第四章 数列（高效培优单元测试·强化卷）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

第四章 数列（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（    ） A．14 B．30 C．42 D．60 3．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 8．设等比数列的公比，其前n项和为，则下列等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 10．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 11．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（    ） A． B． C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等比数列中，，则 . 13．若数列满足，则最多有 项 14．已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数； ②数列为等差数列； ③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 16．(15分)已知数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前n项的和． 17．(15分)已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 18．(17分)在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 19．(17分)已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 2．已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（    ） A．14 B．30 C．42 D．60 【答案】B 【详解】因为等差数列的首项，公差为， 所以 故选：B. 3．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若数列为等比数列，则， 此时，则数列为等比数列， 若数列为等比数列，则，即， 所以数列为等比数列. 故“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 4．已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 5．记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 6．已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，因为，故， 由，所以，又， ，解得或（舍）， . 故选：B. 7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 【答案】D 【详解】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 8．设等比数列的公比，其前n项和为，则下列等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】存在等比数列，首项为，公比为， 则，，，， 对于，，错误； 对于， ，错误； 对于， ，错误； 对于，因为等比数列的公比，则， ， ， 综上可得：等比数列中，，正确. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 【答案】BD 【详解】对于A，若为等差数列，设公差为，则， 当时，，所以不存在满足题意的正数，故A错误； 对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列，则，， 则， 因，则当时，，故，故B正确； 对于C，若，则数列是数列，此时， 但不是常数，即数列不是数列，故C错误； 对于D，若数列是数列，即存在常数， 对任意有，即， 则 ，则数列是数列，故D正确. 故选：BD 10．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 【答案】ABC 【详解】A选项，由的规律可知，分母为，且的有项， 所以分母为2,3,4,5,6,7的共项，故，，A正确； B选项，根据的特征可知，分母为，且时，递增， 只有分母为的最后一项大于分母为的第一项， ，故，，B正确； C选项，， ， 故， 所以为首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，C正确； D选项，由C可知，，又， 即的前15项和为， ，又， 即的前21项和为， 其中，故的前项和为， ，，所以，则，故D错误. 故选：ABC 11．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（    ） A． B． C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得 【答案】ABD 【详解】A选项：易知接下来的8项为，所以，故A正确： B选项：，故B正确； C选项：设分母为的为第组， 情形一：在不同组，设为第组最后一个数，则， 为第组第一个数，则，所以， 解得，即． 情形二：为第组第和第个，则， 取，即符合题意，故C错误； D选项：因为， 所以， 因此存在无数个正整数，使得，故D正确； 故选:ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等比数列中，，则 . 【答案】 【详解】由题意，可得，所以. 故答案为：. 13．若数列满足，则最多有 项 【答案】102 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 14．已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数； ②数列为等差数列； ③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，，移项可得，即，，，即，， 故①正确. 对于②，当时，，已知，则， 等式两边同乘得，化简得，又，数列是以为首项，为公差的等差数列. 故②正确. 对于③，当时，则，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得，或， 取，则当n为大于等于3的奇数时，， 当n为奇数且时，， 对任意，不存在，当时，， 故③错误. 对于④，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，，即， ，.当时，， 则，， ，故一定为递减数列． 故④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，故为定值1；(6分) （2）由（1）知，所以， 故； （3）由（2）知， 因为，所以 所以， 而，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即.(13分) 16．(15分)已知数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前n项的和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由，可得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以；(6分) （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以.(15分) 17．(15分)已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，得， 当时，， 又满足上式， 所以的通项公式为；(6分) （2）因①， 则当时， 当时，②， ①②两式相减可得： ， 由（1）可得， 则，其中. 又当时，， 则(15分) 18．(17分)在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得．(5分) （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．(12分) （3）因为， 所以．(17分) 19．(17分)已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ；(5分) （2）（i）由（1）知， ， ， ， ；(10分) （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为.(17分) 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $