横坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 33．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 34．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 题型五、二次函数与特殊四边形 35．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 37．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 39．定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 40．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 41．我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 题型六、二次函数与相似三角形【难点】 42．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 43．已知抛物线过点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴是直线． (1)求此抛物线的表达式及点D的坐标； (2)连接，求证：； (3)点P在y轴上，且与相似，求点P的坐标． 44．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； (3)在（2）的条件下，点是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接、，交线段于点，当时，求点的坐标． 45．如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 46．在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 47．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线 交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 2．如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 3．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． （1）求m的值； （2）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线①是由抛物线经过平移所得，且抛物线①过点、，它与轴的另一个交点为A ． (1)求抛物线①的表达式； (2)设抛物线①的顶点为D，求的面积； (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 5．已知：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点A和点B，顶点为M． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)如果将直线绕点A顺时针旋转，求旋转后直线在y轴上的截距． 6．如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知． (1)求顶点和点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积； (3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标． 10．在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G （1）求抛物线和直线AC的解析式； （2）如图1，设E（m，0）为x轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标； （3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 15．如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函与几何综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数与线段有关问题【常考点】 1 题型二、二次函数与面积有关的计算 13 题型三、二次函数与特殊三角形【高频考点】 27 题型四、二次函数与角度有关的问题 42 题型五、二次函数与特殊四边形 57 题型六、二次函数与相似三角形【难点】 69 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数与线段有关问题【常考点】 1．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ． 【答案】8 【解析】解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 3．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：∵ ， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 5．已知二次函数的图象经过点，顶点为是的中点． (1)求该二次函数的表达式； (2)在点左侧的轴上取一点，使得，延长交于点，求线段的长； (3)若点是线段上一动点，满足，在轴上取一点（点不与点重合），使得，延长交于点，试探究的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)的值为或 【解析】（1）解：二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴顶点坐标为， ∵点是的中点， ∴点的横坐标，纵坐标为，即， ∵在点左侧的轴上取一点，， ∴是等腰三角形，点的横坐标为， ∴， 延长交于点，如图所示， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是线段上一动点， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 同理，点的横坐标为：， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∵点是线段上一动点，， ∴，即， ∴， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的值为或． 6．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【解析】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 7．已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【解析】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴ ， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【解析】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 题型二、二次函数与面积有关计算 9．在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，如果点Ｍ在y轴右侧的抛物线上，，那么点Ｍ的坐标是 ． 【答案】（1，-6）或（4，6）． 【解析】∵y=x2-x-6为抛物线， ∵抛物线y=x2-x-6与x轴交于A，B两点， 令y=0，设方程x2-x-6=0的两根为x1，x2， ∴x1=-2，x2=3， ∴A（-2，0），B（3，0）， 设M点坐标为（a，a2-a-6），（a＞0） ∵S△AMO=S△COB， ∴×AO×|yM|=××OC×|xB|， ∴×2×|a2-a-6|=××6×3， 解得，a1=0，a2=1，a3=-3，a4=4， ∵点M在y轴右侧的抛物线上， ∴a＞0， ∴a=1，或a=4， a2-a-6=12-1-6=-6，或a2-a-6=42-4-6=6 ∴M点坐标为（1，-6）或（4，6）． 10．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为 （面积单位）．   【答案】9 【解析】解：如图所示，连接BC，OD， 由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积， 根据题意可得：OB=3，OC=3，BD=3， 所以，曲线CMB在平移过程中扫过的面积=OC×OB+ OB×BD=×3×3+×3×3=9. 故答案为:9． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积是解题的关键． 11．抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 【答案】(1)①2；② (2) 【解析】（1）解：①∵顶点在轴上， ∴，得， ∵， ∴， 把带入，解得， ∴， ∴； ②设对角线，交轴于． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又由，得， ∴的纵坐标为， 把的纵坐标代入，解得的横坐标（舍去负数），即， ∴； （2）解：要使与x轴有两个交点，则， 令，得， ∵抛物线沿轴正半轴平移，的对应点为， ∴轴， ∴， ∵由沿直线翻折得到， ∴． 设的对应点为，则， ， ∵平移，∴， 即，解得， 则未平移的抛物线为， 故可设，过点作轴于点 则是等腰直角三角形， 则， 则，，解得， ∴． 12．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)面积有最大值为，此时点； (3)或或． 【解析】（1）解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； （3）解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 13．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）解：根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为， ∵点是图象上一点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴m的值为3； 根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标分别是、、， 过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图所示． 则D、E的坐标分别为、． ∴． 14．已知二次函数顶点坐标为，这条抛物线与轴的两个交点，设点在这条抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】或或或 【解析】解：∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∴或， 解得，，，， ∴点的坐标为或或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．点是直线上方的抛物线上的动点． (1)若时，点正好位于抛物线顶点，求的长． (2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）； (3)若的面积的最大值为，求的值； 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解析】（1）解：过点作轴于，如图， 当时，，解得，， ，， 对称轴为直线， ， ， ， 当时，，即顶点坐标为， 当时，，即， ∵时，点正好位于抛物线顶点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， 将，代入得， ， 解得：， ∴； （3）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ， 的面积的面积的面积， 的面积， 当时，的面积有最大值为， ， 解得． 16．已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【解析】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3)，， 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； （3）解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 18．已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 【答案】(1)，直线 (2)24 【解析】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴抛物线的对称轴l为直线； （2）解：过点B作，垂足为点H． ∵点A与点D关于对称轴l对称，又点， ∴， ∴轴，． ∵， ∴． ∴． 19．已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 题型三、二次函数与特殊三角形【高频考点】 20．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ． 【答案】或或 【解析】由题意得：A(m，h)，且， 上式中令x=0，得， ∴． ∵点A在直线上， ∴， 即，， ∵点B、点C关于x轴的对称， 则． ①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线， ∴OA=OB， ∵，， 则， 由于m≠0， 解得：或， 所以点A的坐标为或； ②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同， 即， ∴，m=0（舍去）， 所以点A的坐标为； 综上所述，点A的坐标为或或． 21．已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【解析】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 22．已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 【解析】（1）解：∵二次函数图像的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过原点， ∴把，代入得.. 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的图像与x轴交于点A， ∴把，代入， 解得，（舍去）， 得点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 23．已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． (1)当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【解析】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线的表达式为， 把代入抛物线：，得， 则抛物线的表达式为， 由点P在抛物线上，设点P的坐标为， 由点P是抛物线的顶点，得， 解得， 得点P的坐标为， 即抛物线的对称轴为直线； （3）证明：由点Q是抛物线的顶点，得， 过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，如下图所示， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 设直线表达式为， 代入，，得， ∴直线表达式为， 把代入，得， 得点E的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 24．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【解析】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 25．已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2) ； 【解析】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 26．如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【解析】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作 轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【解析】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 28．已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)或 【解析】（1）解；当时，抛物线经过点、，把、代入得， 解得 ∴， ∵ ∴顶点 （2）∵抛物线经过点、，点为抛物线顶点． ∴， 把代入得到， 把代入中 得到 即， ， ， ∴，   （3）由题意可知， 仅有和两种情况， 由（2）可知，， 设直线的解析式为，把代入得到，， ∴， ∴， 当时，，解得， ①时，，      ，， （负舍） ②， ，， （负舍） 综上所述，或 题型四、二次函数与角度有关的问题 29．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：将代入，则， ∴， ∵， ∴， 将点A坐标代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在y轴右侧， 当点P在x轴下方时，设延长线交x轴于点E， 则，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 当点P在x轴上方时，设与x轴交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 30．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一点，联结、，点在抛物线上运动． (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【解析】（1）解：， 令，得；令，得； ，； 将，代入， 得：， 解得， ； （2）解：中，令，得， 解得，， ，， 当时，点P与点A到直线的距离相等， 分两种情况： ①点P在直线下方时，点P在过点A且与直线的平行线上． 直线的解析式为， 设点P在直线上， 将代入，得：， 解得， 点P在直线上， 联立，得：， 解得，， 当时，点P的坐标为，与点A重合，不合题意； 当时，点P的坐标为，符合题意； ②点P在直线上方时，点P在与直线的平行线上，该平行线到直线的距离与点A到直线的距离相等． 直线的解析式为，过点A且与直线平行的直线解析式为， 点P所在直线的解析式为：， 联立，得：， 整理，得， ， 方程没有实数根， 这种情况不存在． 综上可知：点P的坐标为； （3）解： ，，， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 在x轴上取点，连接，如图： 则， ， ， ， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 解方程组，得：或， 点P的坐标为． 31．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，如图，已知点A的坐标是与y轴相交于点 (1)求抛物线解析式及对称轴； (2)当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； (3)连接，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点点B除外，过点P作轴，垂足为作，射线交y轴于点Q，连接若，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，其对称轴为直线 (2) (3)点P的横坐标为：1或或 【解析】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为直线； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴当，且时，y随着x的增大而减小， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（舍） ∴； （3）在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【解析】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 在中，， ∴ ∴点A的坐标为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴； （2）①当时，，解得或， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点P的坐标为； ②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N， ∵，， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得，     ∴直线的解析式为， ∴， ∵，且点D在抛物线对称轴直线上， ∴， ∵ ∴， 在中，, 设，则则， ∴， ∵， ∴，则 ∴， 则点H的坐标是，即， 设直线的解析式为， 则     解得，     ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得到 解得，（不合题意，舍去） 当时， ∴ 33．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】(1)，，抛物线解析式为 (2)15 (3)或 【解析】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ （2）解： ； （3）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 34．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【解析】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； （2）∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 题型五、二次函数与特殊四边形 35．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) ① ② 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ 解得： ∴， ∴点， ∴点． 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【解析】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 37．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【解析】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 38．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）解：如图： ∵顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， 将点代入，， 解得， ∴； （2）解：∵P点横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 直线的解析式为， ∴， ∵轴， ∴， 解得或（舍）； ∵点Q的坐标为， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴Q点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到M点， ∴A点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∵点N与点Q的纵坐标之和为0， ∴， 解得； （4）解：过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 39．定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过， (3)存在，对称中心坐标为或 【解析】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 40．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【解析】（1）解：由题意，得A的坐标为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的对应的函数关系式为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴是直线， ∵轴，，即 ∴点D的坐标为； （3）解：①当，是等腰直角三角形时，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴． ∴． ∴点M的坐标为； ②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点E的坐标为或， ∵点E在抛物线上， ∴或 ∴（负值舍去）． 41．我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2) (3)或 【解析】（1）二次函数，顶点为， 它的“W”函数图象的“平衡点”为． 当时，，解得，， 它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确； 由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误； 由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确； 故答案为：①√；②×；③√． （2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为， 由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为， ， 当时，， 解方程得，， ， 由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分， 当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，， 即，解得，， ， ． （3）当时，， 解得，， 如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况： ①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． ②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． 综上所述，实数h的取值范围为或． 题型六、二次函数与相似三角形【难点】 42．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【解析】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点D的坐标为； （2）解：抛物线与y轴交于点A， 当时，， , ,， ，，， ， 是直角三角形，且， ，， ， ， ，， ， ，即， 若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形， 也是锐角三角形，且点在第四象限， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 点P在直线上， 设， 如图，过点作于点，则，， 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 43．已知抛物线过点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴是直线． (1)求此抛物线的表达式及点D的坐标； (2)连接，求证：； (3)点P在y轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2)见解析 (3)点P的坐标是 【解析】（1）解：抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得，    抛物线的表达式为， 当时，， 点D的坐标为； （2）证明：如图，过D作轴， 点D的坐标为， 在中； 将代入，得：， 点B的坐标为， 在中； ， ； （3）解：∵与相似，而为直角三角形， ∴也为直角三角形， ∴情况1：若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 但此时，， ∴， 又， ∴与不相似， ∴此时点P不存在． 情况2：如图，若，作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 此时，，，且， ∴与相似， 即当时，使得与相似． 情况3：若， 设，则， 即， 得， ∵， ∴无解， ∴点P不存在． 综上所述，点P的坐标是． 44．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； (3)在（2）的条件下，点是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接、，交线段于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）解：将点代入得， 又抛物线的对称轴为直线， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图， 令，则，解得， 点，， ， ， ， 根据二次函数的对称性，得点的横坐标为， 代入二次函数表达式得， ， 点的坐标为， 又点的坐标为，点与点关于直线对称， ， ； （3）如图，过点作交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 则 ∵， ， ， ， 即 解得：或 当时， 当时， 点的坐标为或． 45．如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该正方形的边长为； (3)存在，点坐标为或． 【解析】（1）解：将、、，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， 即， 解得，（舍去）， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论： 当，即， 解得， 当，即， 解得， 作轴，垂足为， 当，，点坐标为； 当，，点坐标为； 综上所述：点坐标为或． 46．在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【解析】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 47．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线 交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】(1)①；②点D的坐标为 (2) 【解析】（1）解：① ，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解： ，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线 交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【解析】（1）解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 2．如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)8 【解析】（1）解：抛物线：的顶点坐标为， 点关于对称后的点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于成中心对称， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线：与：交于A、B， ∴令， 解得：或， 则A、B两点横坐标分别为和， 设，，其中， 则 ， ∴当时，最大为8． 3．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． （1）求m的值； （2）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）m = –2；（2）存在，点P的坐标为（2，3）或（，）． 【解析】（1）∵点C（0，3）在抛物线上， ∴1–m=3． 解得：m=-2． （2）设P（x，y）， ∵m=-2， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴对称轴为直线x=1，顶点D坐标为：（1，4）， ∵C（0，3）， ∴CD=， ①当PD=CD时，即得点C和点P关于直线x=1对称， ∴点P的坐标为（2，3）． ②当PC=PD时，由两点间的距离公式得：， 解得：， ∵点P在抛物线上， ∴． 解得：，＜1， ∵点P在对称轴右侧， ∴． 由，得． ∴点P的坐标为（，）． ③当PC=CD时，点P在对称轴左侧，不符合题意， 综上所述，当点P的坐标为（2，3）或（，）时，△PDC是等腰三角形． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线①是由抛物线经过平移所得，且抛物线①过点、，它与轴的另一个交点为A ． (1)求抛物线①的表达式； (2)设抛物线①的顶点为D，求的面积； (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3) 【解析】（1）解：∵抛物线①是由抛物线经过平移所得 ∴抛物线①的解析式为， 把点、代入，得 ， 解得：， ∴抛物线①的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线①的顶点D坐标为， 过点D作轴于E，如图， 则， ∵ 又∵、 ∴ ； （3）解：∵， ∴ 在中，， 当点F在点C下方时，过点F作于G，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点F在点C上方时， ∵，， ∴ ∴不会在轴上方与轴相交，故此种情况不存在； 综上，点在轴上，且，点的坐标为． 5．已知：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点A和点B，顶点为M． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)如果将直线绕点A顺时针旋转，求旋转后直线在y轴上的截距． 【答案】(1) (2) (3)旋转后直线在y轴上的截距为 【解析】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 当时，， 当时，得到，解得， 则点A、B的坐标分别为：、， 代入抛物线可得， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，， 把代入抛物线，可得， 点， 如图，过点M作轴交AB于点N，连接， 当时，，则， 则的面积； （3）解：设直线AB绕点A顺时针旋转45°交y轴于点H，过点H作于点T， 在中，，，， 为等腰直角三角形， 故设，， ， 则可得 解得， ，， 根据勾股定理可得， 则， 即旋转后直线在y轴上的截距为. 6．如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)或 (3)在直线存在一点， 【解析】（1）解：设抛物线解析式， 把和代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即， 顶点坐标为； （2）解：设E点的坐标为， ∵， ∴， 即， ， ∵点在第四象限， ∴得， 化简得， 解得， ∴E点的坐标为 或； （3）解：在直线存在一点，理由如下： ∵与相似，且是直角三角形， ∴也是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为． 7．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【解析】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【解析】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知． (1)求顶点和点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积； (3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【解析】（1）解：根据题意可画出函数图象，如图1， 令可得， ∴，即． 在中，， ∴， ∴， ∴． 将点的坐标代入抛物线解析式可得，， 解得． ∴抛物线的解析式为：． ∴顶点， 令，即， ∴或， ∴． （2）解：如图2， 将（1）中抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线． 令，则． ∴ 连接并延长交轴于点，设直线AP的解析式为y＝x＋ ，把点A和点P的坐标代入得 ， ∴直线的解析式为：， 当x＝0时， y＝﹣2， ∴， ∴． （3）解：在中，，，，， ，， 如图3，过点作垂直于原抛物线的对称轴于点Q， ∴，， ∴，． ∴， 若与相似，则：：或：：， 设， 则， ∴：：或：：， 解得或． ∴或 10．在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【解析】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G （1）求抛物线和直线AC的解析式； （2）如图1，设E（m，0）为x轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标； （3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；y=3x+3；（2）点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值为或或． 【解析】解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得， ，解得， ∴， 设直线AC的解析式为y=kx+n， 将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3 ∴直线AC的解析式为：y=3x+3 （2）延长GC交x轴于点F，过点G作GH⊥x轴于点H， ∵ ∴G（1,4），GH=4， ∴， 若S△CGE=S△CGO， 则S△CGE=S△CGO=， ①若点E在x轴的正半轴， 设直线CG为，将G（1,4）代入得 ∴， ∴直线CG的解析式为y=x+3， ∴当y=0时，x=-3，即F(-3,0) ∵E（m,0） ∴EF=m-(-3)=m+3 ∴ = = = = ∴，解得：m=1 ∴E的坐标为（1,0） ②若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等， 即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离， ∴EF=-3-m=1-(-3)=4 ∴m=-7，即E（-7,0） 综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0） （3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M（e,3e+3），e＞-1，则， ①如图2，若∠MPN=90°，PM=PN， 过点M作MQ⊥x轴于点Q，过N作NR⊥x轴于点R， ∵MN∥x轴 ∴MQ＝NR＝3e＋3 ∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL） ∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45° ∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3 ∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3） ∵N在抛物线上 ∴−（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3， 解得：（舍去）， ∵AP＝t，OP＝t−1，OP＋OQ＝PQ ∴t−1−e＝3e＋3 ∴t＝4e＋4＝， ②如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN， ∴MN＝PM＝3e＋3 ∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3） ∴−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3 解得：e1＝−1（舍去），e2＝， ∴t＝AP＝e−（−1）＝， ③如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN， ∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3） 解得：e＝ ∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝ 综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或． 12．已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)存在，， 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，， ∴ 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，，则， 则， ∵是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，， ∴点D、A、Q在同直线上， 设，， ∴，， 作轴，故轴，则， ∴， ∵， ∴， 可知， ∴， 同理可得直线的解析式为， 解方程，得或， ∴， 连接，作轴， 可知：， ∴， ∵， ∴， 即，故在的左侧， 此时：， 设， ∵，，，， I．当时， ， ∴，， ∴， II．当时， ， ∴，， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵点C在y轴正半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴，， 将，代入，得：， 解得：； （2）解：①设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴； 在中，当时，，即， 又∵在轴负半轴， ∴，即， ∴，， 平移后的抛物线对称轴为直线， ∵原点O到新抛物线的对称轴的距离等于的长度， ∴，即， 解得：， ∴， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴， 过点作轴，过点E作于G， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的， ∴新抛物线解析式为：， 又∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【解析】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 15．如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②点的坐标为或 【解析】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）． ∴ 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）， ∴ 综上所述：点的坐标为：或． 16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2) (3)；、；的条件是错误的，理由见解析 【解析】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 对称轴为直线； （2）解：如图， 当时，， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； （3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ； 答案的个数为个，没用的是、； 故答案为：；、； 的条件是错误的，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $