第四章 数列（高效培优单元测试·提升卷）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

第四章 数列（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 2．已知数列中，且，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，数列满足且， 则， 所以数列是周期为的数列，则. 故选：A. 3．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 4．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 5．记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 6．在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】C 【详解】，解得或， ∵数列是正项等比数列，， 令，则时，取得最大值. 又∵，或时，取得最大值，此时最大. 故选：C 7．某区块链公司开发了一种“分形存储”技术.当用户上传一个大型文件时，为确保数据安全，系统会将文件分割成一系列连续的数据块，同时为每个数据块生成动态验证码.已知数据块大小（单位：TB）按上传顺序构成等差数列，第一个数据块大小为100TB，此后每个数据块比前一个数据块减少5TB．验证码数量（单位：个）按上传顺序构成等比数列，第一个数据块生成4个验证码，此后每个数据块的验证码数量是前一个数据块验证码数量的3倍.若系统要求总验证码数量不能超过1000000个，用户上传的大型文件最大为（参考数据：，）（   ） A．820TB B．825TB C．827TB D．851TB 【答案】B 【详解】由题意， 设数据块大小构成的等差数列为， 首项，公差， 根据等差数列通项公式可得. 由于数据块大小不能为负，令，解得. 设验证码数量构成的等比数列为， 首项，公比， ∴. 由题意，，即. ∴. ∵为正整数且取最大值， ∴. 要求用户上传大型文件的最大大小，即求等差数列的前11项和， ∴. 故选：B. 8．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以，解得， 而， 从而，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以，解得， 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列，下列命题正确的有（   ） A．若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B．若为正项等比数列，则为等差数列 C．满足：，则 D．已知为的前项积，若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，， 显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列； 当时，， ， 所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为，则， 则是个常数，所以为等差数列，故B正确； 对于C，依题意，，它不满足，故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，且也满足，故D正确； 故选：ABD. 10．在数列中，下列结论正确的是（   ） A．若数列的前项和，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 【答案】BCD 【详解】A选项：由已知，当时，， 当时，， 综上所述，A选项错误； B选项：由已知，则，即， 又，，即， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 综上所述，B选项正确； C选项：由，即，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，所以，C选项正确； D选项：由已知， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即，，，， 等式左右分别相加可得， 又，则，D选项正确； 故选：BCD. 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 【答案】BCD 【详解】时，， 所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误； 时， ，所以使得经过了13步“雹程”故B正确； ，则，所以， 则，故C正确； 对于D， 所以的取值有6个，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 13．已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】 【详解】分别是函数的两个零点， 则，所以， 又， 由知，， 所以， 故答案为： 14．已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】由题意设数列的公差为，首项为，数列的公比为，首项为，则， 对于①：令，假设是等比数列，则为常数， 而与有关不为常数，故矛盾，故①正确； 对于②：设，满足题意，则， 由，所以数列不是递增数列，故②错误； 对于③：假设为等差数列，所以，即， 所以，解得与矛盾，故③正确； 对于④：，则， 若能构成等比数列，则，即， 化简整理得矛盾，故④正确； 故选：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是.（6分） （2）由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以.（13分） 16．（15分）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1)(2)和 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为.（7分） （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和.（15分） 17．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为.（6分） （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为.（15分） 18．（17分）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题可得，所以. 当时，.                                    当时，. 因为不满足上式，.（6分） （2）由（1）知，. 当时，. 当时，，            所以 .                                   又满足上式，.（17分） 19．（17分）数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 即， ∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴，即（）， ∴， ， ∴数列是单调递增数列.（5分） （2）由题意及（1）证明如下，， 在数列中，， ∴，，， ∴ ∴ ∴不可能成等比数列.（12分） （3）由题意（1）及（2）证明如下，， 在数列中，，单调递增， 且当时，， ∴不存在正的常数M，使对所有的成立.（17分） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 2．已知数列中，且，则（ ） A． B．2 C． D． 3．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 4．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 5．记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 7．某区块链公司开发了一种“分形存储”技术.当用户上传一个大型文件时，为确保数据安全，系统会将文件分割成一系列连续的数据块，同时为每个数据块生成动态验证码.已知数据块大小（单位：TB）按上传顺序构成等差数列，第一个数据块大小为100TB，此后每个数据块比前一个数据块减少5TB．验证码数量（单位：个）按上传顺序构成等比数列，第一个数据块生成4个验证码，此后每个数据块的验证码数量是前一个数据块验证码数量的3倍.若系统要求总验证码数量不能超过1000000个，用户上传的大型文件最大为（参考数据：，）（   ） A．820TB B．825TB C．827TB D．851TB 8．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列，下列命题正确的有（   ） A．若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B．若为正项等比数列，则为等差数列 C．满足：，则 D．已知为的前项积，若，则 10．在数列中，下列结论正确的是（   ） A．若数列的前项和，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，则数列的通项公式 . 13．已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 . 14．已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．（15分）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 17．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 18．（17分）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 19．（17分）数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $