精品解析：天津市南仓中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

天津市南仓中学2025至2026学年度第一学期 高二年级过程性检测（数学学科） 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第I卷至1页第Ⅱ卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 3. m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时的值，再根据充分必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直， 所以，所以，所以或， 所以当m＝－1时，直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直. 但直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时，m＝－1不一定成立. 所以m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知则的值分别为 A. B. 5，2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，，所以，即，解得，故选A． 5. 如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值. 【详解】连接、， 因为， 因为是线段上一点，且，则， 因此， 因此，. 故选：A. 6. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知所求直线与垂直，由两直线垂直时斜率乘积为，求直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】由题意可知，当直线与垂直时，原点到该直线距离最大. ，则直线斜率， 所以直线方程为，即. 故选：A. 7. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 8. 已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（ ） A. 三条直线的倾斜角之和为 B. 三条直线在y轴上的截距满足 C. 三条直线的倾斜角满足 D. 三条直线在x轴上的截距之和为． 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程的斜率、倾斜角、截距的概念逐项判断即可. 【详解】设三条直线的倾斜角，且 则，所以 所以，且为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于，故A不正确； 对于直线，令，得纵截距，同理，所以，故B不正确； 由于，且为锐角，所以，由，故，故C正确； 直线在x轴上的截距分别为，截距之和为，故D不正确. 故选：C. 9. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为2，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，求平面法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数求其值域即可． 【详解】设正方体棱长为2， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，， 可得，， 设， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 当时，取得最大值；当或1时，取得最小值； 所以的取值范围是． 故选：A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】截距互为相反数，分截距为零和不为零两种情况讨论求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为， 则，解得，所以直线方程为，即． 所以直线的方程为或． 故答案为：或. 11. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____． 【答案】 【解析】 【分析】 设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解. 【详解】设向量在向量上的投影向量是， 由题意可得，即，解得， 因此，向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 12. 若经过两点的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式，解不等式得到的取值范围. 【详解】因为直线l的倾斜角为锐角，所以其斜率，故． 故答案为：. 【点睛】本题属于直线的斜率问题，关键是知道斜率的计算公式. 13. 已知直线，直线.若，则值为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解，并代入检验即可. 【详解】因为，则，解得或， 若，则直线，直线，两直线重合，不合题意； 若，则直线，直线，两直线平行，符合题意； 综上所述：. 故答案为：2. 14. 已知、，若经过的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标求出直线、的斜率，结合图像和公式即可. 【详解】由题意知，如图 直线的斜率， 直线的斜率 因为过点P的直线与线段AB有交点 所以直线的斜率为：或，又 所以直线的倾斜角的取值范围为： 故答案为： 15. 设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线的方程可求得定点、的坐标，以及两直线垂直，进而可得，再结合即可求解. 【详解】由可知，所以该直线过定点， 由可得，所以该直线过定点， 因为直线与垂直， 所以， 因为， 即，解得：， 所以的最大值为， 故答案为：. 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知，，．求： （1）BC边上的中线所在的直线方程； （2）AB边垂直平分线方程； （3）过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求中点的坐标，再求直线的斜率，利用点斜式表示直线，再化成一般式即可； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； （3）利用直线的倾斜角的关系利用三角函数关系式求出直线的斜率，进一步求出直线的方程． 【小问1详解】 由于，，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； 【小问2详解】 由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； 【小问3详解】 由于，，所以直线的斜率，设其倾斜角为，故， 所求直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，所求直线的斜率， 故所求的直线的方程为，整理得． 17. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴，. 又()∥()， ∴，解得，. 【小问2详解】 由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 18. 已知直线经过点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线平行，设，再代入所过定点即可得到直线方程； （2）首先分析直线斜率存在且不为0，再设点斜式方程，写出面积表达式，求出值即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 过点，则， 的方程：； 【小问2详解】 很显然直线的斜率存在且不为0，则设直线的方程为， 令，则；令，则， 横截距为，纵截距为， 则面积，或， 方程为或， 即或. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求到直线的距离； 【答案】（1） 证明：因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. （3）求出，，再求出两向量夹角正弦值，最后乘以即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 ，， 则， 则求到直线的距离为. 20. 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 【答案】（1） 因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 因为， 所以，所以， 又因为平面， 所以∥平面； （2）； （3）存在点，此时，理由如下： 解：假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； （3）假设存在，列出方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南仓中学2025至2026学年度第一学期 高二年级过程性检测（数学学科） 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第I卷至1页第Ⅱ卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知则的值分别为 A. B. 5，2 C. D. 5. 如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 8. 已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（ ） A. 三条直线的倾斜角之和为 B. 三条直线在y轴上的截距满足 C. 三条直线的倾斜角满足 D. 三条直线在x轴上的截距之和为． 9. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______． 11. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____． 12. 若经过两点的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是_______． 13. 已知直线，直线.若，则值为____________. 14. 已知、，若经过的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______________． 15. 设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______. 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知，，．求： （1）BC边上的中线所在的直线方程； （2）AB边垂直平分线方程； （3）过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程： 17. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 18. 已知直线经过点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程； 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求到直线的距离； 20. 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $