圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明 专项讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 考点目录 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线长定理 切线的证明 考点一 点与圆的位置关系 例1.(25-26九年级上·江苏苏州期中)两个同心圆的圆心为点O,大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm.若点 P在大圆内部但在小圆外部，则( ) A.OP>3cm B.OP<5cm C.3cm<OP<5cm D.OP>5cm 【答案】C 【详解】解：：P在大圆内部， ..OP<5cm, :P在小圆外部， .OP>3cm, .3cm<OP<5cm. 故选：C. 例2.(25-26九年级上·江苏南京·阶段练习)己知⊙O的半径为4cm,点p到圆心C的距离为4.5cm,则点P与⊙O的 位置关系是() A.⊙O内 B.⊙O上 C.⊙O外 D.以上都有可能 【答案】C 【详解】解：：圆的半径r=4cm,点P到圆心O的距离d=4.5cm,且4.5>4， .d>r, .点P在⊙O外 故选：C 例3.(25-26九年级上·江苏无锡阶段练习)已知⊙O的半径为3，点P到圆心（的距离c恰好是一元二次方程 x2-6x+8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是() A.点P在⊙O的内部 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O的外部 D.点P在⊙O的内部或点P在⊙O的外部 【答案】D 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 【详解】解：：解方程x2-6x+8=0得，x=2,x2=4, 当r=3,d=2时，点P在圆内： 当r=3,d=4时，点P在圆外， :点P在⊙O的内部或点P在⊙O的外部. 故选：D. 例4.(25-26九年级上·江苏苏州阶段练习)ABC中，∠C=90°，AC=20,AB=25,以点C为圆心，r为半径画圆， 使得点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是一· 【答案】15<r<20 【详解】解：：∠C=90°，AC=20,AB=25, .BC=VAB2-AC2=√252-202=15， :以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C外，点B在⊙C内， .BC<r<AC, 即15<r<20, 故答案为：15<r<20 例5.(25-26九年级上·江苏无锡阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=12,以顶点D为圆心作半径为 ”的圆，若要求另外三个顶点人B、(中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则”的取值范围是」 D 【答案】5<r<13 【详解】解：连接C,如下图： :四边形ABCD是矩形， ∠A=90°， .△ABD是直角三角形， 在直角△ABD中，CD=AB=12,AD=5, .BD=NAD2+AB2=N52+122=13, 2 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 由图可知，r的取值范围为：5<r<13, 故答案为：5<r<13 例6.(2025湖南湘西·模拟预测)在平面直角坐标系中，⊙A的半径为2，点的坐标为(5,12)，P(m,n)是⊙A上 的一个动点，则m2+n2的最大值为，m2+n2的最小值为 【答案】 225 121 【详解】圆心A(5,12)到原点0(0,0)的距离0A=√52+122=13， ⊙A的半径为2，当点P位于线段QA的延长线上且远离O时， QP取得最大值13+2=15， 故m2+n2的最大值为15：125； 当点P位于线段OA上且靠近O时， 0P取得最小值13-2=11，故m2+n2的最小值为112=121. 故答案为225,121. 变式1.(25-26九年级上：广东江门阶段练习)己知⊙O的半径为4cm,0P=3cm,则点P与⊙O的位置关系是( A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键 将点P到圆心O的距离（即OP的长度）与⊙O的半径进行比较即可得. 【详解】解：：⊙O的半径为4cm,0P=3cm,且3cm<4cm, 点P在⊙O内， 故选：A. 变式2.(25-26九年级上河北石家庄阶段练习)在平面直角坐标系x0y中，己知点A(-4,-3),以点A为圆心，4为 半径画⊙A,则坐标原点0与0A的位置关系是() A.点O在0A内B.点O在0A外C.点O在0A上D.以上都有可能 【答案】B 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 【详解】解：点A(-4,-3), ·0A=V-42+(-3)=5, :0A半径为4， .5>4, 点0在0A外， 故选：B. 变式3.(25-26九年级上江苏镇江阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),0A半径为2，P 为OA上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是() E D A A.1 B C.2 D. 2 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH,AP, E :E是PC的中点，⊙A半径为2， .EH是△ACP的中位线， EH=4P=x2=1, 2 2 .点E的运动路径是以H为圆心半径为1的圆， :C0,4,A3,0, 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 ..OH= +22= 2 :P为OA上任意一点， .OE≥OH-EH,当点O、E、H共线时取等号， 此时OE取得最小值，最小值为OH-EH), 01-m13 3 :0E的最小值为2 故选：B. 变式4.(2526九年级上江苏镇江·阶段练习)平面内，若⊙O的半径为3,0P=2,则点P在⊙O·(填“内”、 “上”或“外”) 【答案】内 【详解】解：：⊙0的半径r=3,点P到圆心0的距离0P=2, :.OP<r, 故点P在⊙O内. 故答案为：内 变式5.(25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习)在公园的0处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图 中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、 G、H四棵树中需要被移除的为」 【答案】E、F、G三棵树 【详解】解：设图中小正方形的边长为x, 则0A=V2x)2+x2=V5x, OE=OF=2x,OG=x, 0H=V(2x)2+(2x)2=2V2x, 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 OE=OF<OA,OG<OA,OH>OA, .点E、F、G在⊙O内，点H在⊙O外， 因此E、F、G三棵树需要被移除， 故答案为：E、F、G三棵树. 6 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 考点二 直线与圆的位置关系 例1.(25-26九年级上·江苏·阶段练习)如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳 可看成直线和圆，则它们的位置关系为() A.相离 B.相切 C.相交 D.平行 【答案】C 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C. 例2.(2025湖北武汉·模拟预测)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线1上一点的距离为5，则直线1和⊙O的位置 关系可能是() ①相交；②相切；③相离 A.①②③ B.② C.①③ D.①② 【答案】D 【详解】设圆心O到直线1的距离为d, 根据题意，在直线1上存在一点P,使得0P=5, 因为垂线段最短，所以圆心O到直线1的距离d≤OP,即d≤5， 又因为圆的半径r=5,所以d≤r, 当d=r=5时，直线1与⊙O相切： 当d<r时，直线1与⊙O相交， 故直线1和⊙O的位置关系可能是相切或相交 故选：D. 例3.(25-26九年级上广东珠海期中)在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为3，直线1的解析式为y=x+3, 3 那么直线1与⊙O的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】C > 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 【详解】解：如图，直线y=x+3分别与xy轴交于A、B, M 3 y= 4+3 H、 0 过O作OH⊥AB于H, 当x=0时，y=3, .0A=3, 当y=0时， 4+3=0, 六x=-4, .0B=4, .AB=OA2+OB2=5, :△408的面积-=号4B-01=0B-01, 5×0H=3×4, 0H=2.4, ∴0到直线1的距离d=2.4, :⊙0的半径r=3, i.d<r, :直线1与⊙O的位置关系是相交. 故选：C 例4.(25-26九年级上·江苏泰州阶段练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2,点O在ABC内部，以O 为圆心，OC长为半径的圆与直线AB相离，则OC的取值范围是_ 8 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 B 【答案】0<0c<25 【详解】解：设⊙O恰好与直线AB相切时，切点为E,过点C作CD⊥AB于D,连接CE, :△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2, :AB=AC2+BC2=25, :CD⊥AB, .S.wc=AB-CD=AC.BC, :CD=4CBC=2×44V5 AB 25 5 :0C+0E=20C2CE≥CD, “当点E为点D重合，且0、C、D三点共线时，0C有最小值，最小值为25 ÷当o0与直线AB相离，0C的取值范围是0<0C<25 5 故答案为：0<0c<25 E B 例5.(25-26九年级上·江苏扬州阶段练习)设⊙O的半径为，圆心O到直线1的距离为d,并且方程 x2-2√āx+r=0无实数根，则直线1与⊙O的位置关系是 【答案】相交 【详解】解：：方程x2-2√āx+r=0无实数根， 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 .△=(-2√d)2-4x1xr=4d-4r<0,即d<r. :圆心到直线的距离d小于半径”， :直线1与⊙0相交. 故答案为：相交 变式1.(25-26九年级上北京阶段练习)在ABC中，AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的圆， 下列结论中正确的是() A.点B在OA内 B.点C在OA上 C.直线BC与0A相切 D.直线BC与OA相离 【答案】C 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H,如图， H .AB=AC 1 :BH CH=BC=4, 在Rt△ABH中，AH=VAB2-BH=V52-4=3, :AB=5>3, :点B在0A外，则A不符合题意； AC=5>3, .点C在⊙A外，则B不符合题意； .AH=3,AH⊥BC, :直线BC与OA相切，则C符合题意；D不符合题意； 故选：C. 变式2.(2024河北模拟预测)如图，在口ABCD中，AB=8,AD=5√2，∠A=45°，点P是AB边上的一点，设 BP=x,以点B为圆心，x为半径画圆，若线段DC与OB有2个交点，则x的值可能是() D C B A.2 B.5 C.27 D.5√2 10圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 圆：点和直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的证明专项训练 考点目录 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线长定理 切线的证明 考点一 点与圆的位置关系 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到圆心的距离为cm，则点与的位置关系是（   ） A．内 B．上 C．外 D．以上都有可能 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知的半径为3，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，则点与的位置关系是（   ） A．点在的内部 B．点在上 C．点在的外部 D．点在的内部或点在的外部 例4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 例5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 例6．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 变式1．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 变式2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，为半径画，则坐标原点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．以上都有可能 变式3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）平面内，若的半径为，，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 变式5．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）在公园的处附近有、、、四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则、、、四棵树中需要被移除的为 考点二 直线与圆的位置关系 例1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 例2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 例3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 例4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是 ． 例5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 变式1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 变式2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 变式4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是 ． 变式5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，以坐标原点为圆心，2为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是 ． 考点三 切线长定理 例1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 例2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 例3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 例4．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ． 例5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 例6．（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ． 例7．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求的半径长． 变式1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 变式2．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 变式3．（24-25九年级下·黑龙江·阶段练习）如图，是的切线，A、B是切点，C是与的交点，D是与的交点，若，则①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 变式5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 变式6．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，分别与相切于点A、B，若，则的半径为 ． 变式7．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 考点四 切线的证明 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 例2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 例3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，在中，点P在边上，，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)当是的直径时，如图2，求的度数． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 变式1．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 变式2．（2024·广东·模拟预测）如图，A，B，C，D是☉O上的四个点，，过点A作交的延长线于点E．求证： (1)； (2)是的切线． 变式3．（2025·甘肃金昌·一模）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 变式4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 2 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